Dienstag, 12. Juni 2012
Eine Frage ...
Von einem Kursmitglied möchte ich Euch nicht vorenthalten.
> ich hätte da noch eine Frage zur Klausur. Kommen Differenzialgleichungen
> also nicht dran?
Doch, ein wenig, aber nur für das exponentielle Wachstum mit f'(x)=k f(x) oder den exponentiellen Zerfall mit f'(x)=-k f(x). Siehe Blatt im Blog.
Beispiele für Wachstum wären Bakterien, oder Ausbreitung einer Krankheit, oder Inflation, oder ...
Beispiele für Zerfall wäre Radioaktivität, oder Temperaturabnahme (die Differenz zur Umgebungstemperatur), oder ..
M.
Montag, 11. Juni 2012
Übungsklausur
Hier wie heute besprochen ein Übungsblatt im Stil der Klausur am Mittwoch.
Die Mischungsaufgabe hier ist definitiv schwieriger als in der echten Klausur. Da wollte ich eher sowas wie die Preise von Weinkartons oder Garben guter, mittlerer und schlechter Ernte dranbringen.
Die Virenaufgabe habe ich mir selbst ausgedacht und kann nicht garantieren, dass die Lösung biologisch oder medizinisch sinnvoll ist.
Die LGS und die Kurve in 1 und 2 sind Standard. Ich habe sie allerdings nicht auf "nette" Zahlen überprüft. Kann also sein, dass blöde Brüche und krumme Zahlen rauskommen. Nehmt notfalls den GTR. Am Mittwoch kommt eine Aufgabe mit glatten Zahlen.
Morgen poste ich noch Lösungshinweise und fertige Lösungen getrennt voneinander.
Die Mischungsaufgabe hier ist definitiv schwieriger als in der echten Klausur. Da wollte ich eher sowas wie die Preise von Weinkartons oder Garben guter, mittlerer und schlechter Ernte dranbringen.
Die Virenaufgabe habe ich mir selbst ausgedacht und kann nicht garantieren, dass die Lösung biologisch oder medizinisch sinnvoll ist.
Die LGS und die Kurve in 1 und 2 sind Standard. Ich habe sie allerdings nicht auf "nette" Zahlen überprüft. Kann also sein, dass blöde Brüche und krumme Zahlen rauskommen. Nehmt notfalls den GTR. Am Mittwoch kommt eine Aufgabe mit glatten Zahlen.
Morgen poste ich noch Lösungshinweise und fertige Lösungen getrennt voneinander.
Samstag, 9. Juni 2012
Übungsblätter 3
Blatt zum Wachstum
1a) 10*e^(0,5x) b)3*e^x c) 3*e^(-0.3x)
2a) f'(x) = 0,4 f(x) b) f'(x) = -0,25 f(x) c) f'(x) = 0,1 f(x)
3a) f(x) = 20 - 15 e^(-0,3 x)
b) f(x) = 20 + 40 e^(-0,3 x)
c) f(x) = 20 - 20 e^(-0,3 x)
4a) f'(x)=-0,12 (200-f(x))
b) f'(x) = -0,5 (50 - f(x))
c) f'(x) = -0,25 (1000 - f(x))
5 a3 b1 c2
6a) f'(x)=k f(x) mit k=ln 0,9176
b) exponentielles negatives Wachstum bzw. exponentielle Abnahme
c) f(x) = 10*e^(k x) mit k wie oben
d) f'(0)=10*k
7a) f'(x)= 3 - 0,02*f(x) (genauer wäre ln 0,98 statt -0,02)
b) f'(x)=0,02*(150-f(x)) beschränktes Wachstum
c) f(x)=150 - 130*e^(-0,02 x)
d) 150
e) bei 20l f'(x)=0,02*(150-20) l/h = 2,6 l/h
bei 100l = 0,02*(150-100) l/h = 1 l/h
f) f(x)= 150 + 50*e^(-0,02 x)
bei 200l -1 l/h und bei 170l -0,4 l/h
8 Modellierung a ist exakt (siehe auch Aufgaben 6 und 7)
Die Kultur hat anfangs 5000 Bakterien und vermehrt sich in jeder Stunde um den Faktor e^0,5.
1a) 10*e^(0,5x) b)3*e^x c) 3*e^(-0.3x)
2a) f'(x) = 0,4 f(x) b) f'(x) = -0,25 f(x) c) f'(x) = 0,1 f(x)
3a) f(x) = 20 - 15 e^(-0,3 x)
b) f(x) = 20 + 40 e^(-0,3 x)
c) f(x) = 20 - 20 e^(-0,3 x)
4a) f'(x)=-0,12 (200-f(x))
b) f'(x) = -0,5 (50 - f(x))
c) f'(x) = -0,25 (1000 - f(x))
5 a3 b1 c2
6a) f'(x)=k f(x) mit k=ln 0,9176
b) exponentielles negatives Wachstum bzw. exponentielle Abnahme
c) f(x) = 10*e^(k x) mit k wie oben
d) f'(0)=10*k
7a) f'(x)= 3 - 0,02*f(x) (genauer wäre ln 0,98 statt -0,02)
b) f'(x)=0,02*(150-f(x)) beschränktes Wachstum
c) f(x)=150 - 130*e^(-0,02 x)
d) 150
e) bei 20l f'(x)=0,02*(150-20) l/h = 2,6 l/h
bei 100l = 0,02*(150-100) l/h = 1 l/h
f) f(x)= 150 + 50*e^(-0,02 x)
bei 200l -1 l/h und bei 170l -0,4 l/h
8 Modellierung a ist exakt (siehe auch Aufgaben 6 und 7)
Die Kultur hat anfangs 5000 Bakterien und vermehrt sich in jeder Stunde um den Faktor e^0,5.
Übungsblätter 2
Die S19 "Lösen von Anwendungsproblemen"
17: Preise von Weinflaschen
x1 = 6€; x2 = 8€; x3 = 11€
18:Kupferlegierungen
a) x1=1/6; x2=1/6; x3=2/3
b) es gibt keine sinnvolle Lösung. Aus dem LGS erhält man x1=5/6; x2=-1/6; x3=1/3. Man kann nicht -1/6 von Legierung 2 nehmen.
19: Merkmale vererben. Ist etwas anders als das, was wir bisher gemacht haben. Wers raushat: Bravo. Hier die Lösungen. Im Aufgabentext ist außerdem ein Druckfehler: Fliegen B haben mit Wahrscheinlichkeit 0,4=40% Nachkommen vom Typ A, NICHT mit 4%. Das LGS ist
0,7 a + 0,4 b + 0,4 c = a
0,1 a + 0,5 b + 0,2 c = b
0,2 a + 0,1 b + 0,4 c = c
bzw.
-0,3 a + 0,4 b + 0,4 c = 0
0,1 a - 0,5 b + 0,2 c = 0
0,2 a + 0,1 b - 0,6 c = 0
und die Lösung wird zunächst
c=t beliebig; b=10/11 t; a = 28/11 t
Jetzt muss man t so wählen, dass a+b+c=100%=1, also t=11/49, und man erhält
a=28/49=4/7; b=10/49; c=11/49
17: Preise von Weinflaschen
x1 = 6€; x2 = 8€; x3 = 11€
18:Kupferlegierungen
a) x1=1/6; x2=1/6; x3=2/3
b) es gibt keine sinnvolle Lösung. Aus dem LGS erhält man x1=5/6; x2=-1/6; x3=1/3. Man kann nicht -1/6 von Legierung 2 nehmen.
19: Merkmale vererben. Ist etwas anders als das, was wir bisher gemacht haben. Wers raushat: Bravo. Hier die Lösungen. Im Aufgabentext ist außerdem ein Druckfehler: Fliegen B haben mit Wahrscheinlichkeit 0,4=40% Nachkommen vom Typ A, NICHT mit 4%. Das LGS ist
0,7 a + 0,4 b + 0,4 c = a
0,1 a + 0,5 b + 0,2 c = b
0,2 a + 0,1 b + 0,4 c = c
bzw.
-0,3 a + 0,4 b + 0,4 c = 0
0,1 a - 0,5 b + 0,2 c = 0
0,2 a + 0,1 b - 0,6 c = 0
und die Lösung wird zunächst
c=t beliebig; b=10/11 t; a = 28/11 t
Jetzt muss man t so wählen, dass a+b+c=100%=1, also t=11/49, und man erhält
a=28/49=4/7; b=10/49; c=11/49
Donnerstag, 7. Juni 2012
Übungsblätter
Ich fange an mit den Funktionenbestimmungen aus LGSen,
die wir auch vor den Ferien begonnen haben. Hier die Ergebnisse:
S8/2
f(x)=1/2 x³ - 3/2 x² + 2
S9/3
f(x)=1/2 x³ - 3x² + 9/2 x
S9/4
a) f(x) = x³ - 6x² + 9x
b) f(x) = 1/4 x³ + x²
c) f(x) = 2/3 x³ + 2x²
Noch eine Bemerkung zu 4c) Aus der Tatsache, dass bei -2 ein HP ist, also f'(-2)=0, erhält man noch nicht das vollständige System. Denn diese Gleichung ist äquivalent zur Gleichung f(-3)=0, weil in diesem Fall a0=0 und a1=0. Man muss den y-Wert nehmen, also f(-2)=8/3.
S9/5 Diese Aufgaben enthalten einen Gedankengang (im Kasten erklärt),
den wir noch genauer behandeln werden. Ich bringe daher NICHTS
mit Symmetrieüberlegungen. Wer's trotzdem kann, bravo!
a) f(x) -1/11 x³ + 12/11 x
b) f(x) = 1/4 x^4 - 3/2 x²
c) f(x) = -1/2 x^4 + 5/4 x³ + x
d) ist nicht eindeutig bestimmbar f(x) = t x² + 1,5
S9/6
f(x) = 0,007 x² - 0,2 x
die wir auch vor den Ferien begonnen haben. Hier die Ergebnisse:
S8/2
f(x)=1/2 x³ - 3/2 x² + 2
S9/3
f(x)=1/2 x³ - 3x² + 9/2 x
S9/4
a) f(x) = x³ - 6x² + 9x
b) f(x) = 1/4 x³ + x²
c) f(x) = 2/3 x³ + 2x²
Noch eine Bemerkung zu 4c) Aus der Tatsache, dass bei -2 ein HP ist, also f'(-2)=0, erhält man noch nicht das vollständige System. Denn diese Gleichung ist äquivalent zur Gleichung f(-3)=0, weil in diesem Fall a0=0 und a1=0. Man muss den y-Wert nehmen, also f(-2)=8/3.
S9/5 Diese Aufgaben enthalten einen Gedankengang (im Kasten erklärt),
den wir noch genauer behandeln werden. Ich bringe daher NICHTS
mit Symmetrieüberlegungen. Wer's trotzdem kann, bravo!
a) f(x) -1/11 x³ + 12/11 x
b) f(x) = 1/4 x^4 - 3/2 x²
c) f(x) = -1/2 x^4 + 5/4 x³ + x
d) ist nicht eindeutig bestimmbar f(x) = t x² + 1,5
S9/6
f(x) = 0,007 x² - 0,2 x
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