... kann man weiter üben.
Hier noch einmal die beiden letzten Wochenaufgaben (für die, die krank oder beim Austausch in Tschechien waren)
9.12.2019
13.12.2019
Dann will ich auf die nah an unseren Büchern orientierten Seiten https://fliptheclassroom.de/ und die zugehörige App verweisen.
Schaut euch die Erklärvideos an. "Rechts oben Mathe Kursstufe (neu)", wir sind gerade vor allem bei den Kapiteln II und III. Aber das I könnt ihr auch anschauen.
Abiaufgaben. Die Seiten des Landes sind alle etwas unübersichtlich. Ein Lehrer hat hier eine gute Zusammenfassung: mathe-aufgaben.com
Für uns sind die Aufgaben ab 2021 relevant: https://www.mathe-aufgaben.com/skripte/abitur/bw-allgemein-bildende-gymnasien-ab-2021.html
Das sind Musteraufgaben mit Lösungen.
Freitag, 27. Dezember 2019
Donnerstag, 12. Dezember 2019
Übungen für 13.12.
https://drive.google.com/file/d/1H-p2jHO_pKpAhRFnAIsQCQQq68JhOc_b/view?usp=sharing
Noch eine Anmerkung zur letzten Aufgabe.
Berühren an einem Punkt heißt, dass die Schaubilder dort einen gemeinsamen Punkt haben (also f(x)=g(x)) und dass sie die gleiche Steigung haben (also f '(x)=g'(x)).
Noch eine Anmerkung zur letzten Aufgabe.
Berühren an einem Punkt heißt, dass die Schaubilder dort einen gemeinsamen Punkt haben (also f(x)=g(x)) und dass sie die gleiche Steigung haben (also f '(x)=g'(x)).
Donnerstag, 14. November 2019
Wochenaufgaben 15.11. und 22.11
Wochenaufgabe zum 15.11.
Wochenaufgabe zum 22.11.
und hier habe ich mögliche Lösungen zu den Nachdenkaufgaben vom 22.11.
Wochenaufgabe zum 22.11.
und hier habe ich mögliche Lösungen zu den Nachdenkaufgaben vom 22.11.
Montag, 4. November 2019
Klausur - Lösungen
Aufgabe 1 - Ableiten
Achtet auf Ketten- und Produktregel
- sin(x²) --> - cos(x²) 2x --> sin(x²) 4x² - cos(x²) 2
- cos(x²) --> sin(x²) 2x --> cos(x²) 4x² + sin(x²) 2
Aufgabe 2
a) Graph mit Hoch- bzw. Tiefpunkten
f(x) = 1/8 x^4 - x² + 3
f'(x) = 1/2 x³ - 2x
f"(x) = 3/2 x² - 2
1/2 x³ - 2x = 0
--> x1 = 0 f"(0) = -2 --> Hochpunkt H(0|3)
--> x2 = 2 f"(2) > 0 --> Tiefpunkt T(2|1)
--> x3 = -2 f"(-2) > 0 --> Tiefpunkt T(-2|1)
Achtet auf Ketten- und Produktregel
- sin(x²) --> - cos(x²) 2x --> sin(x²) 4x² - cos(x²) 2
- cos(x²) --> sin(x²) 2x --> cos(x²) 4x² + sin(x²) 2
Aufgabe 2
a) Graph mit Hoch- bzw. Tiefpunkten
f(x) = 1/8 x^4 - x² + 3
f'(x) = 1/2 x³ - 2x
f"(x) = 3/2 x² - 2
1/2 x³ - 2x = 0
--> x1 = 0 f"(0) = -2 --> Hochpunkt H(0|3)
--> x2 = 2 f"(2) > 0 --> Tiefpunkt T(2|1)
--> x3 = -2 f"(-2) > 0 --> Tiefpunkt T(-2|1)
andere Gruppe:
f(x) = -1/8 x^4 + x² + 2
f'(x) = -1/2 x³ + 2x
f"(x) = -3/2 x² + 2
-1/2 x³ + 2x = 0
--> x1 = 0 f"(0) = 2 -->Tiefpunkt T(0|2)
--> x2 = 2 f"(2) < 0 --> Hochpunkt H(2|4)
--> x3 = -2 f"(-2) < 0 --> Hochpunkt H(-2|4)
f'(x) = -1/2 x³ + 2x
f"(x) = -3/2 x² + 2
-1/2 x³ + 2x = 0
--> x1 = 0 f"(0) = 2 -->Tiefpunkt T(0|2)
--> x2 = 2 f"(2) < 0 --> Hochpunkt H(2|4)
--> x3 = -2 f"(-2) < 0 --> Hochpunkt H(-2|4)
b) f(x) = a mit genau zwei Lösungen. Für welche a?
Das entspricht den Schnittpunkten des Schaubilds mit einer waagrechten Geraden y=a (auf Höhe a).
Genau zwei Lösungen gibt es
- bei den beiden Tiefpunkten bzw. den beiden Hochpunkten, also für a=1 bzw. für a =4.
- oberhalb von H(0|3) bzw. unterhalb T(0|2), also für a>3 bzw. für a<2
Aufgabe 3
a) Der Graph von f hat bei x=0 einen Hochpunkt, weil f' dort das Vorzeichen von + nach - wechselt.
b) Der Graph von f hat zwei Wendepunkte, weil f' zwei Extrema besitzt. Eins hat f'(x)>0, dort hat die Wendetangente positive Steigung, eins hat f'(x)<0, Wendetangente hat negative Steigung.
c) von -2 bis 0 ist f'>0, also steigt f streng monoton, d.h. f(-2)<f(0).
von 0 bis 2 ist f'>0, also fällt f streng monoton, d.h. f(0)>f(2).
Aufgabe 4
Die beiden Extrempunkte sind H(1|3) und T(2|1).
Die Gerade durch sie ist y= -2x + 5.
Sie schneidet die Koordinatenachsen in P(0|5) und Q(2,5|0).
Mit Pythagoras ist |PQ| = (5² + 2,5²)^0,5
andere Gruppe:
H(2|6) und T(4|2).
y = -2 x + 10
P(0|10) und Q(5|0)
|PQ| = (10² + 5²)^0,5
Aufgabe 5
a) Hochpunkt bei H(-5|20) --> 20 m über dem Straßenniveau. (Es gibt noch einen Tiefpunkt bei x=3, aber der gibt im Zusammenhang kein Ergebnis, er liegt sozusagen unter der Straße)
b) Wendepunkte bei W(-2|9,2) --> In der Höhe 9,2 m ist der Hang am steilsten.
Andere Gruppe H(-5|10) --> 10 m und W(-2|4,6) --> 4,6 m
Samstag, 12. Oktober 2019
Merkhilfe
Denkt dran, dass ihr am Montag die Merkhilfe mitbringt für den zweiten Teil der Klausur. Ihr könnt dann z.B. nachschauen, wie man zu zwei gegebenen Punkten die Gleichung der Geraden durch beide Punkte finden kann. 😃👌
Freitag, 11. Oktober 2019
Donnerstag, 10. Oktober 2019
Kegelförmiges Gefäß
Lösung zur Nachdenkaufgabe 3
1. Volumen eines Kegels V = 1/3 G h = 1/3 pi r0² h0 = 100 pi
Bei 5 cm²/s dauert das t0 = 20*pi Sekunden, also etwas über 1 Minute lang.
2. Bei Füllhöhe h ist der Radius der Wasseroberfläche r = r0 * h/h0 = 5/12 * h
und damit das Volumen in Höhe h: V(h) = 1/3 pi r² h = 1/3 pi 25/144 h³
Das dauert also t(h) = V(h)/5 = 5/432 pi h³ Sekunden
3. Das umgestellt ergibt
h(t) = (432/(5 pi) * t)^(1/3)
4. Ableitung davon ist
h'(t) = 1/3 * (432/(5 pi) * t)^(-2/3) * 432/(5 pi)
= 1/3 * (432/(5 pi))^(1/3) * t^(-2/3)
Das Schaubild zeigt h(t) in rot und v(t) in lila. Achtet auf die Maßstäbe.
1. Volumen eines Kegels V = 1/3 G h = 1/3 pi r0² h0 = 100 pi
Bei 5 cm²/s dauert das t0 = 20*pi Sekunden, also etwas über 1 Minute lang.
2. Bei Füllhöhe h ist der Radius der Wasseroberfläche r = r0 * h/h0 = 5/12 * h
und damit das Volumen in Höhe h: V(h) = 1/3 pi r² h = 1/3 pi 25/144 h³
Das dauert also t(h) = V(h)/5 = 5/432 pi h³ Sekunden
3. Das umgestellt ergibt
h(t) = (432/(5 pi) * t)^(1/3)
4. Ableitung davon ist
h'(t) = 1/3 * (432/(5 pi) * t)^(-2/3) * 432/(5 pi)
= 1/3 * (432/(5 pi))^(1/3) * t^(-2/3)
Das Schaubild zeigt h(t) in rot und v(t) in lila. Achtet auf die Maßstäbe.
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