Leider bin ich ein paar Mal durcheinander geraten beim LGS, weil ich nicht richtig abgeschrieben hatte, was ich habe, und die Lösung auf dem vorigen Eintrag im Blog passt nicht zu der Aufgabe auf dem Blatt.
Ist aber gar nicht schlecht, dass wir mehrere Varianten haben, denn so habt ihr mehr Beispiele, mit denen ihr üben und die ihr überprüfen könnt.
1. Die Aufgabe, die zu der Lösung im vorigen Blogeintrag passt:
f(-2)=-1, f(0)=0, f(4)=8
also eine Parabel, die durch die Punkte (-2|-1), (0|0) und (4|8) verläuft.
2. Die Lösung zu dem, was auf dem Blatt steht
f(-2) = 0 ergibt 4 a2 - 2 a1 + a0 = 0
f(0) = -1 ergibt a0 = -1
f(4) = 7 ergibt 16 a2 + 4 a1 + a0 = 7
Ich ändere die Reihenfolge der Gleichungen
16 a2 + 4 a1 + a0 = 7 I
4 a2 - 2 a1 + a0 = 0 II
a0 = -1 III
---------------------------------
16 a2 + 4 a1 + a0 = 7 I
12 a1 - 3 a0 = 7 IIa = I-4*II
a0 = -1 III
-------------------------------
Lösungen durch Einsetzen:
a0 = -1
in IIa: 12 a1 - 3*(-1) = 7
12 a1 + 3 = 7 | -3
12 a1 = 4 | :12
a1 = 1/3
in I: 16 a2 + 4*1/3 + (-1) = 7
16 a2 + 1/3 = 7 | -1/3
16 a2 = 20/3 | :16
a2 = 5/12
also ist die Funktion f(x) = 5/12 x² + 1/3 x - 1
3. Das, was ich wahrscheinlich "eigentlich" machen wollte nämlich 3 statt 7 bei f(4).
f(-2) = 0 ergibt 4 a2 - 2 a1 + a0 = 0
f(0) = -1 ergibt a0 = -1
f(4) = 3 ergibt 16 a2 + 4 a1 + a0 = 3
Ich ändere die Reihenfolge der Gleichungen
16 a2 + 4 a1 + a0 = 3 I
4 a2 - 2 a1 + a0 = 0 II
a0 = -1 III
---------------------------------
16 a2 + 4 a1 + a0 = 3 I
12 a1 - 3 a0 = 3 IIa = I-4*II
a0 = -1 III
-------------------------------
Lösungen durch Einsetzen:
a0 = -1
in IIa: 12 a1 - 3*(-1) = 3
12 a1 + 3 = 3 | -3
12 a1 = 0 | :12
a1 = 0
in I: 16 a2 + 4*0 + (-1) = 7
16 a2 -1 = 7 | +1
16 a2 = 8 | :16
a2 = 1/2
also ist die Funktion f(x) = 1/2 x² - 1
Mittwoch, 13. Juni 2018
Donnerstag, 7. Juni 2018
Blatt vom 8.6.2018
Aufgabe 1
a) Produktregel mit Kette in einem Teil
2 x e^(-0,5 x²) + x² e^(-0,5 x²) *(-x) = ( 2x - x^3) * e^(-0,5 x²)
b) Summenregel mit Kette in einem Teil
2 x + 2 pi cos(2 pi x)
c) Kettenregel
-(1+e^x)^(-2) * e^x = - e^x/(1 + e^x)²
Aufgabe 2
a) Finde erst die Schnittpunkte der Schaubilder. Funktionsterme gleichsetzen
1/4 x³ - x + 1 = - 1/8 x³ + 1/2 x + 1
umformen zu
3/8 x³ - 3/2 x = 0
ausklammern
3 x (1/8 x² - 1/2 ) = 0
Lösungen x=0 und x=2 und x=-2
Dann müsst ihr f(x)-g(x)= 3/8 x³ - 3/2 integrieren, einmal von -2 bis 0 und dann von 0 bis 2. Von beiden Integralen müsst ihr den Betrag nehmen, also positiv, und dann addieren. Hinweis: eins wird negativ sein, eins positiv, aber beide mit gleichem Betrag.
b)
Integral x^-3 von 1 bis unendlich.
[- 1/2 x^-2]_1^unendlich = 0 - (-1/2) = 1/2
Stammfunktion von 2^-x = e^(-ln(2) x) ist -1/ln(2) * e^(-ln(2) x) = -1/ln(2) * 2^-x
also ist das Integral
[ -1/ln(2) 2^-x]_0^unendlich = 0 - (-1/ln(2)) = 1/ln(2)
Aufgabe 3
a) Ganz einfach: abc-Formel gibt die Lösungen 1 und 5.
b) Jetzt substituieren z = Wurzel(x), Lösungen für z wie in a).
Wurzel(x) = 1 --> x=1²=1
Wurzel(x) = 5 --> x=5²=25
c) Jetzt substituieren z=5^x, Lösungen für z wie in a) und b)
5^x = 1 --> x=0
5^x = 5 --> x=1
Aufgabe 4
LGS aufstellen
f(-2)=-1 ergibt 4 a2 - 2 a1 + a0 = -1
f(0)=0 ergibt a0 = 0
f(4)=8 ergibt 16 a2 + 4 a1 + a0 = 8
Zeilen umordnen
16 a2 + 4 a1 + a0 = 8 I
4 a2 - 2 a1 + a0 = -1 II
a0 = 0 III
-----------------------------
16 a2 + 4 a1 + a0 = 8 I
12 a1 = 12 I -4II
a0 = 0 III
----------------------------
ergibt die Lösung (a2 = 1/4; a1=1; a0 = 0)
und damit
f(x) = 1/4 x² + x
Aufgabe 5 ist bei den Musteraufgaben für Abi 19 dabei. Google findet es. Ich schreib demnächst nochwas dazu.
1. Da gibt es viele Möglichkeiten. Am einfachsten finde ich:
g ist immer positiv, weil x²>=0 und e^-x>0. Das passt zu C.
f wechselt das Vorzeichen bei x=0. Das passt zu K.
2. x=1 ist eine vertikale Gerade, parallel zur y-Achse bei x=1.
Die Punkte findet man anhand der Funktionswerte bei x=1.
f(1)=8*1*e^-1=8/e
g(1)=4*1²*e^-1=4/e
Fläche eines Dreiecks: 1/2*Grundseite*Höhe. Am einfachsten nimmt man die vertikale Seite rechts bei x=1 als Grundseite. Die Höhe ist dann eine waagrechte Linie der Länge 1.
Also A=1/2*(8/e-4/e)*1=1/2*4/e=2/e
3. Ableitung.
g'(x)=4*2x*e^-x+4*x²*e^-x*(-1) = 4*x*(2-x)*e^-x
g'(x)=0, wenn (2-x)=0, also bei x=2.
Der Funktionswert ist an dieser Stelle g(2)=4*2²*e^-2=16/e², wie wir in 2. ausgerechnet haben.
Also ist der Hochpunkt H(2|16/e²).
(Auf den vollen Beweis mit g"(1)<0 würde ich verzichten, weil aus der Zeichnung klar ist, dass es kein Sattelpunkt ist).
Wenn jetzt a>16/e², gibt es nur einen Schnittpunkt, nämlich am linken Ast bei x<0.
Wenn a=16/e², gibt es zwei Schnittpunkte, nämlich am linken Ast bei x<0 und H.Wenn 0<a<16/e², gibt es drei Schnittpunkte, nämlich am linken Ast bei x<0, einen links unterhalb von H und einen rechts unterhalb von H.
Wenn a=0, gibt es wieder nur einen, nämlich den Tiefpunkt (0|0)
Wenn 0<a, gibt es keinen Schnittpunkt, weil g nicht negativ wird.
4. Sieht furchtbar mathematisch kompliziert aus, ist aber recht einfach. Ist was für Mathevertieferinnen.
Erst muss man die beiden Schnittstellen berechnen
8 x e^-x = 4 x² e^-x | *e^x
8 x = 4 x² | :4
2 x = x² | -2x
0 = x² - 2x | x ausklammern
0 = x * (x-2)
Das sind also x=0 und x=2
Dann muss ich integrieren
Integral_0^2 (f(x)-g(x))*dx = [F(x) - G(x)]_0^2 = ....
jetzt sagen die uns, dass wir diese (uns noch unbekannte) Differenz aus zwei Stammfunktionen durch g(x) ersetzen dürfen (das ist das für die Vertieferinnen).
... = [g(x)]_0^2 =g(2) - g(0) = 4*2²*e^-2 - 4*0²*e^-0 = 16/e² - 0 = 16/e²
a) Produktregel mit Kette in einem Teil
2 x e^(-0,5 x²) + x² e^(-0,5 x²) *(-x) = ( 2x - x^3) * e^(-0,5 x²)
b) Summenregel mit Kette in einem Teil
2 x + 2 pi cos(2 pi x)
c) Kettenregel
-(1+e^x)^(-2) * e^x = - e^x/(1 + e^x)²
Aufgabe 2
a) Finde erst die Schnittpunkte der Schaubilder. Funktionsterme gleichsetzen
1/4 x³ - x + 1 = - 1/8 x³ + 1/2 x + 1
umformen zu
3/8 x³ - 3/2 x = 0
ausklammern
3 x (1/8 x² - 1/2 ) = 0
Lösungen x=0 und x=2 und x=-2
Dann müsst ihr f(x)-g(x)= 3/8 x³ - 3/2 integrieren, einmal von -2 bis 0 und dann von 0 bis 2. Von beiden Integralen müsst ihr den Betrag nehmen, also positiv, und dann addieren. Hinweis: eins wird negativ sein, eins positiv, aber beide mit gleichem Betrag.
b)
Integral x^-3 von 1 bis unendlich.
[- 1/2 x^-2]_1^unendlich = 0 - (-1/2) = 1/2
Stammfunktion von 2^-x = e^(-ln(2) x) ist -1/ln(2) * e^(-ln(2) x) = -1/ln(2) * 2^-x
also ist das Integral
[ -1/ln(2) 2^-x]_0^unendlich = 0 - (-1/ln(2)) = 1/ln(2)
Aufgabe 3
a) Ganz einfach: abc-Formel gibt die Lösungen 1 und 5.
b) Jetzt substituieren z = Wurzel(x), Lösungen für z wie in a).
Wurzel(x) = 1 --> x=1²=1
Wurzel(x) = 5 --> x=5²=25
c) Jetzt substituieren z=5^x, Lösungen für z wie in a) und b)
5^x = 1 --> x=0
5^x = 5 --> x=1
Aufgabe 4
LGS aufstellen
f(-2)=-1 ergibt 4 a2 - 2 a1 + a0 = -1
f(0)=0 ergibt a0 = 0
f(4)=8 ergibt 16 a2 + 4 a1 + a0 = 8
Zeilen umordnen
16 a2 + 4 a1 + a0 = 8 I
4 a2 - 2 a1 + a0 = -1 II
a0 = 0 III
-----------------------------
16 a2 + 4 a1 + a0 = 8 I
12 a1 = 12 I -4II
a0 = 0 III
----------------------------
ergibt die Lösung (a2 = 1/4; a1=1; a0 = 0)
und damit
f(x) = 1/4 x² + x
Aufgabe 5 ist bei den Musteraufgaben für Abi 19 dabei. Google findet es. Ich schreib demnächst nochwas dazu.
1. Da gibt es viele Möglichkeiten. Am einfachsten finde ich:
g ist immer positiv, weil x²>=0 und e^-x>0. Das passt zu C.
f wechselt das Vorzeichen bei x=0. Das passt zu K.
2. x=1 ist eine vertikale Gerade, parallel zur y-Achse bei x=1.
Die Punkte findet man anhand der Funktionswerte bei x=1.
f(1)=8*1*e^-1=8/e
g(1)=4*1²*e^-1=4/e
Fläche eines Dreiecks: 1/2*Grundseite*Höhe. Am einfachsten nimmt man die vertikale Seite rechts bei x=1 als Grundseite. Die Höhe ist dann eine waagrechte Linie der Länge 1.
Also A=1/2*(8/e-4/e)*1=1/2*4/e=2/e
3. Ableitung.
g'(x)=4*2x*e^-x+4*x²*e^-x*(-1) = 4*x*(2-x)*e^-x
g'(x)=0, wenn (2-x)=0, also bei x=2.
Der Funktionswert ist an dieser Stelle g(2)=4*2²*e^-2=16/e², wie wir in 2. ausgerechnet haben.
Also ist der Hochpunkt H(2|16/e²).
(Auf den vollen Beweis mit g"(1)<0 würde ich verzichten, weil aus der Zeichnung klar ist, dass es kein Sattelpunkt ist).
Wenn jetzt a>16/e², gibt es nur einen Schnittpunkt, nämlich am linken Ast bei x<0.
Wenn a=16/e², gibt es zwei Schnittpunkte, nämlich am linken Ast bei x<0 und H.Wenn 0<a<16/e², gibt es drei Schnittpunkte, nämlich am linken Ast bei x<0, einen links unterhalb von H und einen rechts unterhalb von H.
Wenn a=0, gibt es wieder nur einen, nämlich den Tiefpunkt (0|0)
Wenn 0<a, gibt es keinen Schnittpunkt, weil g nicht negativ wird.
4. Sieht furchtbar mathematisch kompliziert aus, ist aber recht einfach. Ist was für Mathevertieferinnen.
Erst muss man die beiden Schnittstellen berechnen
8 x e^-x = 4 x² e^-x | *e^x
8 x = 4 x² | :4
2 x = x² | -2x
0 = x² - 2x | x ausklammern
0 = x * (x-2)
Das sind also x=0 und x=2
Dann muss ich integrieren
Integral_0^2 (f(x)-g(x))*dx = [F(x) - G(x)]_0^2 = ....
jetzt sagen die uns, dass wir diese (uns noch unbekannte) Differenz aus zwei Stammfunktionen durch g(x) ersetzen dürfen (das ist das für die Vertieferinnen).
... = [g(x)]_0^2 =g(2) - g(0) = 4*2²*e^-2 - 4*0²*e^-0 = 16/e² - 0 = 16/e²
Dienstag, 5. Juni 2018
Bisher vergessen - Blatt vom 9.5., Mittwoch vor Himmelfahrt
1a) cos(x)*cos(x) + sin(x)*(-sin(x)) = cos(x)² - sin(x)²
b) 1*sin(pi x) + x *cos(pi x) * pi = sin(pi x) + pi x cos(pi x)
c) 1* e^(-x) + x*e(-x)*(-1) = (1-x)*e^(-x)
2a)
Substituieren z=e^x ergibt
z² - (1+e) z + e = 0 und dann abc-Mitternachts-Formel
z = ((1+e) +- Wurzel((1+e)² + 4e))/2 = ((1+e) +- (1-e))/2
gibt also als Lösung für die z
erstens: z=1 und damit e^x=1 also x=0 und
zweitens: z=e und damit e^x=e also x=1
b)
Das "im Intervall ..." ist unnötig, habe ich vergessen rauszulöschen, weil es im ersten Blatt drinnen war. Sorry. Stört aber auch nicht.
Nullproduktsatz: e^x+1=0 hat keine Lösung, weil e^x>0 immer positiv
e^x-1=0 hat e^x=1 und damit x=0 als Lösung
3a)
[ln(x)]_1/e^e = ln(e) - ln(1/e) = 1 - (-1) = 2
b)
Dazu muss man zeigen, dass die Ableitung von tan(x) gleich 1/cos(x)² ist.
Erst ein bisschen umformen
tan(x) = sin(x)/cos(x) = sin(x) * cos(x)^-1
und dann mit Produkt- und Kettenregel ableiten
cos(x) * cos(x)^-1 + sin(x) * (-cos(x)^-2) * (-sin(x))
und umformen
= 1 + sin(x)² / cos(x)² (auf Hauptnenner bringen)
= (cos(x)² + sin(x)²) / cos(x)²
= 1/cos(x)² denn cos(x)²+sin(x)²=1
Man hätte auch nach dem ersten Umformen direkt 1+tan(x)² draus machen können
4
Das ist eine Abiaufgabe. Vielleicht habt ihr sie auch schon mit einer Suchmaschine gefunden.
u Berechnen:
c*sin(c u) = 0
Weil sin(pi) = 0, ist die benachbarte Nullstelle gegeben durch
c*u = pi und daher
u = pi/c
Flächenstück berechnen
Integral über c*sin(c x) von 0 bis pi/c
[c*1/c*(-cos(c x))]_0^pi/c
= [-cos(c x)]_0^pi/c
= -cos(c pi/c) - (-cos(0))
= - cos(pi) + cos(0)
= - (-1) + 1 = 2
b) 1*sin(pi x) + x *cos(pi x) * pi = sin(pi x) + pi x cos(pi x)
c) 1* e^(-x) + x*e(-x)*(-1) = (1-x)*e^(-x)
2a)
Substituieren z=e^x ergibt
z² - (1+e) z + e = 0 und dann abc-Mitternachts-Formel
z = ((1+e) +- Wurzel((1+e)² + 4e))/2 = ((1+e) +- (1-e))/2
gibt also als Lösung für die z
erstens: z=1 und damit e^x=1 also x=0 und
zweitens: z=e und damit e^x=e also x=1
b)
Das "im Intervall ..." ist unnötig, habe ich vergessen rauszulöschen, weil es im ersten Blatt drinnen war. Sorry. Stört aber auch nicht.
Nullproduktsatz: e^x+1=0 hat keine Lösung, weil e^x>0 immer positiv
e^x-1=0 hat e^x=1 und damit x=0 als Lösung
3a)
[ln(x)]_1/e^e = ln(e) - ln(1/e) = 1 - (-1) = 2
b)
Dazu muss man zeigen, dass die Ableitung von tan(x) gleich 1/cos(x)² ist.
Erst ein bisschen umformen
tan(x) = sin(x)/cos(x) = sin(x) * cos(x)^-1
und dann mit Produkt- und Kettenregel ableiten
cos(x) * cos(x)^-1 + sin(x) * (-cos(x)^-2) * (-sin(x))
und umformen
= 1 + sin(x)² / cos(x)² (auf Hauptnenner bringen)
= (cos(x)² + sin(x)²) / cos(x)²
= 1/cos(x)² denn cos(x)²+sin(x)²=1
Man hätte auch nach dem ersten Umformen direkt 1+tan(x)² draus machen können
4
Das ist eine Abiaufgabe. Vielleicht habt ihr sie auch schon mit einer Suchmaschine gefunden.
u Berechnen:
c*sin(c u) = 0
Weil sin(pi) = 0, ist die benachbarte Nullstelle gegeben durch
c*u = pi und daher
u = pi/c
Flächenstück berechnen
Integral über c*sin(c x) von 0 bis pi/c
[c*1/c*(-cos(c x))]_0^pi/c
= [-cos(c x)]_0^pi/c
= -cos(c pi/c) - (-cos(0))
= - cos(pi) + cos(0)
= - (-1) + 1 = 2
Freitag, 4. Mai 2018
Blatt vom 4.5.18 - Hinweise und jetzt auch mit Lösungen
Aufgabe 1
a) Produktregel, wobei der Teil mit e-Funktion auch noch Kettenregel braucht
2x*e^(-x²) + (x²+1)*(-2x) e^(-x²) = x² e^(-x²)
b) Produktregel, der cos braucht auch noch etwas Kettenregel
2 cos(pi x) - (2x+1) pi sin(pi x)
c) sin(x)/cos(x) = sin(x) * 1/cos(x) = sin(x) * (cos(x))^-1
also wieder ein Produkt, mit einer Kette im zweiten Teil
cos(x)*1/cos(x) + sin(x)*(-1)*(cos(x))^-2*(-sin(x))=
1 + (sin(x))²/(cos(x))²
man kann das auch noch umformen zu
(cos(x)²+sin(x)²)/cos(x)² = 1/cos(x)²
Aufgabe 2
a) x so oft ausklammern bis eine Zahl ohne x übrigbleibt
x²*(x²-7x-8)=0 hat als Lösungen erst mal x=0 und dann in der Klammer x=8 und x=-1
b) Nullproduktsatz, also jede Klammer für sich gleich null setzen. Da hatte ich auf dem Blatt vergessen "=0" zu schreiben.
Dran denken: sin(pi/2)=1, sin(pi)=0, sin(3/2*pi)=-1, sin(0)=sin(2pi)=0
zweite Klammer x=1
erste Klammer sin(pi x)=1, also pi x= pi/2, also x=1/2
Aufgabe 3
a) ganz elementar, sag ich erst mal nix
[-cos(x)] von 0 bis pi, also -cos(pi)-(-cos(0))=-(-1)-(-1)=2
b) F(x) und F(x)+c mit beliebiger Kontante c sind beide Stammfunktionen zu f(x)=F'(x)
F(x)=1/2 x² + ln(x) + c
es soll sein F(1) = 1/2 + 0 + c = 0, also muss c=-1/2
a) Produktregel, wobei der Teil mit e-Funktion auch noch Kettenregel braucht
2x*e^(-x²) + (x²+1)*(-2x) e^(-x²) = x² e^(-x²)
b) Produktregel, der cos braucht auch noch etwas Kettenregel
2 cos(pi x) - (2x+1) pi sin(pi x)
c) sin(x)/cos(x) = sin(x) * 1/cos(x) = sin(x) * (cos(x))^-1
also wieder ein Produkt, mit einer Kette im zweiten Teil
cos(x)*1/cos(x) + sin(x)*(-1)*(cos(x))^-2*(-sin(x))=
1 + (sin(x))²/(cos(x))²
man kann das auch noch umformen zu
(cos(x)²+sin(x)²)/cos(x)² = 1/cos(x)²
Aufgabe 2
a) x so oft ausklammern bis eine Zahl ohne x übrigbleibt
x²*(x²-7x-8)=0 hat als Lösungen erst mal x=0 und dann in der Klammer x=8 und x=-1
b) Nullproduktsatz, also jede Klammer für sich gleich null setzen. Da hatte ich auf dem Blatt vergessen "=0" zu schreiben.
Dran denken: sin(pi/2)=1, sin(pi)=0, sin(3/2*pi)=-1, sin(0)=sin(2pi)=0
zweite Klammer x=1
erste Klammer sin(pi x)=1, also pi x= pi/2, also x=1/2
Aufgabe 3
a) ganz elementar, sag ich erst mal nix
[-cos(x)] von 0 bis pi, also -cos(pi)-(-cos(0))=-(-1)-(-1)=2
b) F(x) und F(x)+c mit beliebiger Kontante c sind beide Stammfunktionen zu f(x)=F'(x)
F(x)=1/2 x² + ln(x) + c
es soll sein F(1) = 1/2 + 0 + c = 0, also muss c=-1/2
Montag, 16. April 2018
Aufgaben vom 11.4.
Aufgabe 1
Die sind alle vom Typ der linearen Substitution, oder "Kettenregel rückwärts", wie ich es genannt habe. Also zu einer Funktion f(x) ist F(x) die Stammfunktion, dann ist zu f(ax+b) die Stammfunktion 1/a * F(ax+b). Damit ergibt sich
a) 1/2 * 2 sin(2x) = sin(2x)
b) 1/3 * 2 e^(3x) = 2/3 * e^(3x)
c) 1/2 * 2 * ln|2x+3| = ln|2x+3|
d) 1/1 * 1/(-1) * (x+1)^(-1) = - 1/(x+1)
Aufgabe 2
a) Dazu braucht man die beiden Nullstellen des cos. Ich habe die links und rechts von der 0 gemeint, aber das vergessen, deutlich zu sagen. Die sind bei pi/2 und -pi/2. Dann rechnet man
Integral_(-pi/2)^(pi/2) cos(x) dx = [sin(x)]_(-pi/2)^(pi/2)
= sin(pi/2) - sin(-pi/2) = 1 - (-1) = 2
(mit der komischen Schreibweise _ und ^ meine ich unten und oben, wo
man die Grenzen beim Integral und der eckigen Klammer der Stammfunktion hinschreibt.)
b) Finde a so, dass es auch die gleichen Nullstellen hat
1 - a (pi/2)² = 0
a (pi/2)² = 1
a = (2/pi)²
c) Wieder ein Integral
Integral_(-pi/2)^(pi/2) ( 1 - (2/pi²) x²) dx =
[ x - 4/(3 pi²) x³ ]_(-pi/2)^(pi/2) =
[pi/2 - 4/(3 pi²) (pi/2)³] - [-pi/2 + 4/(3 pi²) (pi/2)³] =
pi - 1/3 pi = 2/3 pi
was ein kleines bisschen mehr ist als 2, nämlich um den Faktor pi/3, also etwa 5% mehr.
Aufgabe 3
a) Da muss man im wesentlich gut aus dem Schaubild ablesen.
f(8) = 43 lese ich ab, also 43mg
f'(8) = -6 kann man aus einer Tangenten am Punkt (8|43) ablesen,
also nimmt die Wirkstoffmenge ab um 6mg/h. Wenn es also unverändert weiter so abnähme, würde in jeder Stunde 6mg abgebaut oder ausgeschieden. Tatsächlich flacht die Kurve aber ab, und die momentane Änderungsrate sinkt schwächer, je mehr Zeit vergeht.
Wo ist das Schaubild über 35? von etwa t=1,2 bis t=9,6, also von etwa 1h12min bis 9h36min.
b) "Langfristig", da geht es um die Asymptote
g(t) = 80 * (1 - e^(-0,05 t) ) für t-> +unendlich
Da geht der Ausdruck mit e^... gegen null, und es bleibt 80*1, also 80mg als asymptotischer Wert.
Zeige, dass sie zunimmt. Ableiten
g(t) = 80 * (1 - e^(-0,05 t) ) hat die Ableitung
g'(t) = 80 (-e^(-0,05 t) ) * (-0,05) = 80*0,05*e^(-0,05 t) = 4*e^(-0,05 t)
und das ist immer positiv, weil e^... immer positiv ist.
Wann ist die Änderungsrate = 1mg/min? Dazu muss man gleichsetzen
1 = g'(t)
1 = 4*e^(-0,05 t) | e^(0,05t)
e^(0,05 t) = 4
0,05 t = ln(4) | *20
t = 20*ln(4)
Die sind alle vom Typ der linearen Substitution, oder "Kettenregel rückwärts", wie ich es genannt habe. Also zu einer Funktion f(x) ist F(x) die Stammfunktion, dann ist zu f(ax+b) die Stammfunktion 1/a * F(ax+b). Damit ergibt sich
a) 1/2 * 2 sin(2x) = sin(2x)
b) 1/3 * 2 e^(3x) = 2/3 * e^(3x)
c) 1/2 * 2 * ln|2x+3| = ln|2x+3|
d) 1/1 * 1/(-1) * (x+1)^(-1) = - 1/(x+1)
Aufgabe 2
a) Dazu braucht man die beiden Nullstellen des cos. Ich habe die links und rechts von der 0 gemeint, aber das vergessen, deutlich zu sagen. Die sind bei pi/2 und -pi/2. Dann rechnet man
Integral_(-pi/2)^(pi/2) cos(x) dx = [sin(x)]_(-pi/2)^(pi/2)
= sin(pi/2) - sin(-pi/2) = 1 - (-1) = 2
(mit der komischen Schreibweise _ und ^ meine ich unten und oben, wo
man die Grenzen beim Integral und der eckigen Klammer der Stammfunktion hinschreibt.)
b) Finde a so, dass es auch die gleichen Nullstellen hat
1 - a (pi/2)² = 0
a (pi/2)² = 1
a = (2/pi)²
c) Wieder ein Integral
Integral_(-pi/2)^(pi/2) ( 1 - (2/pi²) x²) dx =
[ x - 4/(3 pi²) x³ ]_(-pi/2)^(pi/2) =
[pi/2 - 4/(3 pi²) (pi/2)³] - [-pi/2 + 4/(3 pi²) (pi/2)³] =
pi - 1/3 pi = 2/3 pi
was ein kleines bisschen mehr ist als 2, nämlich um den Faktor pi/3, also etwa 5% mehr.
Aufgabe 3
a) Da muss man im wesentlich gut aus dem Schaubild ablesen.
f(8) = 43 lese ich ab, also 43mg
f'(8) = -6 kann man aus einer Tangenten am Punkt (8|43) ablesen,
also nimmt die Wirkstoffmenge ab um 6mg/h. Wenn es also unverändert weiter so abnähme, würde in jeder Stunde 6mg abgebaut oder ausgeschieden. Tatsächlich flacht die Kurve aber ab, und die momentane Änderungsrate sinkt schwächer, je mehr Zeit vergeht.
Wo ist das Schaubild über 35? von etwa t=1,2 bis t=9,6, also von etwa 1h12min bis 9h36min.
b) "Langfristig", da geht es um die Asymptote
g(t) = 80 * (1 - e^(-0,05 t) ) für t-> +unendlich
Da geht der Ausdruck mit e^... gegen null, und es bleibt 80*1, also 80mg als asymptotischer Wert.
Zeige, dass sie zunimmt. Ableiten
g(t) = 80 * (1 - e^(-0,05 t) ) hat die Ableitung
g'(t) = 80 (-e^(-0,05 t) ) * (-0,05) = 80*0,05*e^(-0,05 t) = 4*e^(-0,05 t)
und das ist immer positiv, weil e^... immer positiv ist.
Wann ist die Änderungsrate = 1mg/min? Dazu muss man gleichsetzen
1 = g'(t)
1 = 4*e^(-0,05 t) | e^(0,05t)
e^(0,05 t) = 4
0,05 t = ln(4) | *20
t = 20*ln(4)
Freitag, 9. März 2018
Donnerstag, 22. Februar 2018
Hausi S 53/3
a) Gemeinsamkeiten aller Schaubilder der Schar
- Asymptote y=0 für x-> - unendlich
- Für x-> + unendlich steigt die Funktion f(x) -> + unendlich
- alle durch (0|0)
- alle unter der x-Achse für x<0, alle über der x-Achse für x>0
- alle einen Tiefpunkt bei x=-1 mit negativem y-Wert
- sieht man nicht gut, aber alle haben einen Wendepunkt bei x=-2
b) Ableiten mit Produktregel und dann x=0 einsetzen
f_a'(x) = e^(a+x) + x * e^(a+x) = (x+1)*e^(a+x)
und damit ist f_a'(0) = e^a
c) Am einfachsten über die Steigung im Ursprung. Die Schaubilder werden von A bis D immer steiler. Das heißt die Kurve A muss zum kleinsten Wert von a=0 gehören, weil e^a dann auch am kleinsten ist,
dann kommt B mit a=0,5
dann C mit a=1
dann D mit a=1,5
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