Aufgabenblatt auf vorletzte Woche (das mit dem Prisma)

1.
a) alle wie A, B, C und D, nur dass die x3-Koordinaten den Wert 5 haben.
    Drachenviereck: Die Diagonalen AC und BD schneiden sich im rechten Winkel.
    Überprüfe mit dem Skalarprodukt. Es muss gleich 0 sein.
    Winkel mit unserer Kosinusformel. Es kommt 0 raus, also ist der Winkel 90°.
b) Ebene aus drei Punkten, Gerade aus zwei Punkten.
    Die Punktprobe zeigt, dass Q auf E und auf g liegt.
c) Die abgetrennte Pyramide hat die selbe Höhe wie das Prisma und eine halb so große Grundfläche.
    Für Pyramiden gilt V_Pyra = 1/3 G_Pyra h und G_Pyra = 1/2 * G_Prisma, also ist
    V_Pyra = 1/6 V_Prisma. Das was dann noch übrig bleibt, ist daher 5/6 V_Prisma
d) mach ich, wenn mir jemand zeigt, was er/sie versucht hat.

2.
a) Alle Geraden haben den gleichen Richtungsvektor (2  -3  1), daher parallel.
    Sie sind zueinander in x1-Richtung verschoben, liegen also nicht aufeinander.
    In der x1x2-Koordinatenebene ist x3=0. Das ist der Fall für r=3.
    Damit der Punkt gleich M ist, muss a + 3*2 = 3, also a = -3.
b) Ein regelmäßiges Sechseck kann man in 6 gleichseitige Dreiecke zerlegen.
    Daher müssen die Abstände MA, AB und MB gleich sein.
    Das ist für den Punkt B(3+Wurzel(3)|0|0)) der Fall.
    Beim regelmäßigen Sechseck ist AC = BM (parallel und gleich lang).
    Hänge also den Vektor BM an A. Damit erhältst du C.
c) mach ich, wenn ich einen Versuch dazu sehe.

3.
a) Punktprobe von C auf beiden Geraden. Liegt jeweils drauf.
    Schnittwinkel mit unserer Kosinusformel. Beide Richtungsvektoren verwenden. 90°.
b) Beim Quadrat ist CD = BA. Also an C den Vektor BA hängen. Man kommt auf D(2|2|0)
    Dreieck und Quadrat haben die selbe Höhe, nämlich BC. Damit die Fläche 1/8 des Quadrats ist,
    muss die Grundseite also gleich 1/4 der Quadratseite sein.
    F_dreieck = 1/2 g_dreieck * h und  F_quadrat = g_quadrat * h
    Damit F_dreieck = 1/8 F_quadrat, muss g_dreieck = 1/4 g_quadrat.
    Damit ist der Ortsvektor von D*:     OD* = OC + 1/4*CD = (5  -1  0)

Klausur 1

Hier sind die Musterlösungen der Klausur als PDF, Ich habe immer beide Gruppen zusammen geschrieben.

Mehr dazu am Montag.