Aufgabe 1
a) Produktregel mit Kette in einem Teil
2 x e^(-0,5 x²) + x² e^(-0,5 x²) *(-x) = ( 2x - x^3) * e^(-0,5 x²)
b) Summenregel mit Kette in einem Teil
2 x + 2 pi cos(2 pi x)
c) Kettenregel
-(1+e^x)^(-2) * e^x = - e^x/(1 + e^x)²
Aufgabe 2
a) Finde erst die Schnittpunkte der Schaubilder. Funktionsterme gleichsetzen
1/4 x³ - x + 1 = - 1/8 x³ + 1/2 x + 1
umformen zu
3/8 x³ - 3/2 x = 0
ausklammern
3 x (1/8 x² - 1/2 ) = 0
Lösungen x=0 und x=2 und x=-2
Dann müsst ihr f(x)-g(x)= 3/8 x³ - 3/2 integrieren, einmal von -2 bis 0 und dann von 0 bis 2. Von beiden Integralen müsst ihr den Betrag nehmen, also positiv, und dann addieren. Hinweis: eins wird negativ sein, eins positiv, aber beide mit gleichem Betrag.
b)
Integral x^-3 von 1 bis unendlich.
[- 1/2 x^-2]_1^unendlich = 0 - (-1/2) = 1/2
Stammfunktion von 2^-x = e^(-ln(2) x) ist -1/ln(2) * e^(-ln(2) x) = -1/ln(2) * 2^-x
also ist das Integral
[ -1/ln(2) 2^-x]_0^unendlich = 0 - (-1/ln(2)) = 1/ln(2)
Aufgabe 3
a) Ganz einfach: abc-Formel gibt die Lösungen 1 und 5.
b) Jetzt substituieren z = Wurzel(x), Lösungen für z wie in a).
Wurzel(x) = 1 --> x=1²=1
Wurzel(x) = 5 --> x=5²=25
c) Jetzt substituieren z=5^x, Lösungen für z wie in a) und b)
5^x = 1 --> x=0
5^x = 5 --> x=1
Aufgabe 4
LGS aufstellen
f(-2)=-1 ergibt 4 a2 - 2 a1 + a0 = -1
f(0)=0 ergibt a0 = 0
f(4)=8 ergibt 16 a2 + 4 a1 + a0 = 8
Zeilen umordnen
16 a2 + 4 a1 + a0 = 8 I
4 a2 - 2 a1 + a0 = -1 II
a0 = 0 III
-----------------------------
16 a2 + 4 a1 + a0 = 8 I
12 a1 = 12 I -4II
a0 = 0 III
----------------------------
ergibt die Lösung (a2 = 1/4; a1=1; a0 = 0)
und damit
f(x) = 1/4 x² + x
Aufgabe 5 ist bei den Musteraufgaben für Abi 19 dabei. Google findet es. Ich schreib demnächst nochwas dazu.
1. Da gibt es viele Möglichkeiten. Am einfachsten finde ich:
g ist immer positiv, weil x²>=0 und e^-x>0. Das passt zu C.
f wechselt das Vorzeichen bei x=0. Das passt zu K.
2. x=1 ist eine vertikale Gerade, parallel zur y-Achse bei x=1.
Die Punkte findet man anhand der Funktionswerte bei x=1.
f(1)=8*1*e^-1=8/e
g(1)=4*1²*e^-1=4/e
Fläche eines Dreiecks: 1/2*Grundseite*Höhe. Am einfachsten nimmt man die vertikale Seite rechts bei x=1 als Grundseite. Die Höhe ist dann eine waagrechte Linie der Länge 1.
Also A=1/2*(8/e-4/e)*1=1/2*4/e=2/e
3. Ableitung.
g'(x)=4*2x*e^-x+4*x²*e^-x*(-1) = 4*x*(2-x)*e^-x
g'(x)=0, wenn (2-x)=0, also bei x=2.
Der Funktionswert ist an dieser Stelle g(2)=4*2²*e^-2=16/e², wie wir in 2. ausgerechnet haben.
Also ist der Hochpunkt H(2|16/e²).
(Auf den vollen Beweis mit g"(1)<0 würde ich verzichten, weil aus der Zeichnung klar ist, dass es kein Sattelpunkt ist).
Wenn jetzt a>16/e², gibt es nur einen Schnittpunkt, nämlich am linken Ast bei x<0.
Wenn a=16/e², gibt es zwei Schnittpunkte, nämlich am linken Ast bei x<0 und H.Wenn 0<a<16/e², gibt es drei Schnittpunkte, nämlich am linken Ast bei x<0, einen links unterhalb von H und einen rechts unterhalb von H.
Wenn a=0, gibt es wieder nur einen, nämlich den Tiefpunkt (0|0)
Wenn 0<a, gibt es keinen Schnittpunkt, weil g nicht negativ wird.
4. Sieht furchtbar mathematisch kompliziert aus, ist aber recht einfach. Ist was für Mathevertieferinnen.
Erst muss man die beiden Schnittstellen berechnen
8 x e^-x = 4 x² e^-x | *e^x
8 x = 4 x² | :4
2 x = x² | -2x
0 = x² - 2x | x ausklammern
0 = x * (x-2)
Das sind also x=0 und x=2
Dann muss ich integrieren
Integral_0^2 (f(x)-g(x))*dx = [F(x) - G(x)]_0^2 = ....
jetzt sagen die uns, dass wir diese (uns noch unbekannte) Differenz aus zwei Stammfunktionen durch g(x) ersetzen dürfen (das ist das für die Vertieferinnen).
... = [g(x)]_0^2 =g(2) - g(0) = 4*2²*e^-2 - 4*0²*e^-0 = 16/e² - 0 = 16/e²
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