Aufgabe 1
Die sind alle vom Typ der linearen Substitution, oder "Kettenregel rückwärts", wie ich es genannt habe. Also zu einer Funktion f(x) ist F(x) die Stammfunktion, dann ist zu f(ax+b) die Stammfunktion 1/a * F(ax+b). Damit ergibt sich
a) 1/2 * 2 sin(2x) = sin(2x)
b) 1/3 * 2 e^(3x) = 2/3 * e^(3x)
c) 1/2 * 2 * ln|2x+3| = ln|2x+3|
d) 1/1 * 1/(-1) * (x+1)^(-1) = - 1/(x+1)
Aufgabe 2
a) Dazu braucht man die beiden Nullstellen des cos. Ich habe die links und rechts von der 0 gemeint, aber das vergessen, deutlich zu sagen. Die sind bei pi/2 und -pi/2. Dann rechnet man
Integral_(-pi/2)^(pi/2) cos(x) dx = [sin(x)]_(-pi/2)^(pi/2)
= sin(pi/2) - sin(-pi/2) = 1 - (-1) = 2
(mit der komischen Schreibweise _ und ^ meine ich unten und oben, wo
man die Grenzen beim Integral und der eckigen Klammer der Stammfunktion hinschreibt.)
b) Finde a so, dass es auch die gleichen Nullstellen hat
1 - a (pi/2)² = 0
a (pi/2)² = 1
a = (2/pi)²
c) Wieder ein Integral
Integral_(-pi/2)^(pi/2) ( 1 - (2/pi²) x²) dx =
[ x - 4/(3 pi²) x³ ]_(-pi/2)^(pi/2) =
[pi/2 - 4/(3 pi²) (pi/2)³] - [-pi/2 + 4/(3 pi²) (pi/2)³] =
pi - 1/3 pi = 2/3 pi
was ein kleines bisschen mehr ist als 2, nämlich um den Faktor pi/3, also etwa 5% mehr.
Aufgabe 3
a) Da muss man im wesentlich gut aus dem Schaubild ablesen.
f(8) = 43 lese ich ab, also 43mg
f'(8) = -6 kann man aus einer Tangenten am Punkt (8|43) ablesen,
also nimmt die Wirkstoffmenge ab um 6mg/h. Wenn es also unverändert weiter so abnähme, würde in jeder Stunde 6mg abgebaut oder ausgeschieden. Tatsächlich flacht die Kurve aber ab, und die momentane Änderungsrate sinkt schwächer, je mehr Zeit vergeht.
Wo ist das Schaubild über 35? von etwa t=1,2 bis t=9,6, also von etwa 1h12min bis 9h36min.
b) "Langfristig", da geht es um die Asymptote
g(t) = 80 * (1 - e^(-0,05 t) ) für t-> +unendlich
Da geht der Ausdruck mit e^... gegen null, und es bleibt 80*1, also 80mg als asymptotischer Wert.
Zeige, dass sie zunimmt. Ableiten
g(t) = 80 * (1 - e^(-0,05 t) ) hat die Ableitung
g'(t) = 80 (-e^(-0,05 t) ) * (-0,05) = 80*0,05*e^(-0,05 t) = 4*e^(-0,05 t)
und das ist immer positiv, weil e^... immer positiv ist.
Wann ist die Änderungsrate = 1mg/min? Dazu muss man gleichsetzen
1 = g'(t)
1 = 4*e^(-0,05 t) | e^(0,05t)
e^(0,05 t) = 4
0,05 t = ln(4) | *20
t = 20*ln(4)
