Montag, 3. Dezember 2018
Sonntag, 7. Oktober 2018
Lösungen
Aufgabe 1
Kombi aus Produkt- und Kettenregel
f'(x) = 3 * cos(x²+1) - 3 x * sin(x²+1) * 2x = 3 * cos(x+1) - 6 x² sin(x² + 1)
Aufgabe 2
umschreiben zu f(x) = (x+1)^(-1/2) ergibt Stammfunktion F(x) = 2 * (x+1)^1/2
(beachte: keine Division am Schluss, weil kein Vorfaktor vor x in Klammer)
Und damit das Integral
2*(5+1)^1/2 - 2*(2+1)^1/2 = 2*(Wurzel(6) - Wurzel(3))
man könnte noch Wurzel(3) ausklammern und bekommt dann wegen Wurzel(2*3)=Wurzel(2)*Wurzel(3) als Ergebnis:
2*Wurzel(3)*(Wurzel(2) - 1)
Aufgabe 3
Das LGS ist die erste Aufgabe von dieser Sammlung aus Musteraufgaben mit Lösungen.
Aufgabe 4
Punktprobe: Prüfe, ob 2*(-2) - 4 + 2*4 = 9
Geradengleichungen. In jedem Fall P als Stützvektor
Orthogonale Gerade: Nimm als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene n = (2,-1,2)
Parallele Gerade: Finde einen Vektor, der orthogonal zu n ist, als Richtungsvektor. Da gibt es unendlich viele Möglichkeiten. Am einfachsten scheint mir (1,2,0), denn 1*2 + 2*(-1) + 0* = 0
oder auch (1,0,-1), denn 1*2 + 0*(-1) + (-1)*2 = 0. Was habt ihr?
Mit Hilfsmitteln
Der Turm auf dem Spielplatz. Ist auch aus einer Sammlung von Musteraufgaben. Die Aufgabe ist auf Seite 15 dieser Aufgabensammlung.
1.1
Quadrat: Seiten gleich lang und rechte Winkel zwischen den Seiten. Prüfen mit Pythagoras ound Skalarprodukt.
Koordinatengleichung? Könnt ihr mit dem LGS machen, ich werde euch am Dienstag eine einfachere Methode zeigen. Hätte ich am 2.10. gemacht, wenn das nicht ausgefallen wäre.
Ihr findet es im Prinzip bei
https://www.fliptheclassroom.de/project/7-7-ebenengleichungen-im-ueberblick/
1.2
Das ist der d-Teil der originalen Aufgabe, also was für die, die alle Punkte wollen.
Es ist eigentlich ein 2-dimensionales Problem. Zeichnet die Punkte A(2|-3), B(3|2) in ein Koordinatensystem. Dann findet ihr den Fußpunkt ganz leicht.
Allgemeine Hinweise
Beim Fliptheclassroom könnt ihr euch auch alle Videos der Kapitel 7.1 bis 7.5 anschauen. Orientiert sich zwar am alten Buch, ist aber auch gut.
Und: Am Dienstag machen wir es wieder so wie vor zwei Wochen. Kommt um 7.50 oder um 14.05, wie es euch besser passt. Ich bin zweimal da.
.
Kombi aus Produkt- und Kettenregel
f'(x) = 3 * cos(x²+1) - 3 x * sin(x²+1) * 2x = 3 * cos(x+1) - 6 x² sin(x² + 1)
Aufgabe 2
umschreiben zu f(x) = (x+1)^(-1/2) ergibt Stammfunktion F(x) = 2 * (x+1)^1/2
(beachte: keine Division am Schluss, weil kein Vorfaktor vor x in Klammer)
Und damit das Integral
2*(5+1)^1/2 - 2*(2+1)^1/2 = 2*(Wurzel(6) - Wurzel(3))
man könnte noch Wurzel(3) ausklammern und bekommt dann wegen Wurzel(2*3)=Wurzel(2)*Wurzel(3) als Ergebnis:
2*Wurzel(3)*(Wurzel(2) - 1)
Aufgabe 3
Das LGS ist die erste Aufgabe von dieser Sammlung aus Musteraufgaben mit Lösungen.
Aufgabe 4
Punktprobe: Prüfe, ob 2*(-2) - 4 + 2*4 = 9
Geradengleichungen. In jedem Fall P als Stützvektor
Orthogonale Gerade: Nimm als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene n = (2,-1,2)
Parallele Gerade: Finde einen Vektor, der orthogonal zu n ist, als Richtungsvektor. Da gibt es unendlich viele Möglichkeiten. Am einfachsten scheint mir (1,2,0), denn 1*2 + 2*(-1) + 0* = 0
oder auch (1,0,-1), denn 1*2 + 0*(-1) + (-1)*2 = 0. Was habt ihr?
Mit Hilfsmitteln
Der Turm auf dem Spielplatz. Ist auch aus einer Sammlung von Musteraufgaben. Die Aufgabe ist auf Seite 15 dieser Aufgabensammlung.
1.1
Quadrat: Seiten gleich lang und rechte Winkel zwischen den Seiten. Prüfen mit Pythagoras ound Skalarprodukt.
Koordinatengleichung? Könnt ihr mit dem LGS machen, ich werde euch am Dienstag eine einfachere Methode zeigen. Hätte ich am 2.10. gemacht, wenn das nicht ausgefallen wäre.
Ihr findet es im Prinzip bei
https://www.fliptheclassroom.de/project/7-7-ebenengleichungen-im-ueberblick/
1.2
Das ist der d-Teil der originalen Aufgabe, also was für die, die alle Punkte wollen.
Es ist eigentlich ein 2-dimensionales Problem. Zeichnet die Punkte A(2|-3), B(3|2) in ein Koordinatensystem. Dann findet ihr den Fußpunkt ganz leicht.
Allgemeine Hinweise
Beim Fliptheclassroom könnt ihr euch auch alle Videos der Kapitel 7.1 bis 7.5 anschauen. Orientiert sich zwar am alten Buch, ist aber auch gut.
Und: Am Dienstag machen wir es wieder so wie vor zwei Wochen. Kommt um 7.50 oder um 14.05, wie es euch besser passt. Ich bin zweimal da.
.
Montag, 17. September 2018
Seite 183, Aufgabe 10
In den Teilen a und b kam man recht schnell auf Lösungen. Dort waren die Richtungsvektoren
(3 1 2) und (6 2 4), also mit d=2 und b=6 parallel zueinander. Die richtigen Stützvektoren habt ihr dann leicht gefunden.
In den Teilen c und d gibt es nun sehr viele Möglichkeiten, und fast alle führen auch zum Ziel. Es ist also verwirrend.
Was passiert mit den Geraden g und h, wenn sich die Werte der Variablen a, b, c und d ändern?
a: Verschiebt den Stützvektor von g und damit die Gerade g in x2-Richtung. Im Raum wird g parallel von links nach rechts verschoben.
c: Verschiebt den Stützvektor von h und damit die Gerade h in x1-Richtung. Im Raum wird h parallel von vorne nach hinten verschoben.
Man kann sich also vorstellen, dass mit der richtigen Wahl von a und c die Geraden einen Schnittpunkt bekommen, oder dass sie bei anderen Werten von a und c windschief zueinander liegen.
b: Bestimmt die Richtung von g. Für b=0 ist g parallel zur x2-x3-Ebene, zeigt nach rechts oben. Für b>0 kommt sie dann nach rechts oben vorne, mit b<0 nach hinten.
d: Bestimmt die Richtung von h. Für d=0 ist h parallel zur x1-x2-Ebene, zeigt nach vorne rechts. Für d>0 kommt sie dann nach vorne rechts oben, mit d<0 nach unten.
Auch hier kann man sich vorstellen, dass es ganz viele Möglichkeiten gibt für einen Schnitt beider Geraden, und noch viel mehr dafür, dass sie windschief zueinander sind.
Eine Beispiellösung. Ich glaube, das ist so am einfachsten.
Wähle b=0 und d=0. Dann sind g und h parallel zu den Koordinatenebenen x2-x3 bzw. x1-x2. Jetzt müssen wir die Stützpunkte so wählen, dass sie sich treffen oder nicht.
Teilaufgabe c. Mit Schnittpunkt
Wie gesagt, mit Wahl b=0 und d=0.
Dann gleichsetzen, ergibt ein LGS
2 = c + 3s (I)
a + 2r = 1 + s (II)
1 + 4r = 5 (III)
Aus (III) erhält man den Lösungsbestandteil r=1, den man in (II) gleich einsetzt
2 = c + 3s (I)
a + 2 = 1 + s (II)
Jetzt bringe ich es in die Standardform. Links Variablen, rechts Zahlen
c + 3s = 2 (I)
a - s = -1 (II)
Wir wollen eine Lösung für a und c, also müssen wir s aus dem LGS entfernen. Das geht z.B. durch die Summe (I)+3(II) und damit die Gleichung.
3 a + c = -1 (Ia)
Wenn also a und c diese Gleichung erfüllen, gibt es einen Schnittpunkt.
Das wäre z.B. a=1 und c=-4 oder a=0 und c=-1. Ihr findet ganz leicht andere Zahlenpaare. Sucht euch etwas für a raus, und bestimmt dann das passende c.
Also. Meine Lösung für Teilaufgabe c: a=0, b=0, c=-1, d=0.
Teilaufgabe d. Windschief, ohne Schnittpunkt.
Das mache ich mir jetzt ganz leicht. Da nehme ich das Ergebnis von c, wähle also b=0 und d=0 und dann ein beliebiges a, aber eben ein c, das nicht dazu passt, weil es nicht (Ia) erfüllt.
Also, a=0, b=0, d=0 und dann c=0. Man kann auch c=1 oder c=2 oder c=-2 oder irgendwas anderes nehmen, aber eben nicht c=-1.
Auf der Seite https://www.geogebra.org/m/fygyvvj8 findet ihr ein geogebra-Blatt, mit dem ihr die obigen Überlegungen nachspielen könnt.
(3 1 2) und (6 2 4), also mit d=2 und b=6 parallel zueinander. Die richtigen Stützvektoren habt ihr dann leicht gefunden.
In den Teilen c und d gibt es nun sehr viele Möglichkeiten, und fast alle führen auch zum Ziel. Es ist also verwirrend.
Was passiert mit den Geraden g und h, wenn sich die Werte der Variablen a, b, c und d ändern?
a: Verschiebt den Stützvektor von g und damit die Gerade g in x2-Richtung. Im Raum wird g parallel von links nach rechts verschoben.
c: Verschiebt den Stützvektor von h und damit die Gerade h in x1-Richtung. Im Raum wird h parallel von vorne nach hinten verschoben.
Man kann sich also vorstellen, dass mit der richtigen Wahl von a und c die Geraden einen Schnittpunkt bekommen, oder dass sie bei anderen Werten von a und c windschief zueinander liegen.
b: Bestimmt die Richtung von g. Für b=0 ist g parallel zur x2-x3-Ebene, zeigt nach rechts oben. Für b>0 kommt sie dann nach rechts oben vorne, mit b<0 nach hinten.
d: Bestimmt die Richtung von h. Für d=0 ist h parallel zur x1-x2-Ebene, zeigt nach vorne rechts. Für d>0 kommt sie dann nach vorne rechts oben, mit d<0 nach unten.
Auch hier kann man sich vorstellen, dass es ganz viele Möglichkeiten gibt für einen Schnitt beider Geraden, und noch viel mehr dafür, dass sie windschief zueinander sind.
Eine Beispiellösung. Ich glaube, das ist so am einfachsten.
Wähle b=0 und d=0. Dann sind g und h parallel zu den Koordinatenebenen x2-x3 bzw. x1-x2. Jetzt müssen wir die Stützpunkte so wählen, dass sie sich treffen oder nicht.
Teilaufgabe c. Mit Schnittpunkt
Wie gesagt, mit Wahl b=0 und d=0.
Dann gleichsetzen, ergibt ein LGS
2 = c + 3s (I)
a + 2r = 1 + s (II)
1 + 4r = 5 (III)
Aus (III) erhält man den Lösungsbestandteil r=1, den man in (II) gleich einsetzt
2 = c + 3s (I)
a + 2 = 1 + s (II)
Jetzt bringe ich es in die Standardform. Links Variablen, rechts Zahlen
c + 3s = 2 (I)
a - s = -1 (II)
Wir wollen eine Lösung für a und c, also müssen wir s aus dem LGS entfernen. Das geht z.B. durch die Summe (I)+3(II) und damit die Gleichung.
3 a + c = -1 (Ia)
Wenn also a und c diese Gleichung erfüllen, gibt es einen Schnittpunkt.
Das wäre z.B. a=1 und c=-4 oder a=0 und c=-1. Ihr findet ganz leicht andere Zahlenpaare. Sucht euch etwas für a raus, und bestimmt dann das passende c.
Also. Meine Lösung für Teilaufgabe c: a=0, b=0, c=-1, d=0.
Teilaufgabe d. Windschief, ohne Schnittpunkt.
Das mache ich mir jetzt ganz leicht. Da nehme ich das Ergebnis von c, wähle also b=0 und d=0 und dann ein beliebiges a, aber eben ein c, das nicht dazu passt, weil es nicht (Ia) erfüllt.
Also, a=0, b=0, d=0 und dann c=0. Man kann auch c=1 oder c=2 oder c=-2 oder irgendwas anderes nehmen, aber eben nicht c=-1.
Auf der Seite https://www.geogebra.org/m/fygyvvj8 findet ihr ein geogebra-Blatt, mit dem ihr die obigen Überlegungen nachspielen könnt.
Donnerstag, 5. Juli 2018
Blatt vom 20.6. Lösungen
Hier Aufgabe 4 mit der Bestimmung einer Funktionsgleichung für eine Parabel.
Hier Seite 171/7b aus dem Buch. Die Lösung ist in Kurzform auch auf Seite 368. Ihr seht, dass ich mich auch beim ersten Mal verrechnet habe.
Das ist Seite 171/7a. Das hatten wir am Freitag als Ansatz an der Tafel. Der Ansatz steht auch noch auf Seite 368 in den Lösungen.
Die Aufgabe 8 von Seite 171 habe ich jetzt nicht selbst gemacht. Sie steht sehr ausführlich gelöst auf Seite 368. Mit einzelnen Schritten.
Mittwoch, 13. Juni 2018
Zu den Funktionstermen und LGS
Leider bin ich ein paar Mal durcheinander geraten beim LGS, weil ich nicht richtig abgeschrieben hatte, was ich habe, und die Lösung auf dem vorigen Eintrag im Blog passt nicht zu der Aufgabe auf dem Blatt.
Ist aber gar nicht schlecht, dass wir mehrere Varianten haben, denn so habt ihr mehr Beispiele, mit denen ihr üben und die ihr überprüfen könnt.
1. Die Aufgabe, die zu der Lösung im vorigen Blogeintrag passt:
f(-2)=-1, f(0)=0, f(4)=8
also eine Parabel, die durch die Punkte (-2|-1), (0|0) und (4|8) verläuft.
2. Die Lösung zu dem, was auf dem Blatt steht
f(-2) = 0 ergibt 4 a2 - 2 a1 + a0 = 0
f(0) = -1 ergibt a0 = -1
f(4) = 7 ergibt 16 a2 + 4 a1 + a0 = 7
Ich ändere die Reihenfolge der Gleichungen
16 a2 + 4 a1 + a0 = 7 I
4 a2 - 2 a1 + a0 = 0 II
a0 = -1 III
---------------------------------
16 a2 + 4 a1 + a0 = 7 I
12 a1 - 3 a0 = 7 IIa = I-4*II
a0 = -1 III
-------------------------------
Lösungen durch Einsetzen:
a0 = -1
in IIa: 12 a1 - 3*(-1) = 7
12 a1 + 3 = 7 | -3
12 a1 = 4 | :12
a1 = 1/3
in I: 16 a2 + 4*1/3 + (-1) = 7
16 a2 + 1/3 = 7 | -1/3
16 a2 = 20/3 | :16
a2 = 5/12
also ist die Funktion f(x) = 5/12 x² + 1/3 x - 1
3. Das, was ich wahrscheinlich "eigentlich" machen wollte nämlich 3 statt 7 bei f(4).
f(-2) = 0 ergibt 4 a2 - 2 a1 + a0 = 0
f(0) = -1 ergibt a0 = -1
f(4) = 3 ergibt 16 a2 + 4 a1 + a0 = 3
Ich ändere die Reihenfolge der Gleichungen
16 a2 + 4 a1 + a0 = 3 I
4 a2 - 2 a1 + a0 = 0 II
a0 = -1 III
---------------------------------
16 a2 + 4 a1 + a0 = 3 I
12 a1 - 3 a0 = 3 IIa = I-4*II
a0 = -1 III
-------------------------------
Lösungen durch Einsetzen:
a0 = -1
in IIa: 12 a1 - 3*(-1) = 3
12 a1 + 3 = 3 | -3
12 a1 = 0 | :12
a1 = 0
in I: 16 a2 + 4*0 + (-1) = 7
16 a2 -1 = 7 | +1
16 a2 = 8 | :16
a2 = 1/2
also ist die Funktion f(x) = 1/2 x² - 1
Ist aber gar nicht schlecht, dass wir mehrere Varianten haben, denn so habt ihr mehr Beispiele, mit denen ihr üben und die ihr überprüfen könnt.
1. Die Aufgabe, die zu der Lösung im vorigen Blogeintrag passt:
f(-2)=-1, f(0)=0, f(4)=8
also eine Parabel, die durch die Punkte (-2|-1), (0|0) und (4|8) verläuft.
2. Die Lösung zu dem, was auf dem Blatt steht
f(-2) = 0 ergibt 4 a2 - 2 a1 + a0 = 0
f(0) = -1 ergibt a0 = -1
f(4) = 7 ergibt 16 a2 + 4 a1 + a0 = 7
Ich ändere die Reihenfolge der Gleichungen
16 a2 + 4 a1 + a0 = 7 I
4 a2 - 2 a1 + a0 = 0 II
a0 = -1 III
---------------------------------
16 a2 + 4 a1 + a0 = 7 I
12 a1 - 3 a0 = 7 IIa = I-4*II
a0 = -1 III
-------------------------------
Lösungen durch Einsetzen:
a0 = -1
in IIa: 12 a1 - 3*(-1) = 7
12 a1 + 3 = 7 | -3
12 a1 = 4 | :12
a1 = 1/3
in I: 16 a2 + 4*1/3 + (-1) = 7
16 a2 + 1/3 = 7 | -1/3
16 a2 = 20/3 | :16
a2 = 5/12
also ist die Funktion f(x) = 5/12 x² + 1/3 x - 1
3. Das, was ich wahrscheinlich "eigentlich" machen wollte nämlich 3 statt 7 bei f(4).
f(-2) = 0 ergibt 4 a2 - 2 a1 + a0 = 0
f(0) = -1 ergibt a0 = -1
f(4) = 3 ergibt 16 a2 + 4 a1 + a0 = 3
Ich ändere die Reihenfolge der Gleichungen
16 a2 + 4 a1 + a0 = 3 I
4 a2 - 2 a1 + a0 = 0 II
a0 = -1 III
---------------------------------
16 a2 + 4 a1 + a0 = 3 I
12 a1 - 3 a0 = 3 IIa = I-4*II
a0 = -1 III
-------------------------------
Lösungen durch Einsetzen:
a0 = -1
in IIa: 12 a1 - 3*(-1) = 3
12 a1 + 3 = 3 | -3
12 a1 = 0 | :12
a1 = 0
in I: 16 a2 + 4*0 + (-1) = 7
16 a2 -1 = 7 | +1
16 a2 = 8 | :16
a2 = 1/2
also ist die Funktion f(x) = 1/2 x² - 1
Donnerstag, 7. Juni 2018
Blatt vom 8.6.2018
Aufgabe 1
a) Produktregel mit Kette in einem Teil
2 x e^(-0,5 x²) + x² e^(-0,5 x²) *(-x) = ( 2x - x^3) * e^(-0,5 x²)
b) Summenregel mit Kette in einem Teil
2 x + 2 pi cos(2 pi x)
c) Kettenregel
-(1+e^x)^(-2) * e^x = - e^x/(1 + e^x)²
Aufgabe 2
a) Finde erst die Schnittpunkte der Schaubilder. Funktionsterme gleichsetzen
1/4 x³ - x + 1 = - 1/8 x³ + 1/2 x + 1
umformen zu
3/8 x³ - 3/2 x = 0
ausklammern
3 x (1/8 x² - 1/2 ) = 0
Lösungen x=0 und x=2 und x=-2
Dann müsst ihr f(x)-g(x)= 3/8 x³ - 3/2 integrieren, einmal von -2 bis 0 und dann von 0 bis 2. Von beiden Integralen müsst ihr den Betrag nehmen, also positiv, und dann addieren. Hinweis: eins wird negativ sein, eins positiv, aber beide mit gleichem Betrag.
b)
Integral x^-3 von 1 bis unendlich.
[- 1/2 x^-2]_1^unendlich = 0 - (-1/2) = 1/2
Stammfunktion von 2^-x = e^(-ln(2) x) ist -1/ln(2) * e^(-ln(2) x) = -1/ln(2) * 2^-x
also ist das Integral
[ -1/ln(2) 2^-x]_0^unendlich = 0 - (-1/ln(2)) = 1/ln(2)
Aufgabe 3
a) Ganz einfach: abc-Formel gibt die Lösungen 1 und 5.
b) Jetzt substituieren z = Wurzel(x), Lösungen für z wie in a).
Wurzel(x) = 1 --> x=1²=1
Wurzel(x) = 5 --> x=5²=25
c) Jetzt substituieren z=5^x, Lösungen für z wie in a) und b)
5^x = 1 --> x=0
5^x = 5 --> x=1
Aufgabe 4
LGS aufstellen
f(-2)=-1 ergibt 4 a2 - 2 a1 + a0 = -1
f(0)=0 ergibt a0 = 0
f(4)=8 ergibt 16 a2 + 4 a1 + a0 = 8
Zeilen umordnen
16 a2 + 4 a1 + a0 = 8 I
4 a2 - 2 a1 + a0 = -1 II
a0 = 0 III
-----------------------------
16 a2 + 4 a1 + a0 = 8 I
12 a1 = 12 I -4II
a0 = 0 III
----------------------------
ergibt die Lösung (a2 = 1/4; a1=1; a0 = 0)
und damit
f(x) = 1/4 x² + x
Aufgabe 5 ist bei den Musteraufgaben für Abi 19 dabei. Google findet es. Ich schreib demnächst nochwas dazu.
1. Da gibt es viele Möglichkeiten. Am einfachsten finde ich:
g ist immer positiv, weil x²>=0 und e^-x>0. Das passt zu C.
f wechselt das Vorzeichen bei x=0. Das passt zu K.
2. x=1 ist eine vertikale Gerade, parallel zur y-Achse bei x=1.
Die Punkte findet man anhand der Funktionswerte bei x=1.
f(1)=8*1*e^-1=8/e
g(1)=4*1²*e^-1=4/e
Fläche eines Dreiecks: 1/2*Grundseite*Höhe. Am einfachsten nimmt man die vertikale Seite rechts bei x=1 als Grundseite. Die Höhe ist dann eine waagrechte Linie der Länge 1.
Also A=1/2*(8/e-4/e)*1=1/2*4/e=2/e
3. Ableitung.
g'(x)=4*2x*e^-x+4*x²*e^-x*(-1) = 4*x*(2-x)*e^-x
g'(x)=0, wenn (2-x)=0, also bei x=2.
Der Funktionswert ist an dieser Stelle g(2)=4*2²*e^-2=16/e², wie wir in 2. ausgerechnet haben.
Also ist der Hochpunkt H(2|16/e²).
(Auf den vollen Beweis mit g"(1)<0 würde ich verzichten, weil aus der Zeichnung klar ist, dass es kein Sattelpunkt ist).
Wenn jetzt a>16/e², gibt es nur einen Schnittpunkt, nämlich am linken Ast bei x<0.
Wenn a=16/e², gibt es zwei Schnittpunkte, nämlich am linken Ast bei x<0 und H.Wenn 0<a<16/e², gibt es drei Schnittpunkte, nämlich am linken Ast bei x<0, einen links unterhalb von H und einen rechts unterhalb von H.
Wenn a=0, gibt es wieder nur einen, nämlich den Tiefpunkt (0|0)
Wenn 0<a, gibt es keinen Schnittpunkt, weil g nicht negativ wird.
4. Sieht furchtbar mathematisch kompliziert aus, ist aber recht einfach. Ist was für Mathevertieferinnen.
Erst muss man die beiden Schnittstellen berechnen
8 x e^-x = 4 x² e^-x | *e^x
8 x = 4 x² | :4
2 x = x² | -2x
0 = x² - 2x | x ausklammern
0 = x * (x-2)
Das sind also x=0 und x=2
Dann muss ich integrieren
Integral_0^2 (f(x)-g(x))*dx = [F(x) - G(x)]_0^2 = ....
jetzt sagen die uns, dass wir diese (uns noch unbekannte) Differenz aus zwei Stammfunktionen durch g(x) ersetzen dürfen (das ist das für die Vertieferinnen).
... = [g(x)]_0^2 =g(2) - g(0) = 4*2²*e^-2 - 4*0²*e^-0 = 16/e² - 0 = 16/e²
a) Produktregel mit Kette in einem Teil
2 x e^(-0,5 x²) + x² e^(-0,5 x²) *(-x) = ( 2x - x^3) * e^(-0,5 x²)
b) Summenregel mit Kette in einem Teil
2 x + 2 pi cos(2 pi x)
c) Kettenregel
-(1+e^x)^(-2) * e^x = - e^x/(1 + e^x)²
Aufgabe 2
a) Finde erst die Schnittpunkte der Schaubilder. Funktionsterme gleichsetzen
1/4 x³ - x + 1 = - 1/8 x³ + 1/2 x + 1
umformen zu
3/8 x³ - 3/2 x = 0
ausklammern
3 x (1/8 x² - 1/2 ) = 0
Lösungen x=0 und x=2 und x=-2
Dann müsst ihr f(x)-g(x)= 3/8 x³ - 3/2 integrieren, einmal von -2 bis 0 und dann von 0 bis 2. Von beiden Integralen müsst ihr den Betrag nehmen, also positiv, und dann addieren. Hinweis: eins wird negativ sein, eins positiv, aber beide mit gleichem Betrag.
b)
Integral x^-3 von 1 bis unendlich.
[- 1/2 x^-2]_1^unendlich = 0 - (-1/2) = 1/2
Stammfunktion von 2^-x = e^(-ln(2) x) ist -1/ln(2) * e^(-ln(2) x) = -1/ln(2) * 2^-x
also ist das Integral
[ -1/ln(2) 2^-x]_0^unendlich = 0 - (-1/ln(2)) = 1/ln(2)
Aufgabe 3
a) Ganz einfach: abc-Formel gibt die Lösungen 1 und 5.
b) Jetzt substituieren z = Wurzel(x), Lösungen für z wie in a).
Wurzel(x) = 1 --> x=1²=1
Wurzel(x) = 5 --> x=5²=25
c) Jetzt substituieren z=5^x, Lösungen für z wie in a) und b)
5^x = 1 --> x=0
5^x = 5 --> x=1
Aufgabe 4
LGS aufstellen
f(-2)=-1 ergibt 4 a2 - 2 a1 + a0 = -1
f(0)=0 ergibt a0 = 0
f(4)=8 ergibt 16 a2 + 4 a1 + a0 = 8
Zeilen umordnen
16 a2 + 4 a1 + a0 = 8 I
4 a2 - 2 a1 + a0 = -1 II
a0 = 0 III
-----------------------------
16 a2 + 4 a1 + a0 = 8 I
12 a1 = 12 I -4II
a0 = 0 III
----------------------------
ergibt die Lösung (a2 = 1/4; a1=1; a0 = 0)
und damit
f(x) = 1/4 x² + x
Aufgabe 5 ist bei den Musteraufgaben für Abi 19 dabei. Google findet es. Ich schreib demnächst nochwas dazu.
1. Da gibt es viele Möglichkeiten. Am einfachsten finde ich:
g ist immer positiv, weil x²>=0 und e^-x>0. Das passt zu C.
f wechselt das Vorzeichen bei x=0. Das passt zu K.
2. x=1 ist eine vertikale Gerade, parallel zur y-Achse bei x=1.
Die Punkte findet man anhand der Funktionswerte bei x=1.
f(1)=8*1*e^-1=8/e
g(1)=4*1²*e^-1=4/e
Fläche eines Dreiecks: 1/2*Grundseite*Höhe. Am einfachsten nimmt man die vertikale Seite rechts bei x=1 als Grundseite. Die Höhe ist dann eine waagrechte Linie der Länge 1.
Also A=1/2*(8/e-4/e)*1=1/2*4/e=2/e
3. Ableitung.
g'(x)=4*2x*e^-x+4*x²*e^-x*(-1) = 4*x*(2-x)*e^-x
g'(x)=0, wenn (2-x)=0, also bei x=2.
Der Funktionswert ist an dieser Stelle g(2)=4*2²*e^-2=16/e², wie wir in 2. ausgerechnet haben.
Also ist der Hochpunkt H(2|16/e²).
(Auf den vollen Beweis mit g"(1)<0 würde ich verzichten, weil aus der Zeichnung klar ist, dass es kein Sattelpunkt ist).
Wenn jetzt a>16/e², gibt es nur einen Schnittpunkt, nämlich am linken Ast bei x<0.
Wenn a=16/e², gibt es zwei Schnittpunkte, nämlich am linken Ast bei x<0 und H.Wenn 0<a<16/e², gibt es drei Schnittpunkte, nämlich am linken Ast bei x<0, einen links unterhalb von H und einen rechts unterhalb von H.
Wenn a=0, gibt es wieder nur einen, nämlich den Tiefpunkt (0|0)
Wenn 0<a, gibt es keinen Schnittpunkt, weil g nicht negativ wird.
4. Sieht furchtbar mathematisch kompliziert aus, ist aber recht einfach. Ist was für Mathevertieferinnen.
Erst muss man die beiden Schnittstellen berechnen
8 x e^-x = 4 x² e^-x | *e^x
8 x = 4 x² | :4
2 x = x² | -2x
0 = x² - 2x | x ausklammern
0 = x * (x-2)
Das sind also x=0 und x=2
Dann muss ich integrieren
Integral_0^2 (f(x)-g(x))*dx = [F(x) - G(x)]_0^2 = ....
jetzt sagen die uns, dass wir diese (uns noch unbekannte) Differenz aus zwei Stammfunktionen durch g(x) ersetzen dürfen (das ist das für die Vertieferinnen).
... = [g(x)]_0^2 =g(2) - g(0) = 4*2²*e^-2 - 4*0²*e^-0 = 16/e² - 0 = 16/e²
Dienstag, 5. Juni 2018
Bisher vergessen - Blatt vom 9.5., Mittwoch vor Himmelfahrt
1a) cos(x)*cos(x) + sin(x)*(-sin(x)) = cos(x)² - sin(x)²
b) 1*sin(pi x) + x *cos(pi x) * pi = sin(pi x) + pi x cos(pi x)
c) 1* e^(-x) + x*e(-x)*(-1) = (1-x)*e^(-x)
2a)
Substituieren z=e^x ergibt
z² - (1+e) z + e = 0 und dann abc-Mitternachts-Formel
z = ((1+e) +- Wurzel((1+e)² + 4e))/2 = ((1+e) +- (1-e))/2
gibt also als Lösung für die z
erstens: z=1 und damit e^x=1 also x=0 und
zweitens: z=e und damit e^x=e also x=1
b)
Das "im Intervall ..." ist unnötig, habe ich vergessen rauszulöschen, weil es im ersten Blatt drinnen war. Sorry. Stört aber auch nicht.
Nullproduktsatz: e^x+1=0 hat keine Lösung, weil e^x>0 immer positiv
e^x-1=0 hat e^x=1 und damit x=0 als Lösung
3a)
[ln(x)]_1/e^e = ln(e) - ln(1/e) = 1 - (-1) = 2
b)
Dazu muss man zeigen, dass die Ableitung von tan(x) gleich 1/cos(x)² ist.
Erst ein bisschen umformen
tan(x) = sin(x)/cos(x) = sin(x) * cos(x)^-1
und dann mit Produkt- und Kettenregel ableiten
cos(x) * cos(x)^-1 + sin(x) * (-cos(x)^-2) * (-sin(x))
und umformen
= 1 + sin(x)² / cos(x)² (auf Hauptnenner bringen)
= (cos(x)² + sin(x)²) / cos(x)²
= 1/cos(x)² denn cos(x)²+sin(x)²=1
Man hätte auch nach dem ersten Umformen direkt 1+tan(x)² draus machen können
4
Das ist eine Abiaufgabe. Vielleicht habt ihr sie auch schon mit einer Suchmaschine gefunden.
u Berechnen:
c*sin(c u) = 0
Weil sin(pi) = 0, ist die benachbarte Nullstelle gegeben durch
c*u = pi und daher
u = pi/c
Flächenstück berechnen
Integral über c*sin(c x) von 0 bis pi/c
[c*1/c*(-cos(c x))]_0^pi/c
= [-cos(c x)]_0^pi/c
= -cos(c pi/c) - (-cos(0))
= - cos(pi) + cos(0)
= - (-1) + 1 = 2
b) 1*sin(pi x) + x *cos(pi x) * pi = sin(pi x) + pi x cos(pi x)
c) 1* e^(-x) + x*e(-x)*(-1) = (1-x)*e^(-x)
2a)
Substituieren z=e^x ergibt
z² - (1+e) z + e = 0 und dann abc-Mitternachts-Formel
z = ((1+e) +- Wurzel((1+e)² + 4e))/2 = ((1+e) +- (1-e))/2
gibt also als Lösung für die z
erstens: z=1 und damit e^x=1 also x=0 und
zweitens: z=e und damit e^x=e also x=1
b)
Das "im Intervall ..." ist unnötig, habe ich vergessen rauszulöschen, weil es im ersten Blatt drinnen war. Sorry. Stört aber auch nicht.
Nullproduktsatz: e^x+1=0 hat keine Lösung, weil e^x>0 immer positiv
e^x-1=0 hat e^x=1 und damit x=0 als Lösung
3a)
[ln(x)]_1/e^e = ln(e) - ln(1/e) = 1 - (-1) = 2
b)
Dazu muss man zeigen, dass die Ableitung von tan(x) gleich 1/cos(x)² ist.
Erst ein bisschen umformen
tan(x) = sin(x)/cos(x) = sin(x) * cos(x)^-1
und dann mit Produkt- und Kettenregel ableiten
cos(x) * cos(x)^-1 + sin(x) * (-cos(x)^-2) * (-sin(x))
und umformen
= 1 + sin(x)² / cos(x)² (auf Hauptnenner bringen)
= (cos(x)² + sin(x)²) / cos(x)²
= 1/cos(x)² denn cos(x)²+sin(x)²=1
Man hätte auch nach dem ersten Umformen direkt 1+tan(x)² draus machen können
4
Das ist eine Abiaufgabe. Vielleicht habt ihr sie auch schon mit einer Suchmaschine gefunden.
u Berechnen:
c*sin(c u) = 0
Weil sin(pi) = 0, ist die benachbarte Nullstelle gegeben durch
c*u = pi und daher
u = pi/c
Flächenstück berechnen
Integral über c*sin(c x) von 0 bis pi/c
[c*1/c*(-cos(c x))]_0^pi/c
= [-cos(c x)]_0^pi/c
= -cos(c pi/c) - (-cos(0))
= - cos(pi) + cos(0)
= - (-1) + 1 = 2
Freitag, 4. Mai 2018
Blatt vom 4.5.18 - Hinweise und jetzt auch mit Lösungen
Aufgabe 1
a) Produktregel, wobei der Teil mit e-Funktion auch noch Kettenregel braucht
2x*e^(-x²) + (x²+1)*(-2x) e^(-x²) = x² e^(-x²)
b) Produktregel, der cos braucht auch noch etwas Kettenregel
2 cos(pi x) - (2x+1) pi sin(pi x)
c) sin(x)/cos(x) = sin(x) * 1/cos(x) = sin(x) * (cos(x))^-1
also wieder ein Produkt, mit einer Kette im zweiten Teil
cos(x)*1/cos(x) + sin(x)*(-1)*(cos(x))^-2*(-sin(x))=
1 + (sin(x))²/(cos(x))²
man kann das auch noch umformen zu
(cos(x)²+sin(x)²)/cos(x)² = 1/cos(x)²
Aufgabe 2
a) x so oft ausklammern bis eine Zahl ohne x übrigbleibt
x²*(x²-7x-8)=0 hat als Lösungen erst mal x=0 und dann in der Klammer x=8 und x=-1
b) Nullproduktsatz, also jede Klammer für sich gleich null setzen. Da hatte ich auf dem Blatt vergessen "=0" zu schreiben.
Dran denken: sin(pi/2)=1, sin(pi)=0, sin(3/2*pi)=-1, sin(0)=sin(2pi)=0
zweite Klammer x=1
erste Klammer sin(pi x)=1, also pi x= pi/2, also x=1/2
Aufgabe 3
a) ganz elementar, sag ich erst mal nix
[-cos(x)] von 0 bis pi, also -cos(pi)-(-cos(0))=-(-1)-(-1)=2
b) F(x) und F(x)+c mit beliebiger Kontante c sind beide Stammfunktionen zu f(x)=F'(x)
F(x)=1/2 x² + ln(x) + c
es soll sein F(1) = 1/2 + 0 + c = 0, also muss c=-1/2
a) Produktregel, wobei der Teil mit e-Funktion auch noch Kettenregel braucht
2x*e^(-x²) + (x²+1)*(-2x) e^(-x²) = x² e^(-x²)
b) Produktregel, der cos braucht auch noch etwas Kettenregel
2 cos(pi x) - (2x+1) pi sin(pi x)
c) sin(x)/cos(x) = sin(x) * 1/cos(x) = sin(x) * (cos(x))^-1
also wieder ein Produkt, mit einer Kette im zweiten Teil
cos(x)*1/cos(x) + sin(x)*(-1)*(cos(x))^-2*(-sin(x))=
1 + (sin(x))²/(cos(x))²
man kann das auch noch umformen zu
(cos(x)²+sin(x)²)/cos(x)² = 1/cos(x)²
Aufgabe 2
a) x so oft ausklammern bis eine Zahl ohne x übrigbleibt
x²*(x²-7x-8)=0 hat als Lösungen erst mal x=0 und dann in der Klammer x=8 und x=-1
b) Nullproduktsatz, also jede Klammer für sich gleich null setzen. Da hatte ich auf dem Blatt vergessen "=0" zu schreiben.
Dran denken: sin(pi/2)=1, sin(pi)=0, sin(3/2*pi)=-1, sin(0)=sin(2pi)=0
zweite Klammer x=1
erste Klammer sin(pi x)=1, also pi x= pi/2, also x=1/2
Aufgabe 3
a) ganz elementar, sag ich erst mal nix
[-cos(x)] von 0 bis pi, also -cos(pi)-(-cos(0))=-(-1)-(-1)=2
b) F(x) und F(x)+c mit beliebiger Kontante c sind beide Stammfunktionen zu f(x)=F'(x)
F(x)=1/2 x² + ln(x) + c
es soll sein F(1) = 1/2 + 0 + c = 0, also muss c=-1/2
Montag, 16. April 2018
Aufgaben vom 11.4.
Aufgabe 1
Die sind alle vom Typ der linearen Substitution, oder "Kettenregel rückwärts", wie ich es genannt habe. Also zu einer Funktion f(x) ist F(x) die Stammfunktion, dann ist zu f(ax+b) die Stammfunktion 1/a * F(ax+b). Damit ergibt sich
a) 1/2 * 2 sin(2x) = sin(2x)
b) 1/3 * 2 e^(3x) = 2/3 * e^(3x)
c) 1/2 * 2 * ln|2x+3| = ln|2x+3|
d) 1/1 * 1/(-1) * (x+1)^(-1) = - 1/(x+1)
Aufgabe 2
a) Dazu braucht man die beiden Nullstellen des cos. Ich habe die links und rechts von der 0 gemeint, aber das vergessen, deutlich zu sagen. Die sind bei pi/2 und -pi/2. Dann rechnet man
Integral_(-pi/2)^(pi/2) cos(x) dx = [sin(x)]_(-pi/2)^(pi/2)
= sin(pi/2) - sin(-pi/2) = 1 - (-1) = 2
(mit der komischen Schreibweise _ und ^ meine ich unten und oben, wo
man die Grenzen beim Integral und der eckigen Klammer der Stammfunktion hinschreibt.)
b) Finde a so, dass es auch die gleichen Nullstellen hat
1 - a (pi/2)² = 0
a (pi/2)² = 1
a = (2/pi)²
c) Wieder ein Integral
Integral_(-pi/2)^(pi/2) ( 1 - (2/pi²) x²) dx =
[ x - 4/(3 pi²) x³ ]_(-pi/2)^(pi/2) =
[pi/2 - 4/(3 pi²) (pi/2)³] - [-pi/2 + 4/(3 pi²) (pi/2)³] =
pi - 1/3 pi = 2/3 pi
was ein kleines bisschen mehr ist als 2, nämlich um den Faktor pi/3, also etwa 5% mehr.
Aufgabe 3
a) Da muss man im wesentlich gut aus dem Schaubild ablesen.
f(8) = 43 lese ich ab, also 43mg
f'(8) = -6 kann man aus einer Tangenten am Punkt (8|43) ablesen,
also nimmt die Wirkstoffmenge ab um 6mg/h. Wenn es also unverändert weiter so abnähme, würde in jeder Stunde 6mg abgebaut oder ausgeschieden. Tatsächlich flacht die Kurve aber ab, und die momentane Änderungsrate sinkt schwächer, je mehr Zeit vergeht.
Wo ist das Schaubild über 35? von etwa t=1,2 bis t=9,6, also von etwa 1h12min bis 9h36min.
b) "Langfristig", da geht es um die Asymptote
g(t) = 80 * (1 - e^(-0,05 t) ) für t-> +unendlich
Da geht der Ausdruck mit e^... gegen null, und es bleibt 80*1, also 80mg als asymptotischer Wert.
Zeige, dass sie zunimmt. Ableiten
g(t) = 80 * (1 - e^(-0,05 t) ) hat die Ableitung
g'(t) = 80 (-e^(-0,05 t) ) * (-0,05) = 80*0,05*e^(-0,05 t) = 4*e^(-0,05 t)
und das ist immer positiv, weil e^... immer positiv ist.
Wann ist die Änderungsrate = 1mg/min? Dazu muss man gleichsetzen
1 = g'(t)
1 = 4*e^(-0,05 t) | e^(0,05t)
e^(0,05 t) = 4
0,05 t = ln(4) | *20
t = 20*ln(4)
Die sind alle vom Typ der linearen Substitution, oder "Kettenregel rückwärts", wie ich es genannt habe. Also zu einer Funktion f(x) ist F(x) die Stammfunktion, dann ist zu f(ax+b) die Stammfunktion 1/a * F(ax+b). Damit ergibt sich
a) 1/2 * 2 sin(2x) = sin(2x)
b) 1/3 * 2 e^(3x) = 2/3 * e^(3x)
c) 1/2 * 2 * ln|2x+3| = ln|2x+3|
d) 1/1 * 1/(-1) * (x+1)^(-1) = - 1/(x+1)
Aufgabe 2
a) Dazu braucht man die beiden Nullstellen des cos. Ich habe die links und rechts von der 0 gemeint, aber das vergessen, deutlich zu sagen. Die sind bei pi/2 und -pi/2. Dann rechnet man
Integral_(-pi/2)^(pi/2) cos(x) dx = [sin(x)]_(-pi/2)^(pi/2)
= sin(pi/2) - sin(-pi/2) = 1 - (-1) = 2
(mit der komischen Schreibweise _ und ^ meine ich unten und oben, wo
man die Grenzen beim Integral und der eckigen Klammer der Stammfunktion hinschreibt.)
b) Finde a so, dass es auch die gleichen Nullstellen hat
1 - a (pi/2)² = 0
a (pi/2)² = 1
a = (2/pi)²
c) Wieder ein Integral
Integral_(-pi/2)^(pi/2) ( 1 - (2/pi²) x²) dx =
[ x - 4/(3 pi²) x³ ]_(-pi/2)^(pi/2) =
[pi/2 - 4/(3 pi²) (pi/2)³] - [-pi/2 + 4/(3 pi²) (pi/2)³] =
pi - 1/3 pi = 2/3 pi
was ein kleines bisschen mehr ist als 2, nämlich um den Faktor pi/3, also etwa 5% mehr.
Aufgabe 3
a) Da muss man im wesentlich gut aus dem Schaubild ablesen.
f(8) = 43 lese ich ab, also 43mg
f'(8) = -6 kann man aus einer Tangenten am Punkt (8|43) ablesen,
also nimmt die Wirkstoffmenge ab um 6mg/h. Wenn es also unverändert weiter so abnähme, würde in jeder Stunde 6mg abgebaut oder ausgeschieden. Tatsächlich flacht die Kurve aber ab, und die momentane Änderungsrate sinkt schwächer, je mehr Zeit vergeht.
Wo ist das Schaubild über 35? von etwa t=1,2 bis t=9,6, also von etwa 1h12min bis 9h36min.
b) "Langfristig", da geht es um die Asymptote
g(t) = 80 * (1 - e^(-0,05 t) ) für t-> +unendlich
Da geht der Ausdruck mit e^... gegen null, und es bleibt 80*1, also 80mg als asymptotischer Wert.
Zeige, dass sie zunimmt. Ableiten
g(t) = 80 * (1 - e^(-0,05 t) ) hat die Ableitung
g'(t) = 80 (-e^(-0,05 t) ) * (-0,05) = 80*0,05*e^(-0,05 t) = 4*e^(-0,05 t)
und das ist immer positiv, weil e^... immer positiv ist.
Wann ist die Änderungsrate = 1mg/min? Dazu muss man gleichsetzen
1 = g'(t)
1 = 4*e^(-0,05 t) | e^(0,05t)
e^(0,05 t) = 4
0,05 t = ln(4) | *20
t = 20*ln(4)
Freitag, 9. März 2018
Donnerstag, 22. Februar 2018
Hausi S 53/3
a) Gemeinsamkeiten aller Schaubilder der Schar
- Asymptote y=0 für x-> - unendlich
- Für x-> + unendlich steigt die Funktion f(x) -> + unendlich
- alle durch (0|0)
- alle unter der x-Achse für x<0, alle über der x-Achse für x>0
- alle einen Tiefpunkt bei x=-1 mit negativem y-Wert
- sieht man nicht gut, aber alle haben einen Wendepunkt bei x=-2
b) Ableiten mit Produktregel und dann x=0 einsetzen
f_a'(x) = e^(a+x) + x * e^(a+x) = (x+1)*e^(a+x)
und damit ist f_a'(0) = e^a
c) Am einfachsten über die Steigung im Ursprung. Die Schaubilder werden von A bis D immer steiler. Das heißt die Kurve A muss zum kleinsten Wert von a=0 gehören, weil e^a dann auch am kleinsten ist,
dann kommt B mit a=0,5
dann C mit a=1
dann D mit a=1,5
Übungsblatt Gleichungen lösen
Hier die Lösungen. Die Reihenfolge stimmt nicht, bitte sucht euch die passenden raus. Umsortieren wäre mir heute zu zeitaufwendig.
Donnerstag, 1. Februar 2018
Übungsblatt vom 19.1., Ableitungen vereinfacht
Fragt gerne bei mir nach, wenn ihr eventuell andere Ausdrücke habt, oder anders vereinfacht habt als ich hier auf dem Blatt. Äquivalentes ist natürlich immer auch richtig.
Sonntag, 21. Januar 2018
Übungsblatt vom 19.1.
Erst einmal noch nicht die Lösungen sondern nur Hilfestellungen
a: Produktregel
b: Produkt, Kettenregel aus e^(2x) wird 2*e^(2x)
c: Produkt, Kettenregel aus e^(-2x) wird -2*e^(-2x)
a: Produktregel
b: Produkt, Kettenregel aus e^(2x) wird 2*e^(2x)
c: Produkt, Kettenregel aus e^(-2x) wird -2*e^(-2x)
d, e: nur Produkt, denkt an sin -> cos
f: Produkt, Kettenregel aus e^(-x) wird -e^(-x)
g: Kettenregel. Denkt an die Ableitung von -x²
h, i: Wie g, nur noch mit Produkt
j: den Bruch könnt ihr aufspalten, (e^x + e^(-x))/2 = 1/2*e^x + 1/2*e^(-x)
k: wie j, nur mit - statt +
l: schreibt den Bruch als Produkt: sin(x)/cos(x) = sin(x) * (1/cos(x)) = sin(x) * (cos(x))^(-1), dann Produkt- und Kettenregel
m: auch hier Nenner mit Hochzahl -1: 1/(....) = (....)^(-1), dann Kettenregel
n: Bruch als Produkt wie in l
o: Volle Kombi aus Produkt- und Kettenregel. Für e^(-x²/2) könnt ihr bei den Aufgaben g,h,i abschauen.
Dann die Nullstellen der Ableitungen. Immer dran denken e^(egal was) wird nie null. Ihr müsst also immer den Teil mit e^(egal was) ausklammern und dann schauen, wo die Klammer null wird.
So, die tatsächlichen Lösungen folgen ab etwa Dienstag. ;-P
Donnerstag, 11. Januar 2018
Abonnieren
Posts (Atom)