Nachtermin 2014

Analysis A 2.1
Ist auch für den GTR gemacht. Damit ist es einfacher, ohne geht es aber auch - probiert es, es ist dann aber etwas schwieriger als Abiniveau. Gute Übung auf jeden Fall.

a) Hier geht es um den Hochpunkt
   g'(t) = 3 * ( -e^(-t) + 2 e^(-2t)) =0
   e^t = 2
   t = ln(2)
   Einsetzen in g:
   g( ln(2) ) = 3 *( e^(-ln(2)) - e^(-2 ln(2) ) )
                  = 3*( 1/2 - 1/4 ) = 3/4 < 0,8
   Selbst beim Maximum wird es auch nicht überschritten.

   1/6 * Integral_0^6  (3 * (e^(-t) - e^(-2t) ) dt
    = 1/6 * 3 * [ -e^(-t) + 1/2 * e^(-2t) ]_0^6
    =  1/2 * ( -e^(-6) + 1/2*e^(-12) + 1 - 1/2 )
    = 1/4 - 1/(2 e^6) + 1/(4 e^12 )  = 0,2488

b) Ab t=3 beschreibt die Funktion
    g(t) + g(t-3) = 3 * ( (e^3 + 1)*e^(-t)  -  (e^6 + 1)* e^(-2t) )
    Ableitung davon ist
     3 * (- (e^3 + 1)*e^(-t)  +  2*(e^6 + 1)* e^(-2t) ) = 0
    mit Lösung
   e^t = 2*(e^6+1)/(e^3+1)
   t = ln(2*(e^6+1)/(e^3+1)) = 3,647
   Einsetzen in die Funktion
   gibt 0,8245, was den Grenzwert von 0,8 um etwa 3% übersteigt.

c) Die Funktion g_k muss bei t=1 ihr Maximum einnehmen.
    g_k'(t) = 3 * ( -e^(-kt) + 2 e^(-2kt)) =0
    Welches k ist so, dass das für t=1 erfüllt ist?
   3 * ( -e^(-k) + 2 e^(-2k)) =0
   e^k = 2
   k = ln(2)
   Einsetzen in die Funktion
  3/ln(2) * ( 1/2 - 1/4 ) = 3/(4 ln(2) ) = 1,082


A 2.2
a) Schnitt der Geraden mit dem Parabelstück
    x = x² - 2x
    3x = x²
    x=0 (links unten) und x=3 (rechts oben)
    Die untere Hälfte der Figur hat die Fläche
   Integral_0^3 ( x - (x²-2x) ) =
   Integral_0^3 ( 3x - x² ) =
   [ 3/2 x² - 1/3 x³ ]_0^3 = 27/2 - 9 = 9/2
   und die ganze Figur ist das Doppelte davon: 9.

b) Berührpunkt B, dort wo h(x) die Steigung 1 hat, also
    h'(x) = 1
    2x - 2 = 1
    x = 3/2
    y = h(3/2) = (3/2)² - 2*3/2 = 9/4 - 3 = -0,75
    B(1,5 | -0,75)
    Spiegle dazu den Punkt B an der Spiegelachse
    B'(-0,75 | 1,5 )
    Die Seitenlänge ist der Abstand von B zu B'
    Wurzel( 2,25² + 2,25² ) = 3,18