Wir haben vor allem Verkettungen von Funktionen f(x) = u(v(x)) betrachtet. Für ihre Ableitung braucht man die Kettenregel.
http://www.fliptheclassroom.de/project/2-2-kettenregel/
Mittwoch, 28. Oktober 2015
Erklär-Videos
zu den aktuellen Kapiteln findet ihr (vor allem die Amerikareisenden) hier Erklärvideos:
Zwei Videos zu den Tangenten:
http://www.fliptheclassroom.de/project/1-6-probleme-loesen-im-umfeld-der-tangente-teil-1/
http://www.fliptheclassroom.de/project/1-6-probleme-loesen-im-umfeld-der-tangente-teil-2/
Einfacher ist der Fall, dass die Tangente (oder Normale) an einem bereits bekannten Punkt (u|f(u)) auf dem Schaubild gebildet wird. Hier war der Ansatz:
1. Steigung ist f'(u), also die Geradengleichung
2. Im Punkt (u|f(u)) ist y=f(u) und x=u
3. Das kann man nach c umstellen und erhält so
Schwieriger ist dagegen, wenn man von einem Punkt A(a|b) außerhalb des Schaubilds, eine Tangente (oder Normale) an das Schaubild legen muss, dass man also diesen Punkt P(u|f(u)) noch finden muss.
An diesem Punkt muss die Tangentensteigung f'(u) gleich der Steigung einer Geraden durch A und P sein. Damit erhält man die Gleichung
bzw.
die man nach u umstellen muss. Wenns nicht geht, muss man die Lösung(en) mit dem GTR finden.
Zwei Videos zu den Tangenten:
http://www.fliptheclassroom.de/project/1-6-probleme-loesen-im-umfeld-der-tangente-teil-1/
http://www.fliptheclassroom.de/project/1-6-probleme-loesen-im-umfeld-der-tangente-teil-2/
Einfacher ist der Fall, dass die Tangente (oder Normale) an einem bereits bekannten Punkt (u|f(u)) auf dem Schaubild gebildet wird. Hier war der Ansatz:
1. Steigung ist f'(u), also die Geradengleichung
2. Im Punkt (u|f(u)) ist y=f(u) und x=u
3. Das kann man nach c umstellen und erhält so
Schwieriger ist dagegen, wenn man von einem Punkt A(a|b) außerhalb des Schaubilds, eine Tangente (oder Normale) an das Schaubild legen muss, dass man also diesen Punkt P(u|f(u)) noch finden muss.
An diesem Punkt muss die Tangentensteigung f'(u) gleich der Steigung einer Geraden durch A und P sein. Damit erhält man die Gleichung
bzw.
die man nach u umstellen muss. Wenns nicht geht, muss man die Lösung(en) mit dem GTR finden.
Mittwoch, 7. Oktober 2015
Videos zu unseren Kapiteln
Extremstellen http://www.fliptheclassroom.de/project/1-4-kriterien-fuer-extremstellen/
Wendestellen http://www.fliptheclassroom.de/project/1-5-kriterien-fuer-wendestellen/
Und hier noch eine Zusammenfassung, die aber schon mehr enthält als wir bisher gemacht haben http://www.fliptheclassroom.de/project/zusammenfassung-1-schluesselkonzept-ableitung/
Wendestellen http://www.fliptheclassroom.de/project/1-5-kriterien-fuer-wendestellen/
Und hier noch eine Zusammenfassung, die aber schon mehr enthält als wir bisher gemacht haben http://www.fliptheclassroom.de/project/zusammenfassung-1-schluesselkonzept-ableitung/
Übungsblätter
Mit Hilfsmitteln, Bergstollenaufgabe
Extrema von Funktionen findet man mit 2nd CALC maximum/minimum
a. Höchste Stelle bei x=0 ist f(x)=8, also 8 Meter.
b. Finde das Maximum (links) und das Minimum (rechts) der Ableitung f'(x). Das ist bei x=-2,61 bzw. bei x=2,61. Das sind die Wendepunkte des Schaubilds von f.
c. Von der Wertetabelle (2nd TABLE) übertragen, einigermaßen sorgfältig bleiben.
Mit Hilfsmitteln, Deichquerschnitt
a) Höchster Punkt bei x=0 mit f(x)=4, also 4 Meter.
b) 2nd CALC intersect mit g(x)=3, bei -2,31. Also 2,31m links vom höchsten Punkt.
c) Ableitung (könnt ihr noch nicht von Hand, müsst also mit nDeriv arbeiten, lernen wir aber in den nächsten Wochen) Witzigerweise auch bei -2,31. Das war aber keine Absicht von mir.
d) Neigung bei -2,31 ist f'(2,31)=0.65=65% entspricht einem Winkel von 33°, denn tan(33°)=0,65
Extrema von Funktionen findet man mit 2nd CALC maximum/minimum
a. Höchste Stelle bei x=0 ist f(x)=8, also 8 Meter.
b. Finde das Maximum (links) und das Minimum (rechts) der Ableitung f'(x). Das ist bei x=-2,61 bzw. bei x=2,61. Das sind die Wendepunkte des Schaubilds von f.
c. Von der Wertetabelle (2nd TABLE) übertragen, einigermaßen sorgfältig bleiben.
Mit Hilfsmitteln, Deichquerschnitt
a) Höchster Punkt bei x=0 mit f(x)=4, also 4 Meter.
b) 2nd CALC intersect mit g(x)=3, bei -2,31. Also 2,31m links vom höchsten Punkt.
c) Ableitung (könnt ihr noch nicht von Hand, müsst also mit nDeriv arbeiten, lernen wir aber in den nächsten Wochen) Witzigerweise auch bei -2,31. Das war aber keine Absicht von mir.
d) Neigung bei -2,31 ist f'(2,31)=0.65=65% entspricht einem Winkel von 33°, denn tan(33°)=0,65
Dienstag, 6. Oktober 2015
Aufgabe im Buch S30/2
Sattelpunkte sind Wendepunkte mit waagrechter Tangente, d.h. dort ist f'(x)=0
a) f'"(x) = 6x + 6 hat eine Nullstelle bei x=-1.
f'(-1) = 3(-1)²+ 6(-1) + 3 = 3 - 6 + 3 = 0. also waagrechte Tangente, also Sattel.
b) f"(x) = 12 x² - 24 x + 9
hat Nullstellen bei 1,5 und 4,5
f'(1,5) = 1 und f(4,5)=100. Beides ist ungleich 0, kein Sattel
c) Könnt ihr nur mit GTR machen.Hat keinen Sattelpunkt. Bei x=0 ist eine waagrechte Tangente, aber f'' wechselt dort nicht das Vorzeichen. Also ist es kein Wendepunkt und auch kein Sattel.
Keine Panik. Ich werde am Freitag nichts mit sin/cos zum selberrechnen machen.
a) f'"(x) = 6x + 6 hat eine Nullstelle bei x=-1.
f'(-1) = 3(-1)²+ 6(-1) + 3 = 3 - 6 + 3 = 0. also waagrechte Tangente, also Sattel.
b) f"(x) = 12 x² - 24 x + 9
hat Nullstellen bei 1,5 und 4,5
f'(1,5) = 1 und f(4,5)=100. Beides ist ungleich 0, kein Sattel
c) Könnt ihr nur mit GTR machen.Hat keinen Sattelpunkt. Bei x=0 ist eine waagrechte Tangente, aber f'' wechselt dort nicht das Vorzeichen. Also ist es kein Wendepunkt und auch kein Sattel.
Keine Panik. Ich werde am Freitag nichts mit sin/cos zum selberrechnen machen.
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