Lösungen

4 Quadratische Pyramide mit Grundfläche A(6 0 0) B(0 6 0) C(-6 0 0) D(0 -6 0) und Spitze S(0 0 12).
a) Volumen: Grundfläche ist ein Quadrat mit Diagonallänge 12, d.h. Fläche ist die Hälfte von 12^2, also 72. Damit ist das Volumen  1/3*72*12=288
b) Punkt hat Koordinaten (0 0 a). Seitenfläche mit Punkten ABS. Stützvektor (0 0 12). Spannvektoren
(6 0 -12) und (0 6 -12). Normalenvektor ist dazu n=(2 2 1). Normalengleichung
[x - (0 0 12)]*(2 2 1)=0 hat Koordinatengleichung  2 x1 + 2 x2 + x3 = 12 und Hesse
2/3 x1 + 2/3 x2 + 1/3 x3 - 4 = 0.
Abstand von (0 0 a) zu dieser Ebene ist daher   |a/3 -4|  und zur Grundebene a. Lösungen für a

a/3 - 4 = a   | -a/3    
-4 = 2/3 a  | *3/2
-6 = a

und

4 - a/3 = a   | +a/3
4 = 4/3 a   | *3/4
3 = a

c) Alle Punkte der Geraden liegen auf der Höhe 12. Alle diese verschobenen Punkte machen also eine Pyramide mit Höhe 12.