Aufgaben vom 11.4.

Aufgabe 1
Die sind alle vom Typ der linearen Substitution, oder "Kettenregel rückwärts", wie ich es genannt habe. Also zu einer Funktion f(x) ist F(x) die Stammfunktion, dann ist zu f(ax+b) die Stammfunktion 1/a * F(ax+b). Damit ergibt sich

a) 1/2 * 2 sin(2x) = sin(2x)
b) 1/3 * 2 e^(3x) = 2/3 * e^(3x)
c) 1/2 * 2 * ln|2x+3| = ln|2x+3|
d) 1/1 * 1/(-1) * (x+1)^(-1) = - 1/(x+1)

Aufgabe 2
a) Dazu braucht man die beiden Nullstellen des cos. Ich habe die links und rechts von der 0 gemeint, aber das vergessen, deutlich zu sagen. Die sind bei pi/2 und -pi/2. Dann rechnet man

Integral_(-pi/2)^(pi/2) cos(x) dx  = [sin(x)]_(-pi/2)^(pi/2)
= sin(pi/2) - sin(-pi/2) = 1 - (-1) = 2

(mit der komischen Schreibweise _ und ^ meine ich unten und oben, wo
man die Grenzen beim Integral und der eckigen Klammer der Stammfunktion hinschreibt.)

b) Finde a so, dass es auch die gleichen Nullstellen hat
1 - a (pi/2)² = 0
a (pi/2)² = 1
a = (2/pi)²

c) Wieder ein Integral
Integral_(-pi/2)^(pi/2)  ( 1 - (2/pi²) x²) dx =
[ x - 4/(3 pi²) x³ ]_(-pi/2)^(pi/2) =
[pi/2 - 4/(3 pi²) (pi/2)³] - [-pi/2 + 4/(3 pi²) (pi/2)³] =
pi - 1/3 pi = 2/3 pi
was ein kleines bisschen mehr ist als 2, nämlich um den Faktor pi/3, also etwa 5% mehr.


Aufgabe 3
a) Da muss man im wesentlich gut aus dem Schaubild ablesen.
f(8) = 43 lese ich ab, also 43mg
f'(8) = -6 kann man aus einer Tangenten am Punkt (8|43) ablesen,
also nimmt die Wirkstoffmenge ab um 6mg/h. Wenn es also unverändert weiter so abnähme, würde in jeder Stunde 6mg abgebaut oder ausgeschieden.  Tatsächlich flacht die Kurve aber ab, und die momentane Änderungsrate sinkt schwächer, je mehr Zeit vergeht.
Wo ist das Schaubild über 35? von etwa t=1,2 bis t=9,6, also von etwa 1h12min bis 9h36min.

b) "Langfristig", da geht es um die Asymptote
g(t) = 80 * (1 - e^(-0,05 t) ) für t-> +unendlich
Da geht der Ausdruck mit e^... gegen null, und es bleibt 80*1, also 80mg als asymptotischer Wert.

Zeige, dass sie zunimmt. Ableiten
g(t) = 80 * (1 - e^(-0,05 t) ) hat die Ableitung
g'(t) = 80 (-e^(-0,05 t) ) * (-0,05) = 80*0,05*e^(-0,05 t) = 4*e^(-0,05 t)
und das ist immer positiv, weil e^... immer positiv ist.
Wann ist die Änderungsrate = 1mg/min? Dazu muss man gleichsetzen
1 = g'(t)
1 = 4*e^(-0,05 t) | e^(0,05t)
e^(0,05 t) = 4
0,05 t = ln(4) | *20
t = 20*ln(4)

Integral als Ober- und Untersumme

Kann man auf diesem geogebra-Arbeitsblatt ausprobieren:
https://www.geogebra.org/m/kdMw3MJB

Hausi S 53/3

a) Gemeinsamkeiten aller Schaubilder der Schar

• Asymptote y=0 für x-> - unendlich
• Für x-> + unendlich steigt die Funktion f(x) -> + unendlich
• alle durch (0|0)
• alle unter der x-Achse für x<0, alle über der x-Achse für x>0
• alle einen Tiefpunkt bei x=-1 mit negativem y-Wert
• sieht man nicht gut, aber alle haben einen Wendepunkt bei x=-2

b)  Ableiten mit Produktregel und dann x=0 einsetzen

f_a'(x) = e^(a+x) + x * e^(a+x) = (x+1)*e^(a+x)

und damit ist f_a'(0) = e^a

c) Am einfachsten über die Steigung im Ursprung. Die Schaubilder werden von A bis D immer steiler. Das heißt die Kurve A muss zum kleinsten Wert von a=0 gehören, weil e^a dann auch am kleinsten ist,

dann kommt B mit a=0,5

dann C mit a=1

dann D mit a=1,5

Übungsblatt Gleichungen lösen

Hier die Lösungen. Die Reihenfolge stimmt nicht, bitte sucht euch die passenden raus. Umsortieren wäre mir heute zu zeitaufwendig.

Übungsblatt vom 19.1., Ableitungen vereinfacht

So, ich hatte das wieder mal an die falsche Stelle hochgeladen. Sorry.

Fragt gerne bei mir nach, wenn ihr eventuell andere Ausdrücke habt, oder anders vereinfacht habt als ich hier auf dem Blatt. Äquivalentes ist natürlich immer auch richtig.

Übungsblatt vom 19.1.

Erst einmal noch nicht die Lösungen sondern nur Hilfestellungen

a: Produktregel
b: Produkt, Kettenregel aus e^(2x) wird 2*e^(2x)
c: Produkt, Kettenregel aus e^(-2x) wird -2*e^(-2x)

d, e: nur Produkt, denkt an sin -> cos

f: Produkt, Kettenregel aus e^(-x) wird -e^(-x)

g: Kettenregel. Denkt an die Ableitung von -x²

h, i: Wie g, nur noch mit Produkt

j: den Bruch könnt ihr aufspalten,  (e^x + e^(-x))/2 = 1/2*e^x + 1/2*e^(-x)

k: wie j, nur mit - statt +

l: schreibt den Bruch als Produkt: sin(x)/cos(x) = sin(x) * (1/cos(x)) = sin(x) * (cos(x))^(-1), dann Produkt- und Kettenregel

m: auch hier Nenner mit Hochzahl -1:  1/(....) = (....)^(-1), dann Kettenregel

n: Bruch als Produkt wie in l

o: Volle Kombi aus Produkt- und Kettenregel. Für e^(-x²/2) könnt ihr bei den Aufgaben g,h,i abschauen.

Dann die Nullstellen der Ableitungen. Immer dran denken e^(egal was) wird nie null. Ihr müsst also immer den Teil mit e^(egal was) ausklammern und dann schauen, wo die Klammer null wird.

So, die tatsächlichen Lösungen folgen ab etwa Dienstag. ;-P

Exponentialfunktion

Mit variabler Basis b^x, dazu die erste und zweite Ableitung.
https://www.geogebra.org/m/pX99BNVa