Bisher vergessen - Blatt vom 9.5., Mittwoch vor Himmelfahrt

1a) cos(x)*cos(x) + sin(x)*(-sin(x)) = cos(x)² - sin(x)²
b) 1*sin(pi x) + x *cos(pi x) * pi = sin(pi x) + pi x cos(pi x)
c) 1* e^(-x) + x*e(-x)*(-1) = (1-x)*e^(-x)

2a)
Substituieren z=e^x ergibt
z² - (1+e) z + e = 0 und dann abc-Mitternachts-Formel
z = ((1+e) +- Wurzel((1+e)² + 4e))/2 = ((1+e) +- (1-e))/2
gibt also als Lösung für die z
erstens: z=1 und damit e^x=1 also x=0 und
zweitens: z=e und damit e^x=e also x=1

b)
Das "im Intervall ..." ist unnötig, habe ich vergessen rauszulöschen, weil es im ersten Blatt drinnen war. Sorry. Stört aber auch nicht.
Nullproduktsatz:   e^x+1=0   hat keine Lösung, weil e^x>0 immer positiv
e^x-1=0 hat e^x=1 und damit x=0 als Lösung


3a)
[ln(x)]_1/e^e = ln(e) - ln(1/e) = 1 - (-1) = 2

b)
Dazu muss man zeigen, dass die Ableitung von tan(x) gleich 1/cos(x)² ist.
Erst ein bisschen umformen
tan(x) = sin(x)/cos(x) = sin(x) * cos(x)^-1
und dann mit Produkt- und Kettenregel ableiten
cos(x) * cos(x)^-1 + sin(x) * (-cos(x)^-2) * (-sin(x))
und umformen
= 1 + sin(x)² / cos(x)²       (auf Hauptnenner bringen)
= (cos(x)² + sin(x)²) / cos(x)²
= 1/cos(x)²              denn cos(x)²+sin(x)²=1
Man hätte auch nach dem ersten Umformen direkt 1+tan(x)² draus machen können


4
Das ist eine Abiaufgabe. Vielleicht habt ihr sie auch schon mit einer Suchmaschine gefunden.

u Berechnen:
c*sin(c u) = 0
Weil sin(pi) = 0, ist die benachbarte Nullstelle gegeben durch
c*u = pi     und daher
u = pi/c

Flächenstück berechnen

Integral über c*sin(c x) von 0 bis pi/c

[c*1/c*(-cos(c x))]_0^pi/c
= [-cos(c x)]_0^pi/c
= -cos(c pi/c) - (-cos(0))
= - cos(pi) + cos(0)
= - (-1) + 1 = 2