Wochenaufgabe zum 22.11.
und hier habe ich mögliche Lösungen zu den Nachdenkaufgaben vom 22.11.
Donnerstag, 14. November 2019
Wochenaufgaben 15.11. und 22.11
Wochenaufgabe zum 15.11.
Wochenaufgabe zum 22.11.
und hier habe ich mögliche Lösungen zu den Nachdenkaufgaben vom 22.11.
Wochenaufgabe zum 22.11.
und hier habe ich mögliche Lösungen zu den Nachdenkaufgaben vom 22.11.
Montag, 4. November 2019
Klausur - Lösungen
Aufgabe 1 - Ableiten
Achtet auf Ketten- und Produktregel
- sin(x²) --> - cos(x²) 2x --> sin(x²) 4x² - cos(x²) 2
- cos(x²) --> sin(x²) 2x --> cos(x²) 4x² + sin(x²) 2
Aufgabe 2
a) Graph mit Hoch- bzw. Tiefpunkten
f(x) = 1/8 x^4 - x² + 3
f'(x) = 1/2 x³ - 2x
f"(x) = 3/2 x² - 2
1/2 x³ - 2x = 0
--> x1 = 0 f"(0) = -2 --> Hochpunkt H(0|3)
--> x2 = 2 f"(2) > 0 --> Tiefpunkt T(2|1)
--> x3 = -2 f"(-2) > 0 --> Tiefpunkt T(-2|1)
Achtet auf Ketten- und Produktregel
- sin(x²) --> - cos(x²) 2x --> sin(x²) 4x² - cos(x²) 2
- cos(x²) --> sin(x²) 2x --> cos(x²) 4x² + sin(x²) 2
Aufgabe 2
a) Graph mit Hoch- bzw. Tiefpunkten
f(x) = 1/8 x^4 - x² + 3
f'(x) = 1/2 x³ - 2x
f"(x) = 3/2 x² - 2
1/2 x³ - 2x = 0
--> x1 = 0 f"(0) = -2 --> Hochpunkt H(0|3)
--> x2 = 2 f"(2) > 0 --> Tiefpunkt T(2|1)
--> x3 = -2 f"(-2) > 0 --> Tiefpunkt T(-2|1)
andere Gruppe:
f(x) = -1/8 x^4 + x² + 2
f'(x) = -1/2 x³ + 2x
f"(x) = -3/2 x² + 2
-1/2 x³ + 2x = 0
--> x1 = 0 f"(0) = 2 -->Tiefpunkt T(0|2)
--> x2 = 2 f"(2) < 0 --> Hochpunkt H(2|4)
--> x3 = -2 f"(-2) < 0 --> Hochpunkt H(-2|4)
f'(x) = -1/2 x³ + 2x
f"(x) = -3/2 x² + 2
-1/2 x³ + 2x = 0
--> x1 = 0 f"(0) = 2 -->Tiefpunkt T(0|2)
--> x2 = 2 f"(2) < 0 --> Hochpunkt H(2|4)
--> x3 = -2 f"(-2) < 0 --> Hochpunkt H(-2|4)
b) f(x) = a mit genau zwei Lösungen. Für welche a?
Das entspricht den Schnittpunkten des Schaubilds mit einer waagrechten Geraden y=a (auf Höhe a).
Genau zwei Lösungen gibt es
- bei den beiden Tiefpunkten bzw. den beiden Hochpunkten, also für a=1 bzw. für a =4.
- oberhalb von H(0|3) bzw. unterhalb T(0|2), also für a>3 bzw. für a<2
Aufgabe 3
a) Der Graph von f hat bei x=0 einen Hochpunkt, weil f' dort das Vorzeichen von + nach - wechselt.
b) Der Graph von f hat zwei Wendepunkte, weil f' zwei Extrema besitzt. Eins hat f'(x)>0, dort hat die Wendetangente positive Steigung, eins hat f'(x)<0, Wendetangente hat negative Steigung.
c) von -2 bis 0 ist f'>0, also steigt f streng monoton, d.h. f(-2)<f(0).
von 0 bis 2 ist f'>0, also fällt f streng monoton, d.h. f(0)>f(2).
Aufgabe 4
Die beiden Extrempunkte sind H(1|3) und T(2|1).
Die Gerade durch sie ist y= -2x + 5.
Sie schneidet die Koordinatenachsen in P(0|5) und Q(2,5|0).
Mit Pythagoras ist |PQ| = (5² + 2,5²)^0,5
andere Gruppe:
H(2|6) und T(4|2).
y = -2 x + 10
P(0|10) und Q(5|0)
|PQ| = (10² + 5²)^0,5
Aufgabe 5
a) Hochpunkt bei H(-5|20) --> 20 m über dem Straßenniveau. (Es gibt noch einen Tiefpunkt bei x=3, aber der gibt im Zusammenhang kein Ergebnis, er liegt sozusagen unter der Straße)
b) Wendepunkte bei W(-2|9,2) --> In der Höhe 9,2 m ist der Hang am steilsten.
Andere Gruppe H(-5|10) --> 10 m und W(-2|4,6) --> 4,6 m
Samstag, 12. Oktober 2019
Merkhilfe
Denkt dran, dass ihr am Montag die Merkhilfe mitbringt für den zweiten Teil der Klausur. Ihr könnt dann z.B. nachschauen, wie man zu zwei gegebenen Punkten die Gleichung der Geraden durch beide Punkte finden kann. 😃👌
Freitag, 11. Oktober 2019
Donnerstag, 10. Oktober 2019
Kegelförmiges Gefäß
Lösung zur Nachdenkaufgabe 3
1. Volumen eines Kegels V = 1/3 G h = 1/3 pi r0² h0 = 100 pi
Bei 5 cm²/s dauert das t0 = 20*pi Sekunden, also etwas über 1 Minute lang.
2. Bei Füllhöhe h ist der Radius der Wasseroberfläche r = r0 * h/h0 = 5/12 * h
und damit das Volumen in Höhe h: V(h) = 1/3 pi r² h = 1/3 pi 25/144 h³
Das dauert also t(h) = V(h)/5 = 5/432 pi h³ Sekunden
3. Das umgestellt ergibt
h(t) = (432/(5 pi) * t)^(1/3)
4. Ableitung davon ist
h'(t) = 1/3 * (432/(5 pi) * t)^(-2/3) * 432/(5 pi)
= 1/3 * (432/(5 pi))^(1/3) * t^(-2/3)
Das Schaubild zeigt h(t) in rot und v(t) in lila. Achtet auf die Maßstäbe.
1. Volumen eines Kegels V = 1/3 G h = 1/3 pi r0² h0 = 100 pi
Bei 5 cm²/s dauert das t0 = 20*pi Sekunden, also etwas über 1 Minute lang.
2. Bei Füllhöhe h ist der Radius der Wasseroberfläche r = r0 * h/h0 = 5/12 * h
und damit das Volumen in Höhe h: V(h) = 1/3 pi r² h = 1/3 pi 25/144 h³
Das dauert also t(h) = V(h)/5 = 5/432 pi h³ Sekunden
3. Das umgestellt ergibt
h(t) = (432/(5 pi) * t)^(1/3)
4. Ableitung davon ist
h'(t) = 1/3 * (432/(5 pi) * t)^(-2/3) * 432/(5 pi)
= 1/3 * (432/(5 pi))^(1/3) * t^(-2/3)
Das Schaubild zeigt h(t) in rot und v(t) in lila. Achtet auf die Maßstäbe.
Freitag, 13. September 2019
Lösungen der Aufgaben
Donnerstag 12.9.
S 10/7
a) f(5) = 81,2:
am 1.1.2015 lebten in D 81,2 Millionen Menschen
(f(5,5)-f(5))/(5,5-5) = 0,7:
Im ersten Halbjahr 2015 betrug die mittlere Änderungsrate 0,7 Mio. Menschen pro Jahr,
d.h. in dem Halbjahr hat die Bevölkerung um 350 000 zugenommen.
b) Wenn man das extrapoliert auf das ganze Jahr 2015, erwartet man 81,2 + 0,7 = 81,9 Millionen Menschen zum Anfang 2016.
S12/1
a) --> 8x + 2 --> 8
b) --> 1/2 x² - 3/2 x --> x - 3/2
c) --> - 2 sin(x) --> -2 cos(x)
d) --> 1/Wurzel(x) - 2 ---> -1/(2 Wurzel(x³) )
e) --> 1/3 * x^(-2/3) --> -2/9 * x^(-5/3)
f) --> 2 x^(-3) + 3 --> -6 x^(-4)
g) --> -15*x^(-4) - 3/5 x² --> 60*x^(-5) - 6/5 x
h) --> 0 --> 0
j) --> 0 --> 0 weil beides konstante Zahlen sind, die nicht mit x variieren.
Freitag 13.9.
S12/2
a) x² - 3x --> 2x -3 --> 2
b) x² + 8x + 16 --> 2x + 8 --> 2
c) --> 4 v³ + 6 v^(-4) --> 12 v² - 24 v^(-5)
d) a² + 1 --> 2a --> 2 (hier gehört a=0 aber NICHT zur Definitionsmenge)
e) -2t² + 12t -16 --> -4t + 12 --> -4
f) 3x² - 1/2 x --> 6 x - 1/2 --> 6 (auch hier gehört x=0 NICHT dazu)
S13/9
a) falsch. Multipliziert aus. Leitet dann die Potenzfunktion ab, die ihr erhaltet. Eine Produktregel werden wir bald kennenlernen.
b) falsch. Gegenbeispiele sind z.B. f(x)= x² + 1 oder f(x)=5 oder ....
c) richtig. Potenzfunktionen sind die mit x^r, hier r=-1/3.
d) falsch. Das ist keine Potenzfunktion, sondern eine Exponentialfunktion, weil x im Exponenten steht. Deren Ableitungen werden wir noch kennenlernen.
e) falsch. Gegenbeispiel x² + 1 und x² + 2. Immer wenn sich zwei Funktionen nur durch eine additive Konstante unterscheiden, sind ihre Ableitungen gleich. Das wird noch seeeehr wichtig, wenn wir "aufleiten", also das Gegenteil von Ableiten machen, das sogenannte Integrieren.
S 10/7
a) f(5) = 81,2:
am 1.1.2015 lebten in D 81,2 Millionen Menschen
(f(5,5)-f(5))/(5,5-5) = 0,7:
Im ersten Halbjahr 2015 betrug die mittlere Änderungsrate 0,7 Mio. Menschen pro Jahr,
d.h. in dem Halbjahr hat die Bevölkerung um 350 000 zugenommen.
b) Wenn man das extrapoliert auf das ganze Jahr 2015, erwartet man 81,2 + 0,7 = 81,9 Millionen Menschen zum Anfang 2016.
S12/1
a) --> 8x + 2 --> 8
b) --> 1/2 x² - 3/2 x --> x - 3/2
c) --> - 2 sin(x) --> -2 cos(x)
d) --> 1/Wurzel(x) - 2 ---> -1/(2 Wurzel(x³) )
e) --> 1/3 * x^(-2/3) --> -2/9 * x^(-5/3)
f) --> 2 x^(-3) + 3 --> -6 x^(-4)
g) --> -15*x^(-4) - 3/5 x² --> 60*x^(-5) - 6/5 x
h) --> 0 --> 0
j) --> 0 --> 0 weil beides konstante Zahlen sind, die nicht mit x variieren.
Freitag 13.9.
S12/2
a) x² - 3x --> 2x -3 --> 2
b) x² + 8x + 16 --> 2x + 8 --> 2
c) --> 4 v³ + 6 v^(-4) --> 12 v² - 24 v^(-5)
d) a² + 1 --> 2a --> 2 (hier gehört a=0 aber NICHT zur Definitionsmenge)
e) -2t² + 12t -16 --> -4t + 12 --> -4
f) 3x² - 1/2 x --> 6 x - 1/2 --> 6 (auch hier gehört x=0 NICHT dazu)
S13/9
a) falsch. Multipliziert aus. Leitet dann die Potenzfunktion ab, die ihr erhaltet. Eine Produktregel werden wir bald kennenlernen.
b) falsch. Gegenbeispiele sind z.B. f(x)= x² + 1 oder f(x)=5 oder ....
c) richtig. Potenzfunktionen sind die mit x^r, hier r=-1/3.
d) falsch. Das ist keine Potenzfunktion, sondern eine Exponentialfunktion, weil x im Exponenten steht. Deren Ableitungen werden wir noch kennenlernen.
e) falsch. Gegenbeispiel x² + 1 und x² + 2. Immer wenn sich zwei Funktionen nur durch eine additive Konstante unterscheiden, sind ihre Ableitungen gleich. Das wird noch seeeehr wichtig, wenn wir "aufleiten", also das Gegenteil von Ableiten machen, das sogenannte Integrieren.
Donnerstag, 12. September 2019
Geogebra-Apps vom 12.9.19
- Die Ableitungsfunktion: Jedem x wird die Steigung der Tangenten zugeordnet.
https://www.geogebra.org/m/sYwr6TsS - Mittlere und Momentane Änderungsrate, Steigung einer Sekanten und einer Tangenten. Je näher ihr die beiden Punkte zusammenschiebt, umso genauer bekommt ihr die Tangente.
https://www.geogebra.org/m/cvnc4ddr
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