Aufgabe 2 mit Hilfsmitteln

2
a) Närdlichster Punkt beim Maximum von f(x)
Abstand zu M ist (x²+y²)^0.5, also Pythagoras.

 b) Kurvenwechsel am Wendepunkt, dem Maximum der Ableitung, bei x=-1. Der Wendepunkt ist dann (x|f(x)), d.h.(-1|2,6). Steigung bei x=-3 ist f'(-3)=-0,5 und passt zur Steigung der Geraden durch A und B. Das heißt, da ist kein Knick. Die Ortsdurchfahrt ist sogar eine Tangente an das Schaubild im Punkt A.

c) Wo hat das Schaubild noch einmal die Steigung -0,5? Man kann z.B. mit der Geraden y=-0,5 schneiden. Es ist bei x=+1 im Punkt (1|3.2)

An diesem Punkt hat das Schaubild auch den größten Abstand von der Geraden der Ortsdurchfahrt.Die Normale ist dann y=2*(x-1)+3.2. Sie schneidet die Ortsdurchfahrt in (-0,28|0,64). Den Abstand zu (1|3,2) berechnet man dann mit Pythagoras: (1,28²+2,56²)^0,5=2,86. So viele Km ist man dort weg von der Durchfahrt.

Lösungen zu den Aufgaben mit Hilfsmitteln vom Übungsblatt

1
a) Steilste Wände. Suche Extrema der Ableitung
aus Symmetriegründen ist es auch bei x=+2.61 so.


b) Wenn ein Behälter von -x bis x geht, dann hat er die Breite 2x und auch die Höhe 2x. Man muss also den Punkt finden, wo 2x=f(x), oder den Schnittpunkt aus Schaubild und Gerade y=2x

Bei 2.22, also 4,44m breit.

c) Das ist die 15-Punkte-Teilaufgabe
Lampe bei (0|6), Abstand zum Punkt (x|f(x)) auf dem Schaubild mit Pythagoras
d(x)=(x²+(f(x)-6)²)^0.5
Prüfe, ob das nie kleiner als 1,4 wird.

Man sieht es nicht wirklich in der schlechten Graphik-Auflösung des GTR, aber das Minimum wird berechnet bei x=1,30 m links und rechts von der Mitte des Stollen mit d(x)=1,46m Abstand. Es geht also.

Willkommen im neuen Schuljahr

Lösungen zum Blatt vom Montag 21.10.

1.
Haben wir besprochen. Der wohl einfachste Weg: Umformen zu
2^(2x)=2=2^1 und damit 2x=1 bzw. x=1/2

2.
a)
Schnittpunkte -x²+3=2x auf eine Seite bringen
x²+2x-3=0 mit abc-Formel zwei Lösungen
x=(-2+-(4+12)^0.5)/2 =1 und -3
die beiden x-Werte in g(x) oder in f(x) einsetzen ergibt y-Werte -6 und 2, also sind die Schnittpunkte (-3|-6) und (1|2).
b)
Allgemeine Form y=f'(u)*(x-u)+f(u) der Tangenten im Punkt (u|f(u)) einsetzen in f(x)=-x²+3 bzw. f'(x)=-2x ergibt

y=6(x+3)-6 und y=-2(x-1)+2. Mann kann sie noch ausmultiplizieren und so  in Standardform y=mx+b bringen zu
y=6x+12 und y=-2x+4

3.
a) f' hat bei x=2 ein Maximum. Daher hat f dort eine Wendestelle.
b) Sattel ist Wendepunkt mit waagr. Tangente. f' hat bei x=0 Minimum, also f eine Wendest. Außerdem ist f'(0)=0, also hat das Schaubild von f eine waagr. Tangente, also einen Sattelpunkt.
c) Nein, f'' hat eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + zu -, weil f' dort ein Maximum hat.
d) Ja, denn das Schaubild von f' hat ein Minimum.
e) Linkskurve von f immer dort, wo f' zunimmt. Also von -unendlich bis -2 und von 0 bis 2.

4.
Möchte ich am Donnerstag noch im Unterricht machen. Hier ein paar Hinweise:
a) Finde die Maxima und Minima der Ableitung f'. Achtung, das kann auch am Rand bei -4 und bei 4 sein.
b) Wenn der Würfel die Breite u hat, dann reicht die Bodenfläche von -u/2 zu u/2. Ist dann die Höhe f(u/2) auch gerade gleich u?
c) Der Abstand zwischen einem Punkt (u|v) und (x|f(x)) kann mit Pythagoras berechnet werden, also ((x-u)²+(f(x)-u)²)^0.5 und finde sein Minimum.

5.
a) Maximum von f
b) Wendestelle von f. Knick in A: Überprüfe, ob die Steigung von f in A der Steigung der Geraden entspricht.
c) In welchem Punkt entspricht die Steigung der Kurve derjenigen der Geraden?