Kegelförmiges Gefäß

Lösung zur Nachdenkaufgabe 3

1. Volumen eines Kegels V = 1/3 G h = 1/3 pi r0² h0 = 100 pi
    Bei 5 cm²/s dauert das t0 = 20*pi Sekunden, also etwas über  1 Minute lang.

2. Bei Füllhöhe h ist der Radius der Wasseroberfläche  r = r0 * h/h0 = 5/12 * h
    und damit das Volumen in Höhe h:  V(h) = 1/3 pi r² h = 1/3 pi 25/144 h³
    Das dauert also t(h) = V(h)/5 =  5/432 pi h³  Sekunden

3. Das umgestellt ergibt
    h(t) = (432/(5 pi) * t)^(1/3)

4. Ableitung davon ist
    h'(t) =  1/3 *  (432/(5 pi) * t)^(-2/3) * 432/(5 pi)
            =  1/3 * (432/(5 pi))^(1/3)  *  t^(-2/3)

Das Schaubild zeigt h(t) in rot und v(t) in lila. Achtet auf die Maßstäbe.