In den Teilen a und b kam man recht schnell auf Lösungen. Dort waren die Richtungsvektoren
(3 1 2) und (6 2 4), also mit d=2 und b=6 parallel zueinander. Die richtigen Stützvektoren habt ihr dann leicht gefunden.
In den Teilen c und d gibt es nun sehr viele Möglichkeiten, und fast alle führen auch zum Ziel. Es ist also verwirrend.
Was passiert mit den Geraden g und h, wenn sich die Werte der Variablen a, b, c und d ändern?
a: Verschiebt den Stützvektor von g und damit die Gerade g in x2-Richtung. Im Raum wird g parallel von links nach rechts verschoben.
c: Verschiebt den Stützvektor von h und damit die Gerade h in x1-Richtung. Im Raum wird h parallel von vorne nach hinten verschoben.
Man kann sich also vorstellen, dass mit der richtigen Wahl von a und c die Geraden einen Schnittpunkt bekommen, oder dass sie bei anderen Werten von a und c windschief zueinander liegen.
b: Bestimmt die Richtung von g. Für b=0 ist g parallel zur x2-x3-Ebene, zeigt nach rechts oben. Für b>0 kommt sie dann nach rechts oben vorne, mit b<0 nach hinten.
d: Bestimmt die Richtung von h. Für d=0 ist h parallel zur x1-x2-Ebene, zeigt nach vorne rechts. Für d>0 kommt sie dann nach vorne rechts oben, mit d<0 nach unten.
Auch hier kann man sich vorstellen, dass es ganz viele Möglichkeiten gibt für einen Schnitt beider Geraden, und noch viel mehr dafür, dass sie windschief zueinander sind.
Eine Beispiellösung. Ich glaube, das ist so am einfachsten.
Wähle b=0 und d=0. Dann sind g und h parallel zu den Koordinatenebenen x2-x3 bzw. x1-x2. Jetzt müssen wir die Stützpunkte so wählen, dass sie sich treffen oder nicht.
Teilaufgabe c. Mit Schnittpunkt
Wie gesagt, mit Wahl b=0 und d=0.
Dann gleichsetzen, ergibt ein LGS
2 = c + 3s (I)
a + 2r = 1 + s (II)
1 + 4r = 5 (III)
Aus (III) erhält man den Lösungsbestandteil r=1, den man in (II) gleich einsetzt
2 = c + 3s (I)
a + 2 = 1 + s (II)
Jetzt bringe ich es in die Standardform. Links Variablen, rechts Zahlen
c + 3s = 2 (I)
a - s = -1 (II)
Wir wollen eine Lösung für a und c, also müssen wir s aus dem LGS entfernen. Das geht z.B. durch die Summe (I)+3(II) und damit die Gleichung.
3 a + c = -1 (Ia)
Wenn also a und c diese Gleichung erfüllen, gibt es einen Schnittpunkt.
Das wäre z.B. a=1 und c=-4 oder a=0 und c=-1. Ihr findet ganz leicht andere Zahlenpaare. Sucht euch etwas für a raus, und bestimmt dann das passende c.
Also. Meine Lösung für Teilaufgabe c: a=0, b=0, c=-1, d=0.
Teilaufgabe d. Windschief, ohne Schnittpunkt.
Das mache ich mir jetzt ganz leicht. Da nehme ich das Ergebnis von c, wähle also b=0 und d=0 und dann ein beliebiges a, aber eben ein c, das nicht dazu passt, weil es nicht (Ia) erfüllt.
Also, a=0, b=0, d=0 und dann c=0. Man kann auch c=1 oder c=2 oder c=-2 oder irgendwas anderes nehmen, aber eben nicht c=-1.
Auf der Seite https://www.geogebra.org/m/fygyvvj8 findet ihr ein geogebra-Blatt, mit dem ihr die obigen Überlegungen nachspielen könnt.
