Wochenaufgaben 15.11. und 22.11

Wochenaufgabe zum 15.11.
Wochenaufgabe zum 22.11.

und hier habe ich mögliche Lösungen zu den Nachdenkaufgaben vom 22.11.

Klausur - Lösungen

Aufgabe 1 - Ableiten
Achtet auf Ketten- und Produktregel

- sin(x²)  -->  - cos(x²) 2x -->  sin(x²) 4x² - cos(x²) 2
- cos(x²)  -->  sin(x²) 2x -->  cos(x²) 4x² + sin(x²) 2

Aufgabe 2
a) Graph mit Hoch- bzw. Tiefpunkten
f(x) = 1/8 x^4 - x² + 3
f'(x) = 1/2 x³ - 2x
f"(x) = 3/2 x² - 2

1/2 x³ - 2x = 0
-->  x1 = 0   f"(0) = -2  --> Hochpunkt H(0|3)
--> x2 = 2    f"(2) > 0 --> Tiefpunkt T(2|1)
--> x3 = -2    f"(-2) > 0 --> Tiefpunkt T(-2|1)

andere Gruppe:

f(x) = -1/8 x^4 + x² + 2
f'(x) = -1/2 x³ + 2x
f"(x) = -3/2 x² + 2

-1/2 x³ + 2x = 0
-->  x1 = 0   f"(0) = 2  -->Tiefpunkt  T(0|2)
--> x2 = 2    f"(2) < 0 --> Hochpunkt H(2|4)
--> x3 = -2    f"(-2) < 0 --> Hochpunkt H(-2|4)

b) f(x) = a mit genau zwei Lösungen. Für welche a?

Das entspricht den Schnittpunkten des Schaubilds mit einer waagrechten Geraden y=a (auf Höhe a).

Genau zwei Lösungen gibt es 

- bei den beiden Tiefpunkten bzw. den beiden Hochpunkten, also für a=1 bzw. für a =4.

- oberhalb von H(0|3) bzw. unterhalb T(0|2), also für a>3 bzw. für a<2

Aufgabe 3

a) Der Graph von f hat bei x=0 einen Hochpunkt, weil f' dort das Vorzeichen von + nach - wechselt.

b) Der Graph von f hat zwei Wendepunkte, weil f' zwei Extrema besitzt. Eins hat f'(x)>0, dort hat die Wendetangente positive Steigung, eins hat f'(x)<0, Wendetangente hat negative Steigung.

c) von -2 bis 0 ist f'>0, also steigt f streng monoton, d.h. f(-2)<f(0).

    von 0 bis 2 ist f'>0, also fällt f streng monoton, d.h.  f(0)>f(2).

Aufgabe 4

Die beiden Extrempunkte sind H(1|3) und T(2|1).

Die Gerade durch sie ist y= -2x + 5. 

Sie schneidet die Koordinatenachsen in P(0|5) und Q(2,5|0).

Mit Pythagoras ist |PQ| = (5² + 2,5²)^0,5

andere Gruppe:

H(2|6) und T(4|2).

y = -2 x + 10

P(0|10) und Q(5|0)

|PQ| = (10² + 5²)^0,5

Aufgabe 5

a) Hochpunkt bei H(-5|20) --> 20 m über dem Straßenniveau. (Es gibt noch einen Tiefpunkt bei x=3, aber der gibt im Zusammenhang kein Ergebnis, er liegt sozusagen unter der Straße)

b) Wendepunkte bei W(-2|9,2)  --> In der Höhe 9,2 m ist der Hang am steilsten.

Andere Gruppe H(-5|10) --> 10 m und W(-2|4,6) --> 4,6 m