Integral und Stammfunktion

http://tube.geogebra.org/material/show/id/2548877

Klausur Nr. 2 von vor Weihnachten

Lösung der ersten Aufgabe mit Hilfsmitteln (Boot fährt und bleibt stehen)

Zweite Aufgabe

Nachschreiben in Mathe

Die Themen sind die gleichen, die ich euch schon für die Arbeit vor den Weihnachtsferien gegeben habe.

Ohne Hilfsmittel
1. Aufgaben zum Ableiten mit Produktregel, Kettenregel und e-Funktion dabei.
2. Gleichung Lösen. Denkt dran es gibt als Methoden
    - umstellen
    - ausklammern und als Produkt schreiben, Faktoren einzeln gleich null setzen.
    - abc-Formel ("Mitternacht"), entweder ohne oder mit Substitution
3. Aufgaben vom NEW-Typ. Erkennen, dass f eine Wendestelle hat, wenn f' dort eine Extremstelle hat. Linkskurven, wenn f" > 0  ..... und solche Sachen.

Mit Hilfsmitteln Aufgaben in denen vorkommt:

anwendungsorientierte Aufgabe, einen Sachverhalt in eine Funktion und Rechnungen übersetzen
Extrema, Nullstellen, Wendestellen finden
Tangenten an Schaubilder finden, entweder
- von einem Punkt außerhalb des Schaubilds
  (gerades Brett an eine Böschung lehnen, gerade noch über einen Hügel sehen können, ...=
- an einem Punkt auf dem Schaubild.
Integral interpretieren, gefahrene Strecke zu Geschwindigkeit (denkt an unseren Lastwagen), insgesamt geflossenes Wasser, wenn man die Durchflussrate kennt, .... entspricht immer der Fläche zwischen Schaubild und x-Achse.
Integral berechnen mit dem GTR   (2nd calc und dann integrieren)

Übunngsaufgaben

Die Skisprung-Aufgabe war im Abi von 2006, zu finden mit Lösungen auf
 http://www.mathe-aufgaben.com/aufgaben/abitur/bw-allgemein-bildende-gymnasien.html
(es ist die Aufgabe Analysis I 1 im Wahlteil)
1., 2. und 3. auf dem Blatt entsprechen den Teilaufgaben a bis c.

4. ist auf meinem Mist gewachsen.
Man muss eine Tangente von (0/95) an das Schaubild von f(x) legen.
Die Gleichung mit den Steigungen lautet also::

(95 - f(u)) / ( 0 - u) = f'(u)      | *(-u)
95 - f(u)    =   -u * f'(u)

Man kann auch den Ansatz andersrum machen:
(f(u) - 95) / (u.0) = f'(u)     | *u
f(u) - 95  = u * f'(u)
und erhält dann fast dieselbe Gleichung, bis auf das andere Vorzeichen auf beiden Seiten

Man kann es im GTR eingeben:

Y1 ist die Funktion und Y2 und Y3 sind die beiden Seiten der Gleichung. (Achtet auf die Klammern beim Nenner von Y1). Jetzt stellt man es auf dem Fenster dar und schaut dann nach dem Intersect:

Wenn man es mit dem Schaubild aus 1. vergleicht, sieht man, dass die erste der beiden Lösungen der gesuchte Punkt ist, also bei u = 35,65. Man muss die Tangente an den Hang an der Stelle x = 35,65 legen: Ihre Gleichung ist y = -0,7113 x  95.

und den Bereich zwischen x=35,65 und dem Schnittpunkt rechts unten kann man vom Schanzentisch aus nicht sehen. Mit intersect bestimmt man diesen Schnittpunkt: Er liegt bei x = 119,49

Erklär-Videos (die nächste)

Wir haben vor allem Verkettungen von Funktionen f(x) = u(v(x)) betrachtet. Für ihre Ableitung braucht man die Kettenregel.
http://www.fliptheclassroom.de/project/2-2-kettenregel/

Erklär-Videos

zu den aktuellen Kapiteln findet ihr (vor allem die Amerikareisenden) hier Erklärvideos:
Zwei Videos zu den Tangenten:
http://www.fliptheclassroom.de/project/1-6-probleme-loesen-im-umfeld-der-tangente-teil-1/
http://www.fliptheclassroom.de/project/1-6-probleme-loesen-im-umfeld-der-tangente-teil-2/

Einfacher ist der Fall, dass die Tangente (oder Normale) an einem bereits bekannten Punkt  (u|f(u)) auf dem Schaubild gebildet wird. Hier war der Ansatz:
1. Steigung ist f'(u), also die Geradengleichung 

2. Im Punkt (u|f(u)) ist y=f(u) und x=u

3. Das kann man nach c umstellen und erhält so




 Schwieriger ist dagegen, wenn man von einem Punkt A(a|b) außerhalb des Schaubilds, eine Tangente (oder Normale) an das Schaubild legen muss, dass man also diesen Punkt P(u|f(u)) noch finden muss.

An diesem Punkt muss die Tangentensteigung f'(u) gleich der Steigung einer Geraden durch A und P sein. Damit erhält man die Gleichung

bzw.

die man nach u umstellen muss. Wenns nicht geht, muss man die Lösung(en) mit dem GTR finden.

Videos zu unseren Kapiteln

Extremstellen http://www.fliptheclassroom.de/project/1-4-kriterien-fuer-extremstellen/

Wendestellen http://www.fliptheclassroom.de/project/1-5-kriterien-fuer-wendestellen/

Und hier noch eine Zusammenfassung, die aber schon mehr enthält als wir bisher gemacht haben http://www.fliptheclassroom.de/project/zusammenfassung-1-schluesselkonzept-ableitung/