Nachtermin 2013

Nach der Stunde am Dienstag hat mich noch jemand von euch zu dem Termin gefragt. Hier sind Anmerkungen dazu:

2013 A1.1
Die Aufgabe ist auf den GTR zugeschnitten. Den Teil a) könnt ihr machen aber die Zahlen sind zu hässlich. Ich gebe hier den Lösungsweg an.

Ansatz für die Funktion:  f(x) = a x³ + b x² + c x + d  und damit die Ableitungen
f'(x) = 3a x² + 2b x + c und f"(x) = 6a x + 2b
Aus den Angaben durch Punkte und Wendepunkt erhaltet ihr ein LGS

f(0) = 3
f(2) = 2,8
f(4) = 3,4
f"(10/3) = 0

ergibt
                               d = 3
  8 a +   4 b + 2 c + d = 2,8
64 a + 16 b + 4 c + d = 3,4
20 a +   2 b                = 0

Man kann jetzt d=3 in II bis IV einsetzen und kriegt dann
  8 a +   4 b + 2 c = -0,2
64 a + 16 b + 4 c = 0,4
20 a +   2 b          =  0

Im GTR kann man das LGS direkt lösen. Von Hand mit Gauß ist es etwas mühsam und hässlich, aber machbar. Wenn ihr üben wollt, tut euch das an. Die Lösung ist in der Aufgabenstellung gegeben:
a = -0,025 (= -1/40)
b = 0,25    (=  1/4)
c = - 0,5    (= -1/2)

Tiefpunkt
War mit dem GTR ganz einfach, einfach Minimum suchen lassen. Für euch hässlich und mühsam, aber ein gute Übung.
Ableitung gleich null setzen
-0,075 x² + 0,5 x - 0,5  = 0
mit abc-Formel gibt es zwei Lösungen, wobei die mit x ungefähr 1,23 der Tiefpunkt ist, weil dort die zweite Ableitung positiv ist (Linkskurve, bzw. Krümmung nach oben macht Tiefpunkt). Die Andere führt zum Hochpunkt.
x=1,23 einsetzen in f(x) gibt die y-Koordinaten, also  T(1,23|2,72)

Fläche
Muss man Integrieren von 0 bis 7. Konnte der GTR auch direkt mit Integral.
Für uns heißt das jetzt, Stammfunktion und dann F(7)-F(0). Sollte etwa 22,3 rauskommen.

Der Teil b) ist für euch nichts. Rotationskörper kommen nicht mehr dran. Die Frage mit "In welcher Höhe steigt ... am langsamsten" ist einfach: nämlich dort, wo f maximal ist, also beim Hochpunkt.


A 1.2
Umfang des Rechtecks U = 2*Breite + 2*Höhe, also hängt es von a ab:
U(a) = 2 (3 - a) + 2 e^(a/2)
U'(a) = -2 + e^a/2 = 0 (beim Maximum ist U'(a)=0)
e^(a/2) = 2
a = 2 ln(2)

A 2.1 a) geht wirklich nicht ohne GTR.
    2.1 b)  könnte man mit einer Wertetabelle machen.
 Tiefpunkte von g_a(t):
g_a'(t) = (- a  + 0,25 a t) * e^(-0,25 t) = 0
Die Klammer vor dem e-Term muss = 0 sein.
Alle Tiefpunkte bei t = 4.
Dort ist die Konzentration dann
g_a(4) = 9 - 4 a e^(-1) = 9 - 4 a/e
Das ist nur sinnvoll, wenn das Ergebnis nicht = 0 oder gar negativ wird. Es müssen ja immer noch Algen da sein. Naja, null ginge, dann sind die Algen dort ausgestorben, aber dann gibt die Funktion danach keinen Sinn mehr. Also:
9 - 4 a/e = 0
a = 9/4 * e = 2,25 * e.
Es darf also a nicht größer als 2,25 * e werden.

A 2.2
Tangente am Punkt P(u | 2/u) bestimmen
y = f'(u) * (x - u) + f(u)  einsetzen
y = - 2/u² * (x - u) + 2/u vereinfachen
y = -2/u² *x + 4/u
Schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten (0 | 4/u) und (2u | 0)
Fläche des Dreiecks 1/2*Grundseite*Höhe
1/2 * 2u * 4/u = 4   - unabhängig vom Wert von u.