Nachtermin 2015 - Teil A 1.1

Habe ich den Leuten am Nachmittag gegeben. Die anderen können es von mir am Montag haben.

Wie immer bei den alten Abis: ohne GTR geht vieles auch, ist aber mühsamer - und insofern eine gute Übung, aber eben vom Niveau etwas anspruchsvoller.

Hier Lösungen von A 1.1
Teil a) Hochpunkt und steilste Stelle, d.h. Wendepunkt. Steigung oder Gefälle ist gerade gleich der Ableitung, nur eben in % ausgedrückt. Also z.B. 5% = 0,05, oder 2,7 = 270%

Für Teil b) könnt ihr die Gleichung aufstellen, aber ihr könnt es ohne den GTR nicht lösen. Dazu braucht man eine "Mitternachtsformel" für x³. Die gibt es, aber die wollt ihr nicht wissen. Ist etwa eine halbe Seite lang. :-P
c) Hier geht es um ein Integral. Hat etwas hässliche Zahlen, geht aber.

Teil d) ist auch ein Integral, das man aber von Hand nicht rechnen kann. Also nix für ohne GTR.

Die Aufgaben A1.2 kommen vielleicht am Sonntag oder am Montag.

Der Teil A2 ist ganz für GTR, den habe ich euch gar nicht erst gegeben.

Übungsaufgaben mit Polstellen, Definitionslücken, Asymptoten

Am besten untersucht ihr die Funktionen aus dem Buch
Seite 125
Aufgaben 3 und 5

Ihr könnt eure Lösung überprüfen mit www.geogebra.org/classic
Gebt einfach links in der Spalte die Funktionen ein f(x) =...., g(x) = ....
Dann erhaltet ihr das Schaubild und könnt vergleichen.
Ihr könnt auch kleine Änderungen einbauen und schauen, wie sich das auf das Schaubild auswirkt.

Nachtermin 2014

Analysis A 2.1
Ist auch für den GTR gemacht. Damit ist es einfacher, ohne geht es aber auch - probiert es, es ist dann aber etwas schwieriger als Abiniveau. Gute Übung auf jeden Fall.

a) Hier geht es um den Hochpunkt
   g'(t) = 3 * ( -e^(-t) + 2 e^(-2t)) =0
   e^t = 2
   t = ln(2)
   Einsetzen in g:
   g( ln(2) ) = 3 *( e^(-ln(2)) - e^(-2 ln(2) ) )
                  = 3*( 1/2 - 1/4 ) = 3/4 < 0,8
   Selbst beim Maximum wird es auch nicht überschritten.

   1/6 * Integral_0^6  (3 * (e^(-t) - e^(-2t) ) dt
    = 1/6 * 3 * [ -e^(-t) + 1/2 * e^(-2t) ]_0^6
    =  1/2 * ( -e^(-6) + 1/2*e^(-12) + 1 - 1/2 )
    = 1/4 - 1/(2 e^6) + 1/(4 e^12 )  = 0,2488

b) Ab t=3 beschreibt die Funktion
    g(t) + g(t-3) = 3 * ( (e^3 + 1)*e^(-t)  -  (e^6 + 1)* e^(-2t) )
    Ableitung davon ist
     3 * (- (e^3 + 1)*e^(-t)  +  2*(e^6 + 1)* e^(-2t) ) = 0
    mit Lösung
   e^t = 2*(e^6+1)/(e^3+1)
   t = ln(2*(e^6+1)/(e^3+1)) = 3,647
   Einsetzen in die Funktion
   gibt 0,8245, was den Grenzwert von 0,8 um etwa 3% übersteigt.

c) Die Funktion g_k muss bei t=1 ihr Maximum einnehmen.
    g_k'(t) = 3 * ( -e^(-kt) + 2 e^(-2kt)) =0
    Welches k ist so, dass das für t=1 erfüllt ist?
   3 * ( -e^(-k) + 2 e^(-2k)) =0
   e^k = 2
   k = ln(2)
   Einsetzen in die Funktion
  3/ln(2) * ( 1/2 - 1/4 ) = 3/(4 ln(2) ) = 1,082


A 2.2
a) Schnitt der Geraden mit dem Parabelstück
    x = x² - 2x
    3x = x²
    x=0 (links unten) und x=3 (rechts oben)
    Die untere Hälfte der Figur hat die Fläche
   Integral_0^3 ( x - (x²-2x) ) =
   Integral_0^3 ( 3x - x² ) =
   [ 3/2 x² - 1/3 x³ ]_0^3 = 27/2 - 9 = 9/2
   und die ganze Figur ist das Doppelte davon: 9.

b) Berührpunkt B, dort wo h(x) die Steigung 1 hat, also
    h'(x) = 1
    2x - 2 = 1
    x = 3/2
    y = h(3/2) = (3/2)² - 2*3/2 = 9/4 - 3 = -0,75
    B(1,5 | -0,75)
    Spiegle dazu den Punkt B an der Spiegelachse
    B'(-0,75 | 1,5 )
    Die Seitenlänge ist der Abstand von B zu B'
    Wurzel( 2,25² + 2,25² ) = 3,18
 

Nachtermin 2013

Nach der Stunde am Dienstag hat mich noch jemand von euch zu dem Termin gefragt. Hier sind Anmerkungen dazu:

2013 A1.1
Die Aufgabe ist auf den GTR zugeschnitten. Den Teil a) könnt ihr machen aber die Zahlen sind zu hässlich. Ich gebe hier den Lösungsweg an.

Ansatz für die Funktion:  f(x) = a x³ + b x² + c x + d  und damit die Ableitungen
f'(x) = 3a x² + 2b x + c und f"(x) = 6a x + 2b
Aus den Angaben durch Punkte und Wendepunkt erhaltet ihr ein LGS

f(0) = 3
f(2) = 2,8
f(4) = 3,4
f"(10/3) = 0

ergibt
                               d = 3
  8 a +   4 b + 2 c + d = 2,8
64 a + 16 b + 4 c + d = 3,4
20 a +   2 b                = 0

Man kann jetzt d=3 in II bis IV einsetzen und kriegt dann
  8 a +   4 b + 2 c = -0,2
64 a + 16 b + 4 c = 0,4
20 a +   2 b          =  0

Im GTR kann man das LGS direkt lösen. Von Hand mit Gauß ist es etwas mühsam und hässlich, aber machbar. Wenn ihr üben wollt, tut euch das an. Die Lösung ist in der Aufgabenstellung gegeben:
a = -0,025 (= -1/40)
b = 0,25    (=  1/4)
c = - 0,5    (= -1/2)

Tiefpunkt
War mit dem GTR ganz einfach, einfach Minimum suchen lassen. Für euch hässlich und mühsam, aber ein gute Übung.
Ableitung gleich null setzen
-0,075 x² + 0,5 x - 0,5  = 0
mit abc-Formel gibt es zwei Lösungen, wobei die mit x ungefähr 1,23 der Tiefpunkt ist, weil dort die zweite Ableitung positiv ist (Linkskurve, bzw. Krümmung nach oben macht Tiefpunkt). Die Andere führt zum Hochpunkt.
x=1,23 einsetzen in f(x) gibt die y-Koordinaten, also  T(1,23|2,72)

Fläche
Muss man Integrieren von 0 bis 7. Konnte der GTR auch direkt mit Integral.
Für uns heißt das jetzt, Stammfunktion und dann F(7)-F(0). Sollte etwa 22,3 rauskommen.

Der Teil b) ist für euch nichts. Rotationskörper kommen nicht mehr dran. Die Frage mit "In welcher Höhe steigt ... am langsamsten" ist einfach: nämlich dort, wo f maximal ist, also beim Hochpunkt.


A 1.2
Umfang des Rechtecks U = 2*Breite + 2*Höhe, also hängt es von a ab:
U(a) = 2 (3 - a) + 2 e^(a/2)
U'(a) = -2 + e^a/2 = 0 (beim Maximum ist U'(a)=0)
e^(a/2) = 2
a = 2 ln(2)

A 2.1 a) geht wirklich nicht ohne GTR.
    2.1 b)  könnte man mit einer Wertetabelle machen.
 Tiefpunkte von g_a(t):
g_a'(t) = (- a  + 0,25 a t) * e^(-0,25 t) = 0
Die Klammer vor dem e-Term muss = 0 sein.
Alle Tiefpunkte bei t = 4.
Dort ist die Konzentration dann
g_a(4) = 9 - 4 a e^(-1) = 9 - 4 a/e
Das ist nur sinnvoll, wenn das Ergebnis nicht = 0 oder gar negativ wird. Es müssen ja immer noch Algen da sein. Naja, null ginge, dann sind die Algen dort ausgestorben, aber dann gibt die Funktion danach keinen Sinn mehr. Also:
9 - 4 a/e = 0
a = 9/4 * e = 2,25 * e.
Es darf also a nicht größer als 2,25 * e werden.

A 2.2
Tangente am Punkt P(u | 2/u) bestimmen
y = f'(u) * (x - u) + f(u)  einsetzen
y = - 2/u² * (x - u) + 2/u vereinfachen
y = -2/u² *x + 4/u
Schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten (0 | 4/u) und (2u | 0)
Fläche des Dreiecks 1/2*Grundseite*Höhe
1/2 * 2u * 4/u = 4   - unabhängig vom Wert von u.