Leider bin ich ein paar Mal durcheinander geraten beim LGS, weil ich nicht richtig abgeschrieben hatte, was ich habe, und die Lösung auf dem vorigen Eintrag im Blog passt nicht zu der Aufgabe auf dem Blatt.
Ist aber gar nicht schlecht, dass wir mehrere Varianten haben, denn so habt ihr mehr Beispiele, mit denen ihr üben und die ihr überprüfen könnt.
1. Die Aufgabe, die zu der Lösung im vorigen Blogeintrag passt:
f(-2)=-1, f(0)=0, f(4)=8
also eine Parabel, die durch die Punkte (-2|-1), (0|0) und (4|8) verläuft.
2. Die Lösung zu dem, was auf dem Blatt steht
f(-2) = 0 ergibt 4 a2 - 2 a1 + a0 = 0
f(0) = -1 ergibt a0 = -1
f(4) = 7 ergibt 16 a2 + 4 a1 + a0 = 7
Ich ändere die Reihenfolge der Gleichungen
16 a2 + 4 a1 + a0 = 7 I
4 a2 - 2 a1 + a0 = 0 II
a0 = -1 III
---------------------------------
16 a2 + 4 a1 + a0 = 7 I
12 a1 - 3 a0 = 7 IIa = I-4*II
a0 = -1 III
-------------------------------
Lösungen durch Einsetzen:
a0 = -1
in IIa: 12 a1 - 3*(-1) = 7
12 a1 + 3 = 7 | -3
12 a1 = 4 | :12
a1 = 1/3
in I: 16 a2 + 4*1/3 + (-1) = 7
16 a2 + 1/3 = 7 | -1/3
16 a2 = 20/3 | :16
a2 = 5/12
also ist die Funktion f(x) = 5/12 x² + 1/3 x - 1
3. Das, was ich wahrscheinlich "eigentlich" machen wollte nämlich 3 statt 7 bei f(4).
f(-2) = 0 ergibt 4 a2 - 2 a1 + a0 = 0
f(0) = -1 ergibt a0 = -1
f(4) = 3 ergibt 16 a2 + 4 a1 + a0 = 3
Ich ändere die Reihenfolge der Gleichungen
16 a2 + 4 a1 + a0 = 3 I
4 a2 - 2 a1 + a0 = 0 II
a0 = -1 III
---------------------------------
16 a2 + 4 a1 + a0 = 3 I
12 a1 - 3 a0 = 3 IIa = I-4*II
a0 = -1 III
-------------------------------
Lösungen durch Einsetzen:
a0 = -1
in IIa: 12 a1 - 3*(-1) = 3
12 a1 + 3 = 3 | -3
12 a1 = 0 | :12
a1 = 0
in I: 16 a2 + 4*0 + (-1) = 7
16 a2 -1 = 7 | +1
16 a2 = 8 | :16
a2 = 1/2
also ist die Funktion f(x) = 1/2 x² - 1
Mittwoch, 13. Juni 2018
Donnerstag, 7. Juni 2018
Blatt vom 8.6.2018
Aufgabe 1
a) Produktregel mit Kette in einem Teil
2 x e^(-0,5 x²) + x² e^(-0,5 x²) *(-x) = ( 2x - x^3) * e^(-0,5 x²)
b) Summenregel mit Kette in einem Teil
2 x + 2 pi cos(2 pi x)
c) Kettenregel
-(1+e^x)^(-2) * e^x = - e^x/(1 + e^x)²
Aufgabe 2
a) Finde erst die Schnittpunkte der Schaubilder. Funktionsterme gleichsetzen
1/4 x³ - x + 1 = - 1/8 x³ + 1/2 x + 1
umformen zu
3/8 x³ - 3/2 x = 0
ausklammern
3 x (1/8 x² - 1/2 ) = 0
Lösungen x=0 und x=2 und x=-2
Dann müsst ihr f(x)-g(x)= 3/8 x³ - 3/2 integrieren, einmal von -2 bis 0 und dann von 0 bis 2. Von beiden Integralen müsst ihr den Betrag nehmen, also positiv, und dann addieren. Hinweis: eins wird negativ sein, eins positiv, aber beide mit gleichem Betrag.
b)
Integral x^-3 von 1 bis unendlich.
[- 1/2 x^-2]_1^unendlich = 0 - (-1/2) = 1/2
Stammfunktion von 2^-x = e^(-ln(2) x) ist -1/ln(2) * e^(-ln(2) x) = -1/ln(2) * 2^-x
also ist das Integral
[ -1/ln(2) 2^-x]_0^unendlich = 0 - (-1/ln(2)) = 1/ln(2)
Aufgabe 3
a) Ganz einfach: abc-Formel gibt die Lösungen 1 und 5.
b) Jetzt substituieren z = Wurzel(x), Lösungen für z wie in a).
Wurzel(x) = 1 --> x=1²=1
Wurzel(x) = 5 --> x=5²=25
c) Jetzt substituieren z=5^x, Lösungen für z wie in a) und b)
5^x = 1 --> x=0
5^x = 5 --> x=1
Aufgabe 4
LGS aufstellen
f(-2)=-1 ergibt 4 a2 - 2 a1 + a0 = -1
f(0)=0 ergibt a0 = 0
f(4)=8 ergibt 16 a2 + 4 a1 + a0 = 8
Zeilen umordnen
16 a2 + 4 a1 + a0 = 8 I
4 a2 - 2 a1 + a0 = -1 II
a0 = 0 III
-----------------------------
16 a2 + 4 a1 + a0 = 8 I
12 a1 = 12 I -4II
a0 = 0 III
----------------------------
ergibt die Lösung (a2 = 1/4; a1=1; a0 = 0)
und damit
f(x) = 1/4 x² + x
Aufgabe 5 ist bei den Musteraufgaben für Abi 19 dabei. Google findet es. Ich schreib demnächst nochwas dazu.
1. Da gibt es viele Möglichkeiten. Am einfachsten finde ich:
g ist immer positiv, weil x²>=0 und e^-x>0. Das passt zu C.
f wechselt das Vorzeichen bei x=0. Das passt zu K.
2. x=1 ist eine vertikale Gerade, parallel zur y-Achse bei x=1.
Die Punkte findet man anhand der Funktionswerte bei x=1.
f(1)=8*1*e^-1=8/e
g(1)=4*1²*e^-1=4/e
Fläche eines Dreiecks: 1/2*Grundseite*Höhe. Am einfachsten nimmt man die vertikale Seite rechts bei x=1 als Grundseite. Die Höhe ist dann eine waagrechte Linie der Länge 1.
Also A=1/2*(8/e-4/e)*1=1/2*4/e=2/e
3. Ableitung.
g'(x)=4*2x*e^-x+4*x²*e^-x*(-1) = 4*x*(2-x)*e^-x
g'(x)=0, wenn (2-x)=0, also bei x=2.
Der Funktionswert ist an dieser Stelle g(2)=4*2²*e^-2=16/e², wie wir in 2. ausgerechnet haben.
Also ist der Hochpunkt H(2|16/e²).
(Auf den vollen Beweis mit g"(1)<0 würde ich verzichten, weil aus der Zeichnung klar ist, dass es kein Sattelpunkt ist).
Wenn jetzt a>16/e², gibt es nur einen Schnittpunkt, nämlich am linken Ast bei x<0.
Wenn a=16/e², gibt es zwei Schnittpunkte, nämlich am linken Ast bei x<0 und H.Wenn 0<a<16/e², gibt es drei Schnittpunkte, nämlich am linken Ast bei x<0, einen links unterhalb von H und einen rechts unterhalb von H.
Wenn a=0, gibt es wieder nur einen, nämlich den Tiefpunkt (0|0)
Wenn 0<a, gibt es keinen Schnittpunkt, weil g nicht negativ wird.
4. Sieht furchtbar mathematisch kompliziert aus, ist aber recht einfach. Ist was für Mathevertieferinnen.
Erst muss man die beiden Schnittstellen berechnen
8 x e^-x = 4 x² e^-x | *e^x
8 x = 4 x² | :4
2 x = x² | -2x
0 = x² - 2x | x ausklammern
0 = x * (x-2)
Das sind also x=0 und x=2
Dann muss ich integrieren
Integral_0^2 (f(x)-g(x))*dx = [F(x) - G(x)]_0^2 = ....
jetzt sagen die uns, dass wir diese (uns noch unbekannte) Differenz aus zwei Stammfunktionen durch g(x) ersetzen dürfen (das ist das für die Vertieferinnen).
... = [g(x)]_0^2 =g(2) - g(0) = 4*2²*e^-2 - 4*0²*e^-0 = 16/e² - 0 = 16/e²
a) Produktregel mit Kette in einem Teil
2 x e^(-0,5 x²) + x² e^(-0,5 x²) *(-x) = ( 2x - x^3) * e^(-0,5 x²)
b) Summenregel mit Kette in einem Teil
2 x + 2 pi cos(2 pi x)
c) Kettenregel
-(1+e^x)^(-2) * e^x = - e^x/(1 + e^x)²
Aufgabe 2
a) Finde erst die Schnittpunkte der Schaubilder. Funktionsterme gleichsetzen
1/4 x³ - x + 1 = - 1/8 x³ + 1/2 x + 1
umformen zu
3/8 x³ - 3/2 x = 0
ausklammern
3 x (1/8 x² - 1/2 ) = 0
Lösungen x=0 und x=2 und x=-2
Dann müsst ihr f(x)-g(x)= 3/8 x³ - 3/2 integrieren, einmal von -2 bis 0 und dann von 0 bis 2. Von beiden Integralen müsst ihr den Betrag nehmen, also positiv, und dann addieren. Hinweis: eins wird negativ sein, eins positiv, aber beide mit gleichem Betrag.
b)
Integral x^-3 von 1 bis unendlich.
[- 1/2 x^-2]_1^unendlich = 0 - (-1/2) = 1/2
Stammfunktion von 2^-x = e^(-ln(2) x) ist -1/ln(2) * e^(-ln(2) x) = -1/ln(2) * 2^-x
also ist das Integral
[ -1/ln(2) 2^-x]_0^unendlich = 0 - (-1/ln(2)) = 1/ln(2)
Aufgabe 3
a) Ganz einfach: abc-Formel gibt die Lösungen 1 und 5.
b) Jetzt substituieren z = Wurzel(x), Lösungen für z wie in a).
Wurzel(x) = 1 --> x=1²=1
Wurzel(x) = 5 --> x=5²=25
c) Jetzt substituieren z=5^x, Lösungen für z wie in a) und b)
5^x = 1 --> x=0
5^x = 5 --> x=1
Aufgabe 4
LGS aufstellen
f(-2)=-1 ergibt 4 a2 - 2 a1 + a0 = -1
f(0)=0 ergibt a0 = 0
f(4)=8 ergibt 16 a2 + 4 a1 + a0 = 8
Zeilen umordnen
16 a2 + 4 a1 + a0 = 8 I
4 a2 - 2 a1 + a0 = -1 II
a0 = 0 III
-----------------------------
16 a2 + 4 a1 + a0 = 8 I
12 a1 = 12 I -4II
a0 = 0 III
----------------------------
ergibt die Lösung (a2 = 1/4; a1=1; a0 = 0)
und damit
f(x) = 1/4 x² + x
Aufgabe 5 ist bei den Musteraufgaben für Abi 19 dabei. Google findet es. Ich schreib demnächst nochwas dazu.
1. Da gibt es viele Möglichkeiten. Am einfachsten finde ich:
g ist immer positiv, weil x²>=0 und e^-x>0. Das passt zu C.
f wechselt das Vorzeichen bei x=0. Das passt zu K.
2. x=1 ist eine vertikale Gerade, parallel zur y-Achse bei x=1.
Die Punkte findet man anhand der Funktionswerte bei x=1.
f(1)=8*1*e^-1=8/e
g(1)=4*1²*e^-1=4/e
Fläche eines Dreiecks: 1/2*Grundseite*Höhe. Am einfachsten nimmt man die vertikale Seite rechts bei x=1 als Grundseite. Die Höhe ist dann eine waagrechte Linie der Länge 1.
Also A=1/2*(8/e-4/e)*1=1/2*4/e=2/e
3. Ableitung.
g'(x)=4*2x*e^-x+4*x²*e^-x*(-1) = 4*x*(2-x)*e^-x
g'(x)=0, wenn (2-x)=0, also bei x=2.
Der Funktionswert ist an dieser Stelle g(2)=4*2²*e^-2=16/e², wie wir in 2. ausgerechnet haben.
Also ist der Hochpunkt H(2|16/e²).
(Auf den vollen Beweis mit g"(1)<0 würde ich verzichten, weil aus der Zeichnung klar ist, dass es kein Sattelpunkt ist).
Wenn jetzt a>16/e², gibt es nur einen Schnittpunkt, nämlich am linken Ast bei x<0.
Wenn a=16/e², gibt es zwei Schnittpunkte, nämlich am linken Ast bei x<0 und H.Wenn 0<a<16/e², gibt es drei Schnittpunkte, nämlich am linken Ast bei x<0, einen links unterhalb von H und einen rechts unterhalb von H.
Wenn a=0, gibt es wieder nur einen, nämlich den Tiefpunkt (0|0)
Wenn 0<a, gibt es keinen Schnittpunkt, weil g nicht negativ wird.
4. Sieht furchtbar mathematisch kompliziert aus, ist aber recht einfach. Ist was für Mathevertieferinnen.
Erst muss man die beiden Schnittstellen berechnen
8 x e^-x = 4 x² e^-x | *e^x
8 x = 4 x² | :4
2 x = x² | -2x
0 = x² - 2x | x ausklammern
0 = x * (x-2)
Das sind also x=0 und x=2
Dann muss ich integrieren
Integral_0^2 (f(x)-g(x))*dx = [F(x) - G(x)]_0^2 = ....
jetzt sagen die uns, dass wir diese (uns noch unbekannte) Differenz aus zwei Stammfunktionen durch g(x) ersetzen dürfen (das ist das für die Vertieferinnen).
... = [g(x)]_0^2 =g(2) - g(0) = 4*2²*e^-2 - 4*0²*e^-0 = 16/e² - 0 = 16/e²
Dienstag, 5. Juni 2018
Bisher vergessen - Blatt vom 9.5., Mittwoch vor Himmelfahrt
1a) cos(x)*cos(x) + sin(x)*(-sin(x)) = cos(x)² - sin(x)²
b) 1*sin(pi x) + x *cos(pi x) * pi = sin(pi x) + pi x cos(pi x)
c) 1* e^(-x) + x*e(-x)*(-1) = (1-x)*e^(-x)
2a)
Substituieren z=e^x ergibt
z² - (1+e) z + e = 0 und dann abc-Mitternachts-Formel
z = ((1+e) +- Wurzel((1+e)² + 4e))/2 = ((1+e) +- (1-e))/2
gibt also als Lösung für die z
erstens: z=1 und damit e^x=1 also x=0 und
zweitens: z=e und damit e^x=e also x=1
b)
Das "im Intervall ..." ist unnötig, habe ich vergessen rauszulöschen, weil es im ersten Blatt drinnen war. Sorry. Stört aber auch nicht.
Nullproduktsatz: e^x+1=0 hat keine Lösung, weil e^x>0 immer positiv
e^x-1=0 hat e^x=1 und damit x=0 als Lösung
3a)
[ln(x)]_1/e^e = ln(e) - ln(1/e) = 1 - (-1) = 2
b)
Dazu muss man zeigen, dass die Ableitung von tan(x) gleich 1/cos(x)² ist.
Erst ein bisschen umformen
tan(x) = sin(x)/cos(x) = sin(x) * cos(x)^-1
und dann mit Produkt- und Kettenregel ableiten
cos(x) * cos(x)^-1 + sin(x) * (-cos(x)^-2) * (-sin(x))
und umformen
= 1 + sin(x)² / cos(x)² (auf Hauptnenner bringen)
= (cos(x)² + sin(x)²) / cos(x)²
= 1/cos(x)² denn cos(x)²+sin(x)²=1
Man hätte auch nach dem ersten Umformen direkt 1+tan(x)² draus machen können
4
Das ist eine Abiaufgabe. Vielleicht habt ihr sie auch schon mit einer Suchmaschine gefunden.
u Berechnen:
c*sin(c u) = 0
Weil sin(pi) = 0, ist die benachbarte Nullstelle gegeben durch
c*u = pi und daher
u = pi/c
Flächenstück berechnen
Integral über c*sin(c x) von 0 bis pi/c
[c*1/c*(-cos(c x))]_0^pi/c
= [-cos(c x)]_0^pi/c
= -cos(c pi/c) - (-cos(0))
= - cos(pi) + cos(0)
= - (-1) + 1 = 2
b) 1*sin(pi x) + x *cos(pi x) * pi = sin(pi x) + pi x cos(pi x)
c) 1* e^(-x) + x*e(-x)*(-1) = (1-x)*e^(-x)
2a)
Substituieren z=e^x ergibt
z² - (1+e) z + e = 0 und dann abc-Mitternachts-Formel
z = ((1+e) +- Wurzel((1+e)² + 4e))/2 = ((1+e) +- (1-e))/2
gibt also als Lösung für die z
erstens: z=1 und damit e^x=1 also x=0 und
zweitens: z=e und damit e^x=e also x=1
b)
Das "im Intervall ..." ist unnötig, habe ich vergessen rauszulöschen, weil es im ersten Blatt drinnen war. Sorry. Stört aber auch nicht.
Nullproduktsatz: e^x+1=0 hat keine Lösung, weil e^x>0 immer positiv
e^x-1=0 hat e^x=1 und damit x=0 als Lösung
3a)
[ln(x)]_1/e^e = ln(e) - ln(1/e) = 1 - (-1) = 2
b)
Dazu muss man zeigen, dass die Ableitung von tan(x) gleich 1/cos(x)² ist.
Erst ein bisschen umformen
tan(x) = sin(x)/cos(x) = sin(x) * cos(x)^-1
und dann mit Produkt- und Kettenregel ableiten
cos(x) * cos(x)^-1 + sin(x) * (-cos(x)^-2) * (-sin(x))
und umformen
= 1 + sin(x)² / cos(x)² (auf Hauptnenner bringen)
= (cos(x)² + sin(x)²) / cos(x)²
= 1/cos(x)² denn cos(x)²+sin(x)²=1
Man hätte auch nach dem ersten Umformen direkt 1+tan(x)² draus machen können
4
Das ist eine Abiaufgabe. Vielleicht habt ihr sie auch schon mit einer Suchmaschine gefunden.
u Berechnen:
c*sin(c u) = 0
Weil sin(pi) = 0, ist die benachbarte Nullstelle gegeben durch
c*u = pi und daher
u = pi/c
Flächenstück berechnen
Integral über c*sin(c x) von 0 bis pi/c
[c*1/c*(-cos(c x))]_0^pi/c
= [-cos(c x)]_0^pi/c
= -cos(c pi/c) - (-cos(0))
= - cos(pi) + cos(0)
= - (-1) + 1 = 2
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