Komplexe Aufgaben, 2. Blatt

Aufgabe 4

1. Eindeutig bestimmt ist die Ebene, wenn der Punkt P nicht auf g liegt. Das zeigt man mit der Punktprobe:
   (5 6 -2) = (7 -5 -26) +t*(-3 4 12) hat keine Lösung für t.
2. Hier ist ein Druckfehler. Der Punkt muss (1 3 -2) sein. Der liegt auf g mit Lösung s=2.
   Zeige dazu, dass ua orthogonal auf dem Richtungsvektor (-3 4 12) steht für alle a (also dass das Skalarprodukt gleich 0 ist)
   Welches a ist der Wert. Wieder Punktprobe
   (5 6 -2) = (1 3 -2) + t*(8a-12  3a  a-3) und schaun, für elches a es eie Lösung gibt.
   
   I     4 = 8at - 12t
   II    3 = 3at
   III   0 = at - 3t
   
   aus II folgt, dass at=1. Dann folgt aus I, dass t=1/3 und a=3. Die gleiche Lösung passt auch in III. Der gesuchte Wert ist also a=3.
3. PAB ist ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis |AB|=26. Wenn man von P orthogonal auf g zugeht, trifft man den Fußpunkt F genau in der Mitte von A und B.
   Bestimme also zunächst den Fußpunkt F. Entweder über die Orthogonalitätsbedingung, oder indem man eine Hilfsebene H mit Stützpunkt P und Normalenvektor (-3 4 12), dem Richtungsvektor von g aufstellt.
   Schneide dann H mit g. Du erhältst F.
   Berechne den Einheitsvektor zu (-3 4 12), das ist (-3/13  4/13  12/13). Gehe dann
   F aus 13-mal den Einheitsvektor in beide Richtungen, also mit (-3 4 12) und (3 -4 -12).

Aufgabe 5

1. Eckpunkte eines Dreiecks: Sie liegen nicht auf einer Linie. Das heißt z.B., dass die Vektoren AB und AC nicht linear abhängig sind.
   Konkret: AB = (6  -8  10)  und AC = (6 -8 -10), sind nicht parallel.
   Sie sind gleich lang  |AB|=|AC|  -->  gleichschenklig
   Sie sind orthogonal   AB*AC = 36 + 64 -100 = 0    ---> rechtwinklig
   (gleichschenklig und rechtwinklig: so eine Form hat ein Geodreieck)
   Man kann 2 Geodreiecke zu einem Quadrat zusammenlegen. Das gibt dann für den Punkt P die Koordinaten
   OP = OB + AC = ( 1 4 23) + (6 -8 -10)   = (7 -4  13), also   P(7|-4|13)
2. Alle Geraden haben den selben Richtungsvektor u = (1  -2  2). Man kann ihn als einen Spannvektor der Ebenen nehmen.
   Den anderen Spannvektor erhält man, indem man zwei Stützpunkte mit verschiedenen a nimmt und den Vektor zwischen ihnen berechnet. Für a=1 und a=0 ist das z.B.
   v = (-12 1 2) - (-12 0 2) = (0 1 0)
   Also ist eine Parametergleichunng der Ebene ist also
   x = (-12 0 2) + r*(1 -2 2) + s*(0 1 0)
3. g hat als Richtungsvektor AB = (6 -8 10), das ist nicht parallel zu (1 -2  2).
   Schnittunkt Q. Am besten die Ebene in Koordinatengleichung schreiben.
   Normalenvektor
   n1  - 2 n2 + 2 n3  = 0       I
              n2              = 0      II
   II in I einsetzen, und dann als Lösung z.B. n3= 1 gibt     n=(-2   0  1)
   Ebenengleichung -2 x1   +  x3  = 26
   Schneiden mit g:   x=(-5  12   13) + t*(6  -8  10)
   -2(-5 + 6t)    +  (13+10t)  = 26
   10  - 12t   +  13  + 10t    = 26
   -2t  = 3
   t = -1,5
   Schnittpunkt  OQ = (-5  12  13) - 1,5*(6  -8  10 )  =  (-14  24  -2)
   
   Schnittwinkel aus Normalenvektor und Richtungsvektor
   sin(alpha) = |(6 -8 10)*(-2 0 1)|/(|(6 -8 10)|*|(-2 0 1)|)  =
      |-2| /(Wurze(200)*Wurzel(5)) = 0,06325      --> alpha = 3,63°
4. Dazu muss man die Spitze S an der Grundfläche spiegeln