Wir haben vor allem Verkettungen von Funktionen f(x) = u(v(x)) betrachtet. Für ihre Ableitung braucht man die Kettenregel.
http://www.fliptheclassroom.de/project/2-2-kettenregel/
Mittwoch, 28. Oktober 2015
Erklär-Videos
zu den aktuellen Kapiteln findet ihr (vor allem die Amerikareisenden) hier Erklärvideos:
Zwei Videos zu den Tangenten:
http://www.fliptheclassroom.de/project/1-6-probleme-loesen-im-umfeld-der-tangente-teil-1/
http://www.fliptheclassroom.de/project/1-6-probleme-loesen-im-umfeld-der-tangente-teil-2/
Einfacher ist der Fall, dass die Tangente (oder Normale) an einem bereits bekannten Punkt (u|f(u)) auf dem Schaubild gebildet wird. Hier war der Ansatz:
1. Steigung ist f'(u), also die Geradengleichung
2. Im Punkt (u|f(u)) ist y=f(u) und x=u
3. Das kann man nach c umstellen und erhält so
Schwieriger ist dagegen, wenn man von einem Punkt A(a|b) außerhalb des Schaubilds, eine Tangente (oder Normale) an das Schaubild legen muss, dass man also diesen Punkt P(u|f(u)) noch finden muss.
An diesem Punkt muss die Tangentensteigung f'(u) gleich der Steigung einer Geraden durch A und P sein. Damit erhält man die Gleichung
bzw.
die man nach u umstellen muss. Wenns nicht geht, muss man die Lösung(en) mit dem GTR finden.
Zwei Videos zu den Tangenten:
http://www.fliptheclassroom.de/project/1-6-probleme-loesen-im-umfeld-der-tangente-teil-1/
http://www.fliptheclassroom.de/project/1-6-probleme-loesen-im-umfeld-der-tangente-teil-2/
Einfacher ist der Fall, dass die Tangente (oder Normale) an einem bereits bekannten Punkt (u|f(u)) auf dem Schaubild gebildet wird. Hier war der Ansatz:
1. Steigung ist f'(u), also die Geradengleichung
2. Im Punkt (u|f(u)) ist y=f(u) und x=u
3. Das kann man nach c umstellen und erhält so
Schwieriger ist dagegen, wenn man von einem Punkt A(a|b) außerhalb des Schaubilds, eine Tangente (oder Normale) an das Schaubild legen muss, dass man also diesen Punkt P(u|f(u)) noch finden muss.
An diesem Punkt muss die Tangentensteigung f'(u) gleich der Steigung einer Geraden durch A und P sein. Damit erhält man die Gleichung
bzw.
die man nach u umstellen muss. Wenns nicht geht, muss man die Lösung(en) mit dem GTR finden.
Mittwoch, 7. Oktober 2015
Videos zu unseren Kapiteln
Extremstellen http://www.fliptheclassroom.de/project/1-4-kriterien-fuer-extremstellen/
Wendestellen http://www.fliptheclassroom.de/project/1-5-kriterien-fuer-wendestellen/
Und hier noch eine Zusammenfassung, die aber schon mehr enthält als wir bisher gemacht haben http://www.fliptheclassroom.de/project/zusammenfassung-1-schluesselkonzept-ableitung/
Wendestellen http://www.fliptheclassroom.de/project/1-5-kriterien-fuer-wendestellen/
Und hier noch eine Zusammenfassung, die aber schon mehr enthält als wir bisher gemacht haben http://www.fliptheclassroom.de/project/zusammenfassung-1-schluesselkonzept-ableitung/
Übungsblätter
Mit Hilfsmitteln, Bergstollenaufgabe
Extrema von Funktionen findet man mit 2nd CALC maximum/minimum
a. Höchste Stelle bei x=0 ist f(x)=8, also 8 Meter.
b. Finde das Maximum (links) und das Minimum (rechts) der Ableitung f'(x). Das ist bei x=-2,61 bzw. bei x=2,61. Das sind die Wendepunkte des Schaubilds von f.
c. Von der Wertetabelle (2nd TABLE) übertragen, einigermaßen sorgfältig bleiben.
Mit Hilfsmitteln, Deichquerschnitt
a) Höchster Punkt bei x=0 mit f(x)=4, also 4 Meter.
b) 2nd CALC intersect mit g(x)=3, bei -2,31. Also 2,31m links vom höchsten Punkt.
c) Ableitung (könnt ihr noch nicht von Hand, müsst also mit nDeriv arbeiten, lernen wir aber in den nächsten Wochen) Witzigerweise auch bei -2,31. Das war aber keine Absicht von mir.
d) Neigung bei -2,31 ist f'(2,31)=0.65=65% entspricht einem Winkel von 33°, denn tan(33°)=0,65
Extrema von Funktionen findet man mit 2nd CALC maximum/minimum
a. Höchste Stelle bei x=0 ist f(x)=8, also 8 Meter.
b. Finde das Maximum (links) und das Minimum (rechts) der Ableitung f'(x). Das ist bei x=-2,61 bzw. bei x=2,61. Das sind die Wendepunkte des Schaubilds von f.
c. Von der Wertetabelle (2nd TABLE) übertragen, einigermaßen sorgfältig bleiben.
Mit Hilfsmitteln, Deichquerschnitt
a) Höchster Punkt bei x=0 mit f(x)=4, also 4 Meter.
b) 2nd CALC intersect mit g(x)=3, bei -2,31. Also 2,31m links vom höchsten Punkt.
c) Ableitung (könnt ihr noch nicht von Hand, müsst also mit nDeriv arbeiten, lernen wir aber in den nächsten Wochen) Witzigerweise auch bei -2,31. Das war aber keine Absicht von mir.
d) Neigung bei -2,31 ist f'(2,31)=0.65=65% entspricht einem Winkel von 33°, denn tan(33°)=0,65
Dienstag, 6. Oktober 2015
Aufgabe im Buch S30/2
Sattelpunkte sind Wendepunkte mit waagrechter Tangente, d.h. dort ist f'(x)=0
a) f'"(x) = 6x + 6 hat eine Nullstelle bei x=-1.
f'(-1) = 3(-1)²+ 6(-1) + 3 = 3 - 6 + 3 = 0. also waagrechte Tangente, also Sattel.
b) f"(x) = 12 x² - 24 x + 9
hat Nullstellen bei 1,5 und 4,5
f'(1,5) = 1 und f(4,5)=100. Beides ist ungleich 0, kein Sattel
c) Könnt ihr nur mit GTR machen.Hat keinen Sattelpunkt. Bei x=0 ist eine waagrechte Tangente, aber f'' wechselt dort nicht das Vorzeichen. Also ist es kein Wendepunkt und auch kein Sattel.
Keine Panik. Ich werde am Freitag nichts mit sin/cos zum selberrechnen machen.
a) f'"(x) = 6x + 6 hat eine Nullstelle bei x=-1.
f'(-1) = 3(-1)²+ 6(-1) + 3 = 3 - 6 + 3 = 0. also waagrechte Tangente, also Sattel.
b) f"(x) = 12 x² - 24 x + 9
hat Nullstellen bei 1,5 und 4,5
f'(1,5) = 1 und f(4,5)=100. Beides ist ungleich 0, kein Sattel
c) Könnt ihr nur mit GTR machen.Hat keinen Sattelpunkt. Bei x=0 ist eine waagrechte Tangente, aber f'' wechselt dort nicht das Vorzeichen. Also ist es kein Wendepunkt und auch kein Sattel.
Keine Panik. Ich werde am Freitag nichts mit sin/cos zum selberrechnen machen.
Dienstag, 29. September 2015
GFS-Themen in Mathe
Ab dem ersten Halbjahr
- Das Gesetz der Lichtbrechung als Optimierungsproblem
- Spiralen, Blumen usw. - Parameterdarstellung von Kurven
- Integrale Annähern - die Keplersche Fassregel
- Flächen Annähern - Integrale berechnen
Ab der zweiten Halbjahr
- Räuber-Beute-Gleichungen, Mathematik in der Ökologie
(das sind besondere Wachstumsmodelle) - Krankheitsausbreitung, Daten und Simulation
(das wäre was mit Computereinsatz) - Regression - Kurven an Messdaten anpassen
(ist eine grundlegende Sache für Physik, Chemie, Bio und Wirtschaft) - Kurven im dreidimensionalen Raum
(wie die Spiralen oben, nur in Kombination mit Vektorrechnung) - Kugeln in Vektorrechnung darstellen
- Landschaften und Steigung
(Funktionsschaubilder in 3D und ihre Ableitungen) - Partiell integrieren
(eine Produktregel beim Integrieren) - Mathematik hinter GPS-Navigationssystemen
Ab dem dritten Halbjahr
- Wahrscheinlichkeitsverteilungen, simulieren und modellieren
- Statistische Signifikanztests
Donnerstag, 17. September 2015
Flip the classroom
Die J2er machen das schon länger. Es gibt zu allen Kapiteln aus unserem Buch erklärende Videos. In unserem aktuellen Kapitel ist das auf der Seite http://www.fliptheclassroom.de/project/1-3-die-bedeutung-der-zweiten-ableitung/
Abonnieren
Posts (Atom)