Übungen von vor den Ferien

Ohne Hilfsmittel
1a    Produktregel         2x e^-x  - x² e^-x
1b   Kettenregel            1/2*(x²+1)^-1/2  * 2 x  =   x/Wurzel(x^2+1)

2
a) Stammfunktion 4/3 x^3 - 1/5 x^5  ->  32/3 - 32/5 + 32/3 - 32/5 = 64*(1/3 - 1/5) = 64*2/15=128/15
b)  Stammfkt:   2 ln|x+1|    ->    2 ln(3) - 2 ln(1)  = 2 ln(3)
c)   Stammf:   -1/pi*cos(pi*x)   ->  1/pi + 1/pi  = 2/pi

3
a) z=x^3    z²-7z-8=0   z  hat Lsgn   8 und -1. Damit hat x die Lsgn  2 und -1
b) cos(x)=0   -> Lsgn  x=pi/2 und x=3/2*pi
    sin(x)=-1   - > Lsg   x=pi


4   Hier ist eine mögliche Stammfunktion in rot. Auf was habe ich geachtet?
     bei x=-1 hat f eine Nullstelle. Die Stammfunktion hat dort eine waagr. Tangente.
     Es ist ein Sattelpunkt, weil f dort NICHT das Vorzeichen wechselt.
     f ist auf beiden Seiten negativ, also muss die Stammfunktion auf beiden seiten fallen.

     bei x=1 hat f eine Nullstelle mit wechsel von - nach +.
     Also fällt die Stammfunktion davor und wächst danach. Sie hat ein Minimum.

    Das Minimum muss tiefer liegen als der Sattelpunkt. Weil f dazwischen negativ ist.
    Daher muss die Stammfunktion abnehmen zwischen dem Sattelpunkt und dem Minimum.

    Man kann noch auf Links- und Rechtskurven achten.
   Dort wo f fällt, macht die Stammfunktion eine Rechtskurve, wo f steigt, eine Linkskurve.

   Man kann die Stammfunktion beliebig nach oben oder unten verschieben. Ich habe zufällig einge genommen, deren Schaubild durch den Ursprung geht.

Mit Hilfsmitteln
a)   Ableitung nehmen und dann Max bzw. Min finden.
     Der Winkel mit der Horizontalen erfüllt     tan(alpha)=m=f'(x)
     bzw. im GTR     alpha=tan^-1(m)  wenn m die Steigung ist.
     Achtung: Hier ist ein Winkel in Grad gefragt, also den GTR auf degree stellen!
    Bei Prismen, Zylindern, bei allen Volumenberechnungen, die überall gleich dick sind, gilt V=G*h,
    Grundfläche mal Höhe. Der Stollen "liegt", also ist die Höhe seine Länge. Die Grundfläche
    berechnet man durch das Integral von -4 bis 4, wie beim Tor in der Klassenarbeit.
    Diese Quadratmeterzahl dann mal 50 nehmen und man erhält das Volumen.

b) Abstand zwischen zwei Punkten A(x|y) und B(v|w) immer mit Pythagoras.
    |AB| = Wurzel(  (x-v)²  + (y-w)² )
    Hier ist A ein Punkt   (x|f(x)) auf dem Schaubild und B(0|6). Der Abstand hängt ab von x:
    d(x)  = Wurzel(  (x-0)²  +  (f(x) - 6)² )
    Stelle diese Funktion im GTR dar  (x von -4 bis 4) und suche ihre Minima.
    Überprüfe, ob die größer oder kleiner als  1,4 sind.