Aufgabe 1
1:
Standardweg: Bestimme einen Normalenvektor für E und zeige, dass der Richtungsvektor der Gerade orthogonal dazu ist (Skalarprodukt=0).
Abkürzung: Der Richtungsvektor ist -1,5 mal der eine Spannvektor., also parallel dazu.
2: LGS aufstellen.
2 n2 + n3 = 0
3 n1 - 2 n2 - 2 n3 = 0
mögliche Lösung n3 = 2, n2 = -1, n1 = 2/3 oder n1 = 2, n2=-3, n3 = 6
Koordinatengleichung ist damit 2 x1 - 3 x2 + 6 x3 = 39
3; Hesseform. Stützpunkt von g einsetzen.
(2*(-1) -3*(-2) + 6*3 - 39)/7 = -17/7
Aufgabe 2
1: Skalarprodukt (2 -2 1)*(1 2 2) = 2-4+2 = 0. orthogonal.
2: Hänge den Vektor AB and D dran. Man erhält C(3|0|3). Es ist ein Quadrat, weil die Seiten AB und AD gleich lang sind, nämlich Wurzel(1+4+4)=3
3:
Mittelpunkt der Grundfläche ist der Punkt in der Mitte zwischen A und C (oder B und D), Das ist M(1,5|0|1,5).
Normalenvektor der Ebene, in der die Grundfläche liegt:
I 2 n1 - 2 n2 + n3 = 0
II n1 + 2 n2 + 2 n3 = 0
---------------------------------
I 2 n1 - 2 n2 + n3 = 0
I+II 3 n1 + 3 n3 = 0 Lösung n3= t, n1 = -t, n2 = -t/2, also z.B. n=(2 1 -2)
Das heißt, die Spitze liegt auf der Geraden
x = (1,5 0 1,5) + t*(2 1 -2)
Welche Punkte dabei haben den Abstand 4 zur Grundfläche bzw. zum Punkt M?
Die bei denen |t*(2 1 -2)| = 4,
aber der Betrag des Normalenvektors |(2 1 -2)| = 3, also t=4/3 und t=-4/3
Damit sind die beiden Punkte
S1 = (3/2 0 3/2) + 4/3*(2 1 -2) = (25/6 4/3 -7/6) und
S2 = (3/2 0 3/2) - 4/3*(2 1 -2) = (-7/6 -4/3 25/6)
4:
Hier geht es um den Abstand des Punktes A von der Grundfläche, in der BSD liegt.
Standardweg:
Stelle die Koordinatengleichung für die Ebene mit BSD auf. Mache ein Hesse draus und setze A ein.
Abkürzung:
Man kann sich aber auch überlegen, dass die eine Seitenfläche BDA der Pyramide die Hälfte des Quadrates ABCD ist, und damit die Höhe der neuen Pyramide die Verbindungslinie AM ist (so hats JPvG gemacht). Also ist die Höhe gleich
|AM| = Wurzel(1,5²+1,5²) = Wurzel(4,5) = 3/Wurzel(2) = 2,12
Aufgabe 3
1: Zeichnen? Mach ich vielleicht noch und scanns ein. Ist aber einfach.
Ebene ist parallel zur x1-Achse, weil der Koeffizient vor x1 gleich 0 ist.
Für den Abstand muss man in eine Hesseform einen Punkt einsetzen, z.B. den Ursprung (0 0 0)
d = | 3*0 + 1*0 - 8 | / Wurzel(10) = 8/Wurzel(10) = 2,53
2: Wieder Hesse, den Punkt S einsetzen und schaun, für welches a dabei 10 rauskommt.
|(3*6 + 6 - a)| / Wurzel(10) = 10
|(24 - a)| = Wurzel(10) * 10
Beim Betrag braucht man die Fallunterscheidung,
Fall 1: 24-a = 10*Wurzel(10) -> a = 24 - 10*Wurzel(10) = -7,62
Fall 2: -24+a = 10*Wurzel(10) -> a = 10*Wurzel(10) + 24 = 55,62
3: Alle Ebenen haben den selben Normalenvektor (0 3 1). Sie sind also alle parallel zueinander.
In der Zeichnung sieht man, dass die beiden äußersten Kanten, die die Ebene noch berührt, die Kante unten links OP und die Kante oben rechts von (6 6 0) nach (6 6 6) ist. Einmal ist also der Punkt O(0 0 0) in der Ebene, einmal der Punkt (6 6 0). Wenn man Koordinatengleichungen mit diesen beiden Stützpunkten aufstellt, erhält man für (0 0 0) die Gleichung 3 x2 + x3 = 0
und für (6 6 0) die Gleichung 3 x2 + x3 = 18.
Also haben die Ebenen für 0 <= a <= 18 gemeinsame Punkte mit dem Würfel.
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