Blatt mit den Optimierungsaufgaben

wenn es jemand nochmal anschauen will, hier als PDF-Datei

Übungen von Klasse 9 für die Mathearbeit

Hier die Lösungen mit kurzen Kommentaren als PDF-Datei

Klausur: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Für die eine Gruppe

und für die andere Gruppe

Klausur: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Tal und Staudamm.
Schaubild Gruppe 1

Die andere Gruppe hat das gleiche, nur an der y-Achse gespiegelt. Hügel rechts, Steilwand links.

Steilste Stelle links im Wendepunkt, das heißt Minimum von f'(x). Bei x=-2 also 200m links vom tiefsten Punkt (andere Gruppe bei x=2)

Dort ist die Steigung = -1,5. Wo ist es rechts genauso Steil. Finde x mit f'(x)=+1,5. Bei x=0,8284 also 83m rechts vom tiefsten Punkt (andere Gruppe bei x=-0,8284)

Oberkante der Staumauer auf Höhe der x-Achse. Abstand zwischen den Nullstellen: 4,58 also 458m.

b) Bestimme die Wendetangente. y=-1,5x - 4,125. Hubschrauber steigt von (-4|0,875) senkrecht auf. Wenn er die Höhe 1,875 erreicht hat (also 100m über dem Hügel), dann kommt er über die Tangente und sieht alles im Tal.


2a) Schaubilder
undin der anderen Gruppe
b) Betrachte im GTR die Ableitungen und schneide mit der waagrechten Geraden y=1. Man findet jeweils zwei Schnittpunkte.
c) Wendepunkte sind die Extrema der ersten Ableitungen. Das sind einmal (0|0) (0,866|1,732) (-0,866|-1,732) und in der anderen Gruppe (0,29|2,25) und (-0,29|2,25).

Aufgabe 2 mit Hilfsmitteln

2
a) Närdlichster Punkt beim Maximum von f(x)
Abstand zu M ist (x²+y²)^0.5, also Pythagoras.

 b) Kurvenwechsel am Wendepunkt, dem Maximum der Ableitung, bei x=-1. Der Wendepunkt ist dann (x|f(x)), d.h.(-1|2,6). Steigung bei x=-3 ist f'(-3)=-0,5 und passt zur Steigung der Geraden durch A und B. Das heißt, da ist kein Knick. Die Ortsdurchfahrt ist sogar eine Tangente an das Schaubild im Punkt A.

c) Wo hat das Schaubild noch einmal die Steigung -0,5? Man kann z.B. mit der Geraden y=-0,5 schneiden. Es ist bei x=+1 im Punkt (1|3.2)

An diesem Punkt hat das Schaubild auch den größten Abstand von der Geraden der Ortsdurchfahrt.Die Normale ist dann y=2*(x-1)+3.2. Sie schneidet die Ortsdurchfahrt in (-0,28|0,64). Den Abstand zu (1|3,2) berechnet man dann mit Pythagoras: (1,28²+2,56²)^0,5=2,86. So viele Km ist man dort weg von der Durchfahrt.

Lösungen zu den Aufgaben mit Hilfsmitteln vom Übungsblatt

1
a) Steilste Wände. Suche Extrema der Ableitung
aus Symmetriegründen ist es auch bei x=+2.61 so.


b) Wenn ein Behälter von -x bis x geht, dann hat er die Breite 2x und auch die Höhe 2x. Man muss also den Punkt finden, wo 2x=f(x), oder den Schnittpunkt aus Schaubild und Gerade y=2x

Bei 2.22, also 4,44m breit.

c) Das ist die 15-Punkte-Teilaufgabe
Lampe bei (0|6), Abstand zum Punkt (x|f(x)) auf dem Schaubild mit Pythagoras
d(x)=(x²+(f(x)-6)²)^0.5
Prüfe, ob das nie kleiner als 1,4 wird.

Man sieht es nicht wirklich in der schlechten Graphik-Auflösung des GTR, aber das Minimum wird berechnet bei x=1,30 m links und rechts von der Mitte des Stollen mit d(x)=1,46m Abstand. Es geht also.

Willkommen im neuen Schuljahr

Lösungen zum Blatt vom Montag 21.10.

1.
Haben wir besprochen. Der wohl einfachste Weg: Umformen zu
2^(2x)=2=2^1 und damit 2x=1 bzw. x=1/2

2.
a)
Schnittpunkte -x²+3=2x auf eine Seite bringen
x²+2x-3=0 mit abc-Formel zwei Lösungen
x=(-2+-(4+12)^0.5)/2 =1 und -3
die beiden x-Werte in g(x) oder in f(x) einsetzen ergibt y-Werte -6 und 2, also sind die Schnittpunkte (-3|-6) und (1|2).
b)
Allgemeine Form y=f'(u)*(x-u)+f(u) der Tangenten im Punkt (u|f(u)) einsetzen in f(x)=-x²+3 bzw. f'(x)=-2x ergibt

y=6(x+3)-6 und y=-2(x-1)+2. Mann kann sie noch ausmultiplizieren und so  in Standardform y=mx+b bringen zu
y=6x+12 und y=-2x+4

3.
a) f' hat bei x=2 ein Maximum. Daher hat f dort eine Wendestelle.
b) Sattel ist Wendepunkt mit waagr. Tangente. f' hat bei x=0 Minimum, also f eine Wendest. Außerdem ist f'(0)=0, also hat das Schaubild von f eine waagr. Tangente, also einen Sattelpunkt.
c) Nein, f'' hat eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + zu -, weil f' dort ein Maximum hat.
d) Ja, denn das Schaubild von f' hat ein Minimum.
e) Linkskurve von f immer dort, wo f' zunimmt. Also von -unendlich bis -2 und von 0 bis 2.

4.
Möchte ich am Donnerstag noch im Unterricht machen. Hier ein paar Hinweise:
a) Finde die Maxima und Minima der Ableitung f'. Achtung, das kann auch am Rand bei -4 und bei 4 sein.
b) Wenn der Würfel die Breite u hat, dann reicht die Bodenfläche von -u/2 zu u/2. Ist dann die Höhe f(u/2) auch gerade gleich u?
c) Der Abstand zwischen einem Punkt (u|v) und (x|f(x)) kann mit Pythagoras berechnet werden, also ((x-u)²+(f(x)-u)²)^0.5 und finde sein Minimum.

5.
a) Maximum von f
b) Wendestelle von f. Knick in A: Überprüfe, ob die Steigung von f in A der Steigung der Geraden entspricht.
c) In welchem Punkt entspricht die Steigung der Kurve derjenigen der Geraden?