Übung zur Klausur am 13.12.

Hier das Blatt mit den Lösungen drin als PDF-Datei. Die letzte Aufgabe war Abiaufgabe, der Link auf das Original und die Lösungen steht hinten dran.

Blatt mit den Optimierungsaufgaben

wenn es jemand nochmal anschauen will, hier als PDF-Datei

Übungen von Klasse 9 für die Mathearbeit

Hier die Lösungen mit kurzen Kommentaren als PDF-Datei

Klausur: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Für die eine Gruppe

und für die andere Gruppe

Klausur: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Tal und Staudamm.
Schaubild Gruppe 1

Die andere Gruppe hat das gleiche, nur an der y-Achse gespiegelt. Hügel rechts, Steilwand links.

Steilste Stelle links im Wendepunkt, das heißt Minimum von f'(x). Bei x=-2 also 200m links vom tiefsten Punkt (andere Gruppe bei x=2)

Dort ist die Steigung = -1,5. Wo ist es rechts genauso Steil. Finde x mit f'(x)=+1,5. Bei x=0,8284 also 83m rechts vom tiefsten Punkt (andere Gruppe bei x=-0,8284)

Oberkante der Staumauer auf Höhe der x-Achse. Abstand zwischen den Nullstellen: 4,58 also 458m.

b) Bestimme die Wendetangente. y=-1,5x - 4,125. Hubschrauber steigt von (-4|0,875) senkrecht auf. Wenn er die Höhe 1,875 erreicht hat (also 100m über dem Hügel), dann kommt er über die Tangente und sieht alles im Tal.


2a) Schaubilder
undin der anderen Gruppe
b) Betrachte im GTR die Ableitungen und schneide mit der waagrechten Geraden y=1. Man findet jeweils zwei Schnittpunkte.
c) Wendepunkte sind die Extrema der ersten Ableitungen. Das sind einmal (0|0) (0,866|1,732) (-0,866|-1,732) und in der anderen Gruppe (0,29|2,25) und (-0,29|2,25).

Aufgabe 2 mit Hilfsmitteln

2
a) Närdlichster Punkt beim Maximum von f(x)
Abstand zu M ist (x²+y²)^0.5, also Pythagoras.

 b) Kurvenwechsel am Wendepunkt, dem Maximum der Ableitung, bei x=-1. Der Wendepunkt ist dann (x|f(x)), d.h.(-1|2,6). Steigung bei x=-3 ist f'(-3)=-0,5 und passt zur Steigung der Geraden durch A und B. Das heißt, da ist kein Knick. Die Ortsdurchfahrt ist sogar eine Tangente an das Schaubild im Punkt A.

c) Wo hat das Schaubild noch einmal die Steigung -0,5? Man kann z.B. mit der Geraden y=-0,5 schneiden. Es ist bei x=+1 im Punkt (1|3.2)

An diesem Punkt hat das Schaubild auch den größten Abstand von der Geraden der Ortsdurchfahrt.Die Normale ist dann y=2*(x-1)+3.2. Sie schneidet die Ortsdurchfahrt in (-0,28|0,64). Den Abstand zu (1|3,2) berechnet man dann mit Pythagoras: (1,28²+2,56²)^0,5=2,86. So viele Km ist man dort weg von der Durchfahrt.

Lösungen zu den Aufgaben mit Hilfsmitteln vom Übungsblatt

1
a) Steilste Wände. Suche Extrema der Ableitung
aus Symmetriegründen ist es auch bei x=+2.61 so.


b) Wenn ein Behälter von -x bis x geht, dann hat er die Breite 2x und auch die Höhe 2x. Man muss also den Punkt finden, wo 2x=f(x), oder den Schnittpunkt aus Schaubild und Gerade y=2x

Bei 2.22, also 4,44m breit.

c) Das ist die 15-Punkte-Teilaufgabe
Lampe bei (0|6), Abstand zum Punkt (x|f(x)) auf dem Schaubild mit Pythagoras
d(x)=(x²+(f(x)-6)²)^0.5
Prüfe, ob das nie kleiner als 1,4 wird.

Man sieht es nicht wirklich in der schlechten Graphik-Auflösung des GTR, aber das Minimum wird berechnet bei x=1,30 m links und rechts von der Mitte des Stollen mit d(x)=1,46m Abstand. Es geht also.

Willkommen im neuen Schuljahr

Lösungen zum Blatt vom Montag 21.10.

1.
Haben wir besprochen. Der wohl einfachste Weg: Umformen zu
2^(2x)=2=2^1 und damit 2x=1 bzw. x=1/2

2.
a)
Schnittpunkte -x²+3=2x auf eine Seite bringen
x²+2x-3=0 mit abc-Formel zwei Lösungen
x=(-2+-(4+12)^0.5)/2 =1 und -3
die beiden x-Werte in g(x) oder in f(x) einsetzen ergibt y-Werte -6 und 2, also sind die Schnittpunkte (-3|-6) und (1|2).
b)
Allgemeine Form y=f'(u)*(x-u)+f(u) der Tangenten im Punkt (u|f(u)) einsetzen in f(x)=-x²+3 bzw. f'(x)=-2x ergibt

y=6(x+3)-6 und y=-2(x-1)+2. Mann kann sie noch ausmultiplizieren und so  in Standardform y=mx+b bringen zu
y=6x+12 und y=-2x+4

3.
a) f' hat bei x=2 ein Maximum. Daher hat f dort eine Wendestelle.
b) Sattel ist Wendepunkt mit waagr. Tangente. f' hat bei x=0 Minimum, also f eine Wendest. Außerdem ist f'(0)=0, also hat das Schaubild von f eine waagr. Tangente, also einen Sattelpunkt.
c) Nein, f'' hat eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + zu -, weil f' dort ein Maximum hat.
d) Ja, denn das Schaubild von f' hat ein Minimum.
e) Linkskurve von f immer dort, wo f' zunimmt. Also von -unendlich bis -2 und von 0 bis 2.

4.
Möchte ich am Donnerstag noch im Unterricht machen. Hier ein paar Hinweise:
a) Finde die Maxima und Minima der Ableitung f'. Achtung, das kann auch am Rand bei -4 und bei 4 sein.
b) Wenn der Würfel die Breite u hat, dann reicht die Bodenfläche von -u/2 zu u/2. Ist dann die Höhe f(u/2) auch gerade gleich u?
c) Der Abstand zwischen einem Punkt (u|v) und (x|f(x)) kann mit Pythagoras berechnet werden, also ((x-u)²+(f(x)-u)²)^0.5 und finde sein Minimum.

5.
a) Maximum von f
b) Wendestelle von f. Knick in A: Überprüfe, ob die Steigung von f in A der Steigung der Geraden entspricht.
c) In welchem Punkt entspricht die Steigung der Kurve derjenigen der Geraden?

Übungen zur KA am Dienstag

Aufgabe 1 haben wir am Freitag ausführlich besprochen

Aufgabe 2

• f(x) = 2,5 x + 20
• f(7) = 17,5 + 20 = 37,5
• 100 = 2,5 x + 20
  80 = 2,5 x
  32 = x               nach 32 Tagen

Aufgabe 3
mit LinReg und ExpReg erhält man
f(x) = 0,71 x - 4,7 und g(x) = 11,8 * 1,0144^x, wobei x=0 im Jahr 1800 liegt.

Das exp. passt etwas besser, auch wenn gegen Ende die "echten" Daten weniger schnell ansteigen als die Modellkurve.

Jahr 2000 entspricht dann x=200 und die Bevölkerung ist
f(200) = 138 und g(x) = 204

Schnitt mit y=200 (mit 2nd Calc Intersect) ergibt g(198,5)=200, also im Sommer 1998 bei exp. Wachstum und f(287,5)=200, also im Sommer 2087.

Man könnte beides auch mit Logarithmus rechnen, wie in Aufgabe 1 und durch Umstellen wie in Aufgabe 2. Weil es aber eine GTR-Wahlteil-Aufgabe ist, ist es einfacher so.

Aufgabe 4

Amplitude (35-19)/2=8
Mittelwert (19+35)/2=27

Periode 24 (Stunden) also b=2 pi/24=0,262

Mittelwert wird erreicht und nach oben hin überquert in der Mitte zwischen Minimum und Maximum, also um 10 Uhr vormittags. Da "beginnt" dann der "eigentliche" Sinus.

f(x) = 8*sin(0,262*(x-10)) + 27

2nd calc intersect mit y=30 ergibt einmal x=11,3 (also etwa 20 nach 11) und x=20,7 (also 20 vor 9 abends)

Aufgabe 5

Flugzeug: x(t) = (2  2  5) + t/30 * (2  4  0,5)

Hubi:       x(t) = (5  7  6) + t/10 * (-1  -1  -0,5)

Abstand als Funktion der Zeit

d(t) = Wurzel( (3-t/6)² + (5-7/30 t)² + (1-t/15)² )

Beide sind am nächsten zur Zeit t=20 mit 0,577km.

Hubi landet, wenn seine x3-Koordinate gleich 0 ist, wenn er also auf Höhe 0 ist.

6 - t/10*0,5 = 0
6 = 0,05*t

120 = t  nach 120 Sekunden.

Er ist dann im Punkt  (5-12 | 7-12 | 0) also in (-7|-5|0)

Treffen in den Ferien

Ich bin umgezogen und war vom Netz weg. Ich habe jetzt den heutigen Nachmittag nicht mehr hier eingetragen.

Vielleicht könnt ihr mir ja alle per Mail oder als Kommentar bescheidgeben, ob ihr morgen um diese Zeit kommen wollt und könnt. Also, Freitag um 2.

Gruß, MR

Integrale im GTR

Ihr kennt das 2nd CALC, mit dem man im Schaubild ein Integral berechnen kann. Man kann das auch im "normalen" Rechenfenster:

Wenn man z.B. in Y1 eine Funktion f(x) definiert hat, kann man das Integral von -1 bis 3 der Funktion f(x) berechnen mit
fnInt(Y1,X,-1,3)
Dabei findet man den Befehl fnInt unter MATH im Eintrag Nr. 9, direkt unter der Ableitung nDeriv.

Man kann so auch eine Integralfunktion (umgangssprachlich: Aufleitung) berechnen. Wieder die Ausgangsfunktion in Y1, in Y2 möchte ich das Integral von Y1 mit Anfangsgrenze 0 und Endgrenze X haben. Dann gebe ich ein
\Y2 = fnInt(Y1,X,0,X)
was "übersetzt" bedeutet: Lieber GTR, integriere mir Y1 über x (mit dx) von 0 bis X.

weitere Abiübungen

in der nächsten Woche wollte ich die Fundusaufgaben für 2013 auf der schon erwähnten Seite http://www.mathe-aufgaben.com/aufgaben/abitur/bw-allgemein-bildende-gymnasien.html machen. Keine Angst, nicht alle. Aber vor allem dort
Wahlteil A 3.1 auf Seite 10 und A 3.2 dahinter, sowie
Pflichtteil die Musteraufgaben von 5, 8, und 9.

Wer will, kann schon mal da reinschauen.

Die Musteraufgaben zum Abi 2013 und vieles mehr findet man, wie heute gesagt, auf den Mathe-Seiten des Karlsruher Regierungspräsidiums.

Eine schöne Zusammenstellung mit vielen Links ist auf http://www.matheabi-bw.de/.

Die Seite http://www.mathe-aufgaben.com/aufgaben/abitur/bw-allgemein-bildende-gymnasien.html gab es schon vor mehreren Jahren, sie ist jetzt schöner und übersichtlicher, als ich sie in Erinnerung hatte.

Die Seite http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/mathematik/pruefung/abitur/ ist wie vieles bei
schule-bw.de nicht wirklich surferfreundlich (denen müßte mal jemand eine vernünftige Homepage programmieren), aber auch eine sinnvolle Quelle.

d)

Übungsblatt für die 10a

Aufgabe 1
a)
zuerst x1=0
dann Klammer nullsetzen. Mitternachtsformel
x2 und x3 = (4 +- (16 - 12)^0,5)/2 = 3 und 1

b)
erst ausmultiplizieren, dann ableiten
f'(x) = 3x² - 8x + 3

c) Mitternachtsformel mit a=3, b=-8, c=3

d) Schaubild rechts

e)
Globales Minimum am linken Rand, globales Maximum am rechten Rand, der Hoch- und der Tiefpunkt sind jeweils lokales Maximum bzw. Minimum.


Aufgabe 2

a) Definitionsmenge: Alles außer 0

b) f'(x) = -1/x²

c) Für x>0 ist f' negativ. Streng monoton fallend.

d) nein, denn f' ist immer ungleich 0.

e) 4+1/x=0  bei x=-0,25

f) Strebt gegen 4, weil 1/x gegen 0 geht. Asymptote y=4.

g) z.B. f(x) = 1/x - 1

Aufgabe 3
Bezeichnung: Der  Punkt C ist bei (c| c²), B bei (-c|c²)
Grundseite des Dreiecks:  2c  (Abstand von B nach C)
Höhe des Dreiecks: 1-c²
Fläche des Dreiecks  F(c) = 1/2 * 2c * (1-c²)  = c*(1-c²) = c - c³.

Ableitung  F'(c)= 1 - 3c² wird 0 für c= (1/3)^0,5.
B muss entsprechend bei (-(1/3)^0,5|1/3) liegen.

Aufgabe 4
b) Grundkanten haben alle die Länge 2, Seitenkanten haben (1 + 1 + 4)^0,5 = 6^0,5.
c) Seitenkanten haben jetzt die Länge (1+1+h²)^0,5 und die muss gleich 2 sein. Also
(1+1+h²)^0,5 = 2
2 + h² = 4
h² = 2
h = 2^0,5

Aufgabe 5
Wieder der dreidimensionale Pythagoras Länge ist (49+49+225)^0,5 = 323^0,5 = knapp 18. Man muss dann für die Befestigung noch was dazutun, also wären 18,50 oder so nicht schlecht, viellecht auch 19m.