Nach der Stunde am Dienstag hat mich noch jemand von euch zu dem Termin gefragt. Hier sind Anmerkungen dazu:
2013 A1.1
Die Aufgabe ist auf den GTR zugeschnitten. Den Teil a) könnt ihr machen aber die Zahlen sind zu hässlich. Ich gebe hier den Lösungsweg an.
Ansatz für die Funktion: f(x) = a x³ + b x² + c x + d und damit die Ableitungen
f'(x) = 3a x² + 2b x + c und f"(x) = 6a x + 2b
Aus den Angaben durch Punkte und Wendepunkt erhaltet ihr ein LGS
f(0) = 3
f(2) = 2,8
f(4) = 3,4
f"(10/3) = 0
ergibt
d = 3
8 a + 4 b + 2 c + d = 2,8
64 a + 16 b + 4 c + d = 3,4
20 a + 2 b = 0
Man kann jetzt d=3 in II bis IV einsetzen und kriegt dann
8 a + 4 b + 2 c = -0,2
64 a + 16 b + 4 c = 0,4
20 a + 2 b = 0
Im GTR kann man das LGS direkt lösen. Von Hand mit Gauß ist es etwas mühsam und hässlich, aber machbar. Wenn ihr üben wollt, tut euch das an. Die Lösung ist in der Aufgabenstellung gegeben:
a = -0,025 (= -1/40)
b = 0,25 (= 1/4)
c = - 0,5 (= -1/2)
Tiefpunkt
War mit dem GTR ganz einfach, einfach Minimum suchen lassen. Für euch hässlich und mühsam, aber ein gute Übung.
Ableitung gleich null setzen
-0,075 x² + 0,5 x - 0,5 = 0
mit abc-Formel gibt es zwei Lösungen, wobei die mit x ungefähr 1,23 der Tiefpunkt ist, weil dort die zweite Ableitung positiv ist (Linkskurve, bzw. Krümmung nach oben macht Tiefpunkt). Die Andere führt zum Hochpunkt.
x=1,23 einsetzen in f(x) gibt die y-Koordinaten, also T(1,23|2,72)
Fläche
Muss man Integrieren von 0 bis 7. Konnte der GTR auch direkt mit Integral.
Für uns heißt das jetzt, Stammfunktion und dann F(7)-F(0). Sollte etwa 22,3 rauskommen.
Der Teil b) ist für euch nichts. Rotationskörper kommen nicht mehr dran. Die Frage mit "In welcher Höhe steigt ... am langsamsten" ist einfach: nämlich dort, wo f maximal ist, also beim Hochpunkt.
A 1.2
Umfang des Rechtecks U = 2*Breite + 2*Höhe, also hängt es von a ab:
U(a) = 2 (3 - a) + 2 e^(a/2)
U'(a) = -2 + e^a/2 = 0 (beim Maximum ist U'(a)=0)
e^(a/2) = 2
a = 2 ln(2)
A 2.1 a) geht wirklich nicht ohne GTR.
2.1 b) könnte man mit einer Wertetabelle machen.
Tiefpunkte von g_a(t):
g_a'(t) = (- a + 0,25 a t) * e^(-0,25 t) = 0
Die Klammer vor dem e-Term muss = 0 sein.
Alle Tiefpunkte bei t = 4.
Dort ist die Konzentration dann
g_a(4) = 9 - 4 a e^(-1) = 9 - 4 a/e
Das ist nur sinnvoll, wenn das Ergebnis nicht = 0 oder gar negativ wird. Es müssen ja immer noch Algen da sein. Naja, null ginge, dann sind die Algen dort ausgestorben, aber dann gibt die Funktion danach keinen Sinn mehr. Also:
9 - 4 a/e = 0
a = 9/4 * e = 2,25 * e.
Es darf also a nicht größer als 2,25 * e werden.
A 2.2
Tangente am Punkt P(u | 2/u) bestimmen
y = f'(u) * (x - u) + f(u) einsetzen
y = - 2/u² * (x - u) + 2/u vereinfachen
y = -2/u² *x + 4/u
Schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten (0 | 4/u) und (2u | 0)
Fläche des Dreiecks 1/2*Grundseite*Höhe
1/2 * 2u * 4/u = 4 - unabhängig vom Wert von u.
Dienstag, 19. März 2019
Dienstag, 22. Januar 2019
Binomialverteilung mit Geogebra
Den Wahrscheinlichkeitsrechner von Geogebra gibt es auch online
https://www.geogebra.org/classic#probability
Wähle unten im Menu Binomial aus. (Beim Aufruf steht dort Normal für eine Gauß-Normalverteilung)
Dann kannst du die Zahl der Versuche n und die Trefferwahrscheinlichkeit p eingeben und siehst die Wahrscheinlichkeitsverteilung als Schaubild und als Wertetabelle.
https://www.geogebra.org/classic#probability
Wähle unten im Menu Binomial aus. (Beim Aufruf steht dort Normal für eine Gauß-Normalverteilung)
Dann kannst du die Zahl der Versuche n und die Trefferwahrscheinlichkeit p eingeben und siehst die Wahrscheinlichkeitsverteilung als Schaubild und als Wertetabelle.
Montag, 3. Dezember 2018
Sonntag, 7. Oktober 2018
Lösungen
Aufgabe 1
Kombi aus Produkt- und Kettenregel
f'(x) = 3 * cos(x²+1) - 3 x * sin(x²+1) * 2x = 3 * cos(x+1) - 6 x² sin(x² + 1)
Aufgabe 2
umschreiben zu f(x) = (x+1)^(-1/2) ergibt Stammfunktion F(x) = 2 * (x+1)^1/2
(beachte: keine Division am Schluss, weil kein Vorfaktor vor x in Klammer)
Und damit das Integral
2*(5+1)^1/2 - 2*(2+1)^1/2 = 2*(Wurzel(6) - Wurzel(3))
man könnte noch Wurzel(3) ausklammern und bekommt dann wegen Wurzel(2*3)=Wurzel(2)*Wurzel(3) als Ergebnis:
2*Wurzel(3)*(Wurzel(2) - 1)
Aufgabe 3
Das LGS ist die erste Aufgabe von dieser Sammlung aus Musteraufgaben mit Lösungen.
Aufgabe 4
Punktprobe: Prüfe, ob 2*(-2) - 4 + 2*4 = 9
Geradengleichungen. In jedem Fall P als Stützvektor
Orthogonale Gerade: Nimm als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene n = (2,-1,2)
Parallele Gerade: Finde einen Vektor, der orthogonal zu n ist, als Richtungsvektor. Da gibt es unendlich viele Möglichkeiten. Am einfachsten scheint mir (1,2,0), denn 1*2 + 2*(-1) + 0* = 0
oder auch (1,0,-1), denn 1*2 + 0*(-1) + (-1)*2 = 0. Was habt ihr?
Mit Hilfsmitteln
Der Turm auf dem Spielplatz. Ist auch aus einer Sammlung von Musteraufgaben. Die Aufgabe ist auf Seite 15 dieser Aufgabensammlung.
1.1
Quadrat: Seiten gleich lang und rechte Winkel zwischen den Seiten. Prüfen mit Pythagoras ound Skalarprodukt.
Koordinatengleichung? Könnt ihr mit dem LGS machen, ich werde euch am Dienstag eine einfachere Methode zeigen. Hätte ich am 2.10. gemacht, wenn das nicht ausgefallen wäre.
Ihr findet es im Prinzip bei
https://www.fliptheclassroom.de/project/7-7-ebenengleichungen-im-ueberblick/
1.2
Das ist der d-Teil der originalen Aufgabe, also was für die, die alle Punkte wollen.
Es ist eigentlich ein 2-dimensionales Problem. Zeichnet die Punkte A(2|-3), B(3|2) in ein Koordinatensystem. Dann findet ihr den Fußpunkt ganz leicht.
Allgemeine Hinweise
Beim Fliptheclassroom könnt ihr euch auch alle Videos der Kapitel 7.1 bis 7.5 anschauen. Orientiert sich zwar am alten Buch, ist aber auch gut.
Und: Am Dienstag machen wir es wieder so wie vor zwei Wochen. Kommt um 7.50 oder um 14.05, wie es euch besser passt. Ich bin zweimal da.
.
Kombi aus Produkt- und Kettenregel
f'(x) = 3 * cos(x²+1) - 3 x * sin(x²+1) * 2x = 3 * cos(x+1) - 6 x² sin(x² + 1)
Aufgabe 2
umschreiben zu f(x) = (x+1)^(-1/2) ergibt Stammfunktion F(x) = 2 * (x+1)^1/2
(beachte: keine Division am Schluss, weil kein Vorfaktor vor x in Klammer)
Und damit das Integral
2*(5+1)^1/2 - 2*(2+1)^1/2 = 2*(Wurzel(6) - Wurzel(3))
man könnte noch Wurzel(3) ausklammern und bekommt dann wegen Wurzel(2*3)=Wurzel(2)*Wurzel(3) als Ergebnis:
2*Wurzel(3)*(Wurzel(2) - 1)
Aufgabe 3
Das LGS ist die erste Aufgabe von dieser Sammlung aus Musteraufgaben mit Lösungen.
Aufgabe 4
Punktprobe: Prüfe, ob 2*(-2) - 4 + 2*4 = 9
Geradengleichungen. In jedem Fall P als Stützvektor
Orthogonale Gerade: Nimm als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene n = (2,-1,2)
Parallele Gerade: Finde einen Vektor, der orthogonal zu n ist, als Richtungsvektor. Da gibt es unendlich viele Möglichkeiten. Am einfachsten scheint mir (1,2,0), denn 1*2 + 2*(-1) + 0* = 0
oder auch (1,0,-1), denn 1*2 + 0*(-1) + (-1)*2 = 0. Was habt ihr?
Mit Hilfsmitteln
Der Turm auf dem Spielplatz. Ist auch aus einer Sammlung von Musteraufgaben. Die Aufgabe ist auf Seite 15 dieser Aufgabensammlung.
1.1
Quadrat: Seiten gleich lang und rechte Winkel zwischen den Seiten. Prüfen mit Pythagoras ound Skalarprodukt.
Koordinatengleichung? Könnt ihr mit dem LGS machen, ich werde euch am Dienstag eine einfachere Methode zeigen. Hätte ich am 2.10. gemacht, wenn das nicht ausgefallen wäre.
Ihr findet es im Prinzip bei
https://www.fliptheclassroom.de/project/7-7-ebenengleichungen-im-ueberblick/
1.2
Das ist der d-Teil der originalen Aufgabe, also was für die, die alle Punkte wollen.
Es ist eigentlich ein 2-dimensionales Problem. Zeichnet die Punkte A(2|-3), B(3|2) in ein Koordinatensystem. Dann findet ihr den Fußpunkt ganz leicht.
Allgemeine Hinweise
Beim Fliptheclassroom könnt ihr euch auch alle Videos der Kapitel 7.1 bis 7.5 anschauen. Orientiert sich zwar am alten Buch, ist aber auch gut.
Und: Am Dienstag machen wir es wieder so wie vor zwei Wochen. Kommt um 7.50 oder um 14.05, wie es euch besser passt. Ich bin zweimal da.
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Montag, 17. September 2018
Seite 183, Aufgabe 10
In den Teilen a und b kam man recht schnell auf Lösungen. Dort waren die Richtungsvektoren
(3 1 2) und (6 2 4), also mit d=2 und b=6 parallel zueinander. Die richtigen Stützvektoren habt ihr dann leicht gefunden.
In den Teilen c und d gibt es nun sehr viele Möglichkeiten, und fast alle führen auch zum Ziel. Es ist also verwirrend.
Was passiert mit den Geraden g und h, wenn sich die Werte der Variablen a, b, c und d ändern?
a: Verschiebt den Stützvektor von g und damit die Gerade g in x2-Richtung. Im Raum wird g parallel von links nach rechts verschoben.
c: Verschiebt den Stützvektor von h und damit die Gerade h in x1-Richtung. Im Raum wird h parallel von vorne nach hinten verschoben.
Man kann sich also vorstellen, dass mit der richtigen Wahl von a und c die Geraden einen Schnittpunkt bekommen, oder dass sie bei anderen Werten von a und c windschief zueinander liegen.
b: Bestimmt die Richtung von g. Für b=0 ist g parallel zur x2-x3-Ebene, zeigt nach rechts oben. Für b>0 kommt sie dann nach rechts oben vorne, mit b<0 nach hinten.
d: Bestimmt die Richtung von h. Für d=0 ist h parallel zur x1-x2-Ebene, zeigt nach vorne rechts. Für d>0 kommt sie dann nach vorne rechts oben, mit d<0 nach unten.
Auch hier kann man sich vorstellen, dass es ganz viele Möglichkeiten gibt für einen Schnitt beider Geraden, und noch viel mehr dafür, dass sie windschief zueinander sind.
Eine Beispiellösung. Ich glaube, das ist so am einfachsten.
Wähle b=0 und d=0. Dann sind g und h parallel zu den Koordinatenebenen x2-x3 bzw. x1-x2. Jetzt müssen wir die Stützpunkte so wählen, dass sie sich treffen oder nicht.
Teilaufgabe c. Mit Schnittpunkt
Wie gesagt, mit Wahl b=0 und d=0.
Dann gleichsetzen, ergibt ein LGS
2 = c + 3s (I)
a + 2r = 1 + s (II)
1 + 4r = 5 (III)
Aus (III) erhält man den Lösungsbestandteil r=1, den man in (II) gleich einsetzt
2 = c + 3s (I)
a + 2 = 1 + s (II)
Jetzt bringe ich es in die Standardform. Links Variablen, rechts Zahlen
c + 3s = 2 (I)
a - s = -1 (II)
Wir wollen eine Lösung für a und c, also müssen wir s aus dem LGS entfernen. Das geht z.B. durch die Summe (I)+3(II) und damit die Gleichung.
3 a + c = -1 (Ia)
Wenn also a und c diese Gleichung erfüllen, gibt es einen Schnittpunkt.
Das wäre z.B. a=1 und c=-4 oder a=0 und c=-1. Ihr findet ganz leicht andere Zahlenpaare. Sucht euch etwas für a raus, und bestimmt dann das passende c.
Also. Meine Lösung für Teilaufgabe c: a=0, b=0, c=-1, d=0.
Teilaufgabe d. Windschief, ohne Schnittpunkt.
Das mache ich mir jetzt ganz leicht. Da nehme ich das Ergebnis von c, wähle also b=0 und d=0 und dann ein beliebiges a, aber eben ein c, das nicht dazu passt, weil es nicht (Ia) erfüllt.
Also, a=0, b=0, d=0 und dann c=0. Man kann auch c=1 oder c=2 oder c=-2 oder irgendwas anderes nehmen, aber eben nicht c=-1.
Auf der Seite https://www.geogebra.org/m/fygyvvj8 findet ihr ein geogebra-Blatt, mit dem ihr die obigen Überlegungen nachspielen könnt.
(3 1 2) und (6 2 4), also mit d=2 und b=6 parallel zueinander. Die richtigen Stützvektoren habt ihr dann leicht gefunden.
In den Teilen c und d gibt es nun sehr viele Möglichkeiten, und fast alle führen auch zum Ziel. Es ist also verwirrend.
Was passiert mit den Geraden g und h, wenn sich die Werte der Variablen a, b, c und d ändern?
a: Verschiebt den Stützvektor von g und damit die Gerade g in x2-Richtung. Im Raum wird g parallel von links nach rechts verschoben.
c: Verschiebt den Stützvektor von h und damit die Gerade h in x1-Richtung. Im Raum wird h parallel von vorne nach hinten verschoben.
Man kann sich also vorstellen, dass mit der richtigen Wahl von a und c die Geraden einen Schnittpunkt bekommen, oder dass sie bei anderen Werten von a und c windschief zueinander liegen.
b: Bestimmt die Richtung von g. Für b=0 ist g parallel zur x2-x3-Ebene, zeigt nach rechts oben. Für b>0 kommt sie dann nach rechts oben vorne, mit b<0 nach hinten.
d: Bestimmt die Richtung von h. Für d=0 ist h parallel zur x1-x2-Ebene, zeigt nach vorne rechts. Für d>0 kommt sie dann nach vorne rechts oben, mit d<0 nach unten.
Auch hier kann man sich vorstellen, dass es ganz viele Möglichkeiten gibt für einen Schnitt beider Geraden, und noch viel mehr dafür, dass sie windschief zueinander sind.
Eine Beispiellösung. Ich glaube, das ist so am einfachsten.
Wähle b=0 und d=0. Dann sind g und h parallel zu den Koordinatenebenen x2-x3 bzw. x1-x2. Jetzt müssen wir die Stützpunkte so wählen, dass sie sich treffen oder nicht.
Teilaufgabe c. Mit Schnittpunkt
Wie gesagt, mit Wahl b=0 und d=0.
Dann gleichsetzen, ergibt ein LGS
2 = c + 3s (I)
a + 2r = 1 + s (II)
1 + 4r = 5 (III)
Aus (III) erhält man den Lösungsbestandteil r=1, den man in (II) gleich einsetzt
2 = c + 3s (I)
a + 2 = 1 + s (II)
Jetzt bringe ich es in die Standardform. Links Variablen, rechts Zahlen
c + 3s = 2 (I)
a - s = -1 (II)
Wir wollen eine Lösung für a und c, also müssen wir s aus dem LGS entfernen. Das geht z.B. durch die Summe (I)+3(II) und damit die Gleichung.
3 a + c = -1 (Ia)
Wenn also a und c diese Gleichung erfüllen, gibt es einen Schnittpunkt.
Das wäre z.B. a=1 und c=-4 oder a=0 und c=-1. Ihr findet ganz leicht andere Zahlenpaare. Sucht euch etwas für a raus, und bestimmt dann das passende c.
Also. Meine Lösung für Teilaufgabe c: a=0, b=0, c=-1, d=0.
Teilaufgabe d. Windschief, ohne Schnittpunkt.
Das mache ich mir jetzt ganz leicht. Da nehme ich das Ergebnis von c, wähle also b=0 und d=0 und dann ein beliebiges a, aber eben ein c, das nicht dazu passt, weil es nicht (Ia) erfüllt.
Also, a=0, b=0, d=0 und dann c=0. Man kann auch c=1 oder c=2 oder c=-2 oder irgendwas anderes nehmen, aber eben nicht c=-1.
Auf der Seite https://www.geogebra.org/m/fygyvvj8 findet ihr ein geogebra-Blatt, mit dem ihr die obigen Überlegungen nachspielen könnt.
Donnerstag, 5. Juli 2018
Blatt vom 20.6. Lösungen
Hier Aufgabe 4 mit der Bestimmung einer Funktionsgleichung für eine Parabel.
Hier Seite 171/7b aus dem Buch. Die Lösung ist in Kurzform auch auf Seite 368. Ihr seht, dass ich mich auch beim ersten Mal verrechnet habe.
Das ist Seite 171/7a. Das hatten wir am Freitag als Ansatz an der Tafel. Der Ansatz steht auch noch auf Seite 368 in den Lösungen.
Die Aufgabe 8 von Seite 171 habe ich jetzt nicht selbst gemacht. Sie steht sehr ausführlich gelöst auf Seite 368. Mit einzelnen Schritten.
Mittwoch, 13. Juni 2018
Zu den Funktionstermen und LGS
Leider bin ich ein paar Mal durcheinander geraten beim LGS, weil ich nicht richtig abgeschrieben hatte, was ich habe, und die Lösung auf dem vorigen Eintrag im Blog passt nicht zu der Aufgabe auf dem Blatt.
Ist aber gar nicht schlecht, dass wir mehrere Varianten haben, denn so habt ihr mehr Beispiele, mit denen ihr üben und die ihr überprüfen könnt.
1. Die Aufgabe, die zu der Lösung im vorigen Blogeintrag passt:
f(-2)=-1, f(0)=0, f(4)=8
also eine Parabel, die durch die Punkte (-2|-1), (0|0) und (4|8) verläuft.
2. Die Lösung zu dem, was auf dem Blatt steht
f(-2) = 0 ergibt 4 a2 - 2 a1 + a0 = 0
f(0) = -1 ergibt a0 = -1
f(4) = 7 ergibt 16 a2 + 4 a1 + a0 = 7
Ich ändere die Reihenfolge der Gleichungen
16 a2 + 4 a1 + a0 = 7 I
4 a2 - 2 a1 + a0 = 0 II
a0 = -1 III
---------------------------------
16 a2 + 4 a1 + a0 = 7 I
12 a1 - 3 a0 = 7 IIa = I-4*II
a0 = -1 III
-------------------------------
Lösungen durch Einsetzen:
a0 = -1
in IIa: 12 a1 - 3*(-1) = 7
12 a1 + 3 = 7 | -3
12 a1 = 4 | :12
a1 = 1/3
in I: 16 a2 + 4*1/3 + (-1) = 7
16 a2 + 1/3 = 7 | -1/3
16 a2 = 20/3 | :16
a2 = 5/12
also ist die Funktion f(x) = 5/12 x² + 1/3 x - 1
3. Das, was ich wahrscheinlich "eigentlich" machen wollte nämlich 3 statt 7 bei f(4).
f(-2) = 0 ergibt 4 a2 - 2 a1 + a0 = 0
f(0) = -1 ergibt a0 = -1
f(4) = 3 ergibt 16 a2 + 4 a1 + a0 = 3
Ich ändere die Reihenfolge der Gleichungen
16 a2 + 4 a1 + a0 = 3 I
4 a2 - 2 a1 + a0 = 0 II
a0 = -1 III
---------------------------------
16 a2 + 4 a1 + a0 = 3 I
12 a1 - 3 a0 = 3 IIa = I-4*II
a0 = -1 III
-------------------------------
Lösungen durch Einsetzen:
a0 = -1
in IIa: 12 a1 - 3*(-1) = 3
12 a1 + 3 = 3 | -3
12 a1 = 0 | :12
a1 = 0
in I: 16 a2 + 4*0 + (-1) = 7
16 a2 -1 = 7 | +1
16 a2 = 8 | :16
a2 = 1/2
also ist die Funktion f(x) = 1/2 x² - 1
Ist aber gar nicht schlecht, dass wir mehrere Varianten haben, denn so habt ihr mehr Beispiele, mit denen ihr üben und die ihr überprüfen könnt.
1. Die Aufgabe, die zu der Lösung im vorigen Blogeintrag passt:
f(-2)=-1, f(0)=0, f(4)=8
also eine Parabel, die durch die Punkte (-2|-1), (0|0) und (4|8) verläuft.
2. Die Lösung zu dem, was auf dem Blatt steht
f(-2) = 0 ergibt 4 a2 - 2 a1 + a0 = 0
f(0) = -1 ergibt a0 = -1
f(4) = 7 ergibt 16 a2 + 4 a1 + a0 = 7
Ich ändere die Reihenfolge der Gleichungen
16 a2 + 4 a1 + a0 = 7 I
4 a2 - 2 a1 + a0 = 0 II
a0 = -1 III
---------------------------------
16 a2 + 4 a1 + a0 = 7 I
12 a1 - 3 a0 = 7 IIa = I-4*II
a0 = -1 III
-------------------------------
Lösungen durch Einsetzen:
a0 = -1
in IIa: 12 a1 - 3*(-1) = 7
12 a1 + 3 = 7 | -3
12 a1 = 4 | :12
a1 = 1/3
in I: 16 a2 + 4*1/3 + (-1) = 7
16 a2 + 1/3 = 7 | -1/3
16 a2 = 20/3 | :16
a2 = 5/12
also ist die Funktion f(x) = 5/12 x² + 1/3 x - 1
3. Das, was ich wahrscheinlich "eigentlich" machen wollte nämlich 3 statt 7 bei f(4).
f(-2) = 0 ergibt 4 a2 - 2 a1 + a0 = 0
f(0) = -1 ergibt a0 = -1
f(4) = 3 ergibt 16 a2 + 4 a1 + a0 = 3
Ich ändere die Reihenfolge der Gleichungen
16 a2 + 4 a1 + a0 = 3 I
4 a2 - 2 a1 + a0 = 0 II
a0 = -1 III
---------------------------------
16 a2 + 4 a1 + a0 = 3 I
12 a1 - 3 a0 = 3 IIa = I-4*II
a0 = -1 III
-------------------------------
Lösungen durch Einsetzen:
a0 = -1
in IIa: 12 a1 - 3*(-1) = 3
12 a1 + 3 = 3 | -3
12 a1 = 0 | :12
a1 = 0
in I: 16 a2 + 4*0 + (-1) = 7
16 a2 -1 = 7 | +1
16 a2 = 8 | :16
a2 = 1/2
also ist die Funktion f(x) = 1/2 x² - 1
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