Geogebra-Programm für Hoch-, Tief-, Sattelpunkte

Lade das Geogebra-Programm aus dem Unterricht hoch_und_tiefpunkte.ggb herunter.

Du kannst es öffnen mit dem Web-Applet auf geogebra.org. (Klicke auf Download, dann Webstart, oder auch Appletstart)

Lösungen 2

5) Punkte A(4 2 -1) B(4 7 -1) C(7 7 3)
a) Stützvektor (4 2 -1), Spannvektoren (0 5 0) und (3 7 4). Normalenvektor (4 0 -3).
Normalengleichung [x - (4 2 -1)]*(4 0 -3) = 0
Koordinatengleichung 4 x1 - 3 x3 = 20
BA=(0 -5 0) ist orthogonal zu BC=(3 0 4). Beide haben die Länge 5.
Ortsvektor OD=OC+BA=(7 2 3)

b) Gerade x=(17 7 8) + t (3 1 4)
Normalenvektor mal Richtungsvektor  (4 0 -3)*(3 1 4)=12 + 0 -12 = 0
Abstand: Koordinaten in Hesse:    4/5 x1 - 3/5 x3 - 4 = 0
4/5 * 17 - 3/5 * 8 - 4 = 68/5 - 24/5 - 5 = 44/5 - 5 = 19/5 = 3,8

c) M(5,5 4,5 1).

Lösungen

4 Quadratische Pyramide mit Grundfläche A(6 0 0) B(0 6 0) C(-6 0 0) D(0 -6 0) und Spitze S(0 0 12).
a) Volumen: Grundfläche ist ein Quadrat mit Diagonallänge 12, d.h. Fläche ist die Hälfte von 12^2, also 72. Damit ist das Volumen  1/3*72*12=288
b) Punkt hat Koordinaten (0 0 a). Seitenfläche mit Punkten ABS. Stützvektor (0 0 12). Spannvektoren
(6 0 -12) und (0 6 -12). Normalenvektor ist dazu n=(2 2 1). Normalengleichung
[x - (0 0 12)]*(2 2 1)=0 hat Koordinatengleichung  2 x1 + 2 x2 + x3 = 12 und Hesse
2/3 x1 + 2/3 x2 + 1/3 x3 - 4 = 0.
Abstand von (0 0 a) zu dieser Ebene ist daher   |a/3 -4|  und zur Grundebene a. Lösungen für a

a/3 - 4 = a   | -a/3    
-4 = 2/3 a  | *3/2
-6 = a

und

4 - a/3 = a   | +a/3
4 = 4/3 a   | *3/4
3 = a

c) Alle Punkte der Geraden liegen auf der Höhe 12. Alle diese verschobenen Punkte machen also eine Pyramide mit Höhe 12.

Pascalsches Dreieck

Schöne Seite von Arndt Brünner http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/pascalmod.htm

Blatt von Ende Oktober

Ich wollte noch die "zweite Aufgabe 6" besprechen, habe aber nie die Zeit gefunden. Hier eine Anleitung.

Aufgabe 6
Gegeben sind die Ebenen E: x_1 + 2 x_2 = 6 und  F: 2 x_1 + 2 x_2 +3 x_3 = 12. Stellen Sie die Ebenen in einem Gemeinsamen Koordinatensystem dar. Zeichnen Sie die Schnittgerade.

Ansatz:
Von F erhält man die Spurpunkte S1(6 0 0), S2(0 6 0) und S3(0 0 4). Die kann man einzeichnen und verbinden zu einem Dreieck, das in der Ebene F liegt und sie so veranschaulicht.

E hat keinen Spurpunkt S3, weil sie parallel zur x_3-Achse liegt. Die anderen beiden sind  S1(6 0 0) und S2(0 3 0). Man kann zwei Spurgeraden zeichnen, nämlich die vertikalen Parallelen zu x_3 durch diese beiden Punkte.

Man sieht damit die gemeinsamen Punkte von E und F. Das ist einmal der gemeinsame S1(6 0 0 ). Dann schneiden sich die beiden Spurgeraden in der x_2/x_3-Ebene, die Vertikale durch (0 3 0) und die Verbindung von (0 6 0) und (0 0 4), nämlich im Punkt (0 3 2). Damit haben wir einen zweiten Punkt, der in beiden Ebenen liegt.

Verbinde nun (0 3 2) mit (6 0 0). Diese gerade liegt in beiden Ebenen. Sie ist ihre Schnittgerade.