... kann man weiter üben.
Hier noch einmal die beiden letzten Wochenaufgaben (für die, die krank oder beim Austausch in Tschechien waren)
9.12.2019
13.12.2019
Dann will ich auf die nah an unseren Büchern orientierten Seiten https://fliptheclassroom.de/ und die zugehörige App verweisen.
Schaut euch die Erklärvideos an. "Rechts oben Mathe Kursstufe (neu)", wir sind gerade vor allem bei den Kapiteln II und III. Aber das I könnt ihr auch anschauen.
Abiaufgaben. Die Seiten des Landes sind alle etwas unübersichtlich. Ein Lehrer hat hier eine gute Zusammenfassung: mathe-aufgaben.com
Für uns sind die Aufgaben ab 2021 relevant: https://www.mathe-aufgaben.com/skripte/abitur/bw-allgemein-bildende-gymnasien-ab-2021.html
Das sind Musteraufgaben mit Lösungen.
Freitag, 27. Dezember 2019
Donnerstag, 12. Dezember 2019
Übungen für 13.12.
https://drive.google.com/file/d/1H-p2jHO_pKpAhRFnAIsQCQQq68JhOc_b/view?usp=sharing
Noch eine Anmerkung zur letzten Aufgabe.
Berühren an einem Punkt heißt, dass die Schaubilder dort einen gemeinsamen Punkt haben (also f(x)=g(x)) und dass sie die gleiche Steigung haben (also f '(x)=g'(x)).
Noch eine Anmerkung zur letzten Aufgabe.
Berühren an einem Punkt heißt, dass die Schaubilder dort einen gemeinsamen Punkt haben (also f(x)=g(x)) und dass sie die gleiche Steigung haben (also f '(x)=g'(x)).
Donnerstag, 14. November 2019
Wochenaufgaben 15.11. und 22.11
Wochenaufgabe zum 15.11.
Wochenaufgabe zum 22.11.
und hier habe ich mögliche Lösungen zu den Nachdenkaufgaben vom 22.11.
Wochenaufgabe zum 22.11.
und hier habe ich mögliche Lösungen zu den Nachdenkaufgaben vom 22.11.
Montag, 4. November 2019
Klausur - Lösungen
Aufgabe 1 - Ableiten
Achtet auf Ketten- und Produktregel
- sin(x²) --> - cos(x²) 2x --> sin(x²) 4x² - cos(x²) 2
- cos(x²) --> sin(x²) 2x --> cos(x²) 4x² + sin(x²) 2
Aufgabe 2
a) Graph mit Hoch- bzw. Tiefpunkten
f(x) = 1/8 x^4 - x² + 3
f'(x) = 1/2 x³ - 2x
f"(x) = 3/2 x² - 2
1/2 x³ - 2x = 0
--> x1 = 0 f"(0) = -2 --> Hochpunkt H(0|3)
--> x2 = 2 f"(2) > 0 --> Tiefpunkt T(2|1)
--> x3 = -2 f"(-2) > 0 --> Tiefpunkt T(-2|1)
Achtet auf Ketten- und Produktregel
- sin(x²) --> - cos(x²) 2x --> sin(x²) 4x² - cos(x²) 2
- cos(x²) --> sin(x²) 2x --> cos(x²) 4x² + sin(x²) 2
Aufgabe 2
a) Graph mit Hoch- bzw. Tiefpunkten
f(x) = 1/8 x^4 - x² + 3
f'(x) = 1/2 x³ - 2x
f"(x) = 3/2 x² - 2
1/2 x³ - 2x = 0
--> x1 = 0 f"(0) = -2 --> Hochpunkt H(0|3)
--> x2 = 2 f"(2) > 0 --> Tiefpunkt T(2|1)
--> x3 = -2 f"(-2) > 0 --> Tiefpunkt T(-2|1)
andere Gruppe:
f(x) = -1/8 x^4 + x² + 2
f'(x) = -1/2 x³ + 2x
f"(x) = -3/2 x² + 2
-1/2 x³ + 2x = 0
--> x1 = 0 f"(0) = 2 -->Tiefpunkt T(0|2)
--> x2 = 2 f"(2) < 0 --> Hochpunkt H(2|4)
--> x3 = -2 f"(-2) < 0 --> Hochpunkt H(-2|4)
f'(x) = -1/2 x³ + 2x
f"(x) = -3/2 x² + 2
-1/2 x³ + 2x = 0
--> x1 = 0 f"(0) = 2 -->Tiefpunkt T(0|2)
--> x2 = 2 f"(2) < 0 --> Hochpunkt H(2|4)
--> x3 = -2 f"(-2) < 0 --> Hochpunkt H(-2|4)
b) f(x) = a mit genau zwei Lösungen. Für welche a?
Das entspricht den Schnittpunkten des Schaubilds mit einer waagrechten Geraden y=a (auf Höhe a).
Genau zwei Lösungen gibt es
- bei den beiden Tiefpunkten bzw. den beiden Hochpunkten, also für a=1 bzw. für a =4.
- oberhalb von H(0|3) bzw. unterhalb T(0|2), also für a>3 bzw. für a<2
Aufgabe 3
a) Der Graph von f hat bei x=0 einen Hochpunkt, weil f' dort das Vorzeichen von + nach - wechselt.
b) Der Graph von f hat zwei Wendepunkte, weil f' zwei Extrema besitzt. Eins hat f'(x)>0, dort hat die Wendetangente positive Steigung, eins hat f'(x)<0, Wendetangente hat negative Steigung.
c) von -2 bis 0 ist f'>0, also steigt f streng monoton, d.h. f(-2)<f(0).
von 0 bis 2 ist f'>0, also fällt f streng monoton, d.h. f(0)>f(2).
Aufgabe 4
Die beiden Extrempunkte sind H(1|3) und T(2|1).
Die Gerade durch sie ist y= -2x + 5.
Sie schneidet die Koordinatenachsen in P(0|5) und Q(2,5|0).
Mit Pythagoras ist |PQ| = (5² + 2,5²)^0,5
andere Gruppe:
H(2|6) und T(4|2).
y = -2 x + 10
P(0|10) und Q(5|0)
|PQ| = (10² + 5²)^0,5
Aufgabe 5
a) Hochpunkt bei H(-5|20) --> 20 m über dem Straßenniveau. (Es gibt noch einen Tiefpunkt bei x=3, aber der gibt im Zusammenhang kein Ergebnis, er liegt sozusagen unter der Straße)
b) Wendepunkte bei W(-2|9,2) --> In der Höhe 9,2 m ist der Hang am steilsten.
Andere Gruppe H(-5|10) --> 10 m und W(-2|4,6) --> 4,6 m
Samstag, 12. Oktober 2019
Merkhilfe
Denkt dran, dass ihr am Montag die Merkhilfe mitbringt für den zweiten Teil der Klausur. Ihr könnt dann z.B. nachschauen, wie man zu zwei gegebenen Punkten die Gleichung der Geraden durch beide Punkte finden kann. 😃👌
Freitag, 11. Oktober 2019
Donnerstag, 10. Oktober 2019
Kegelförmiges Gefäß
Lösung zur Nachdenkaufgabe 3
1. Volumen eines Kegels V = 1/3 G h = 1/3 pi r0² h0 = 100 pi
Bei 5 cm²/s dauert das t0 = 20*pi Sekunden, also etwas über 1 Minute lang.
2. Bei Füllhöhe h ist der Radius der Wasseroberfläche r = r0 * h/h0 = 5/12 * h
und damit das Volumen in Höhe h: V(h) = 1/3 pi r² h = 1/3 pi 25/144 h³
Das dauert also t(h) = V(h)/5 = 5/432 pi h³ Sekunden
3. Das umgestellt ergibt
h(t) = (432/(5 pi) * t)^(1/3)
4. Ableitung davon ist
h'(t) = 1/3 * (432/(5 pi) * t)^(-2/3) * 432/(5 pi)
= 1/3 * (432/(5 pi))^(1/3) * t^(-2/3)
Das Schaubild zeigt h(t) in rot und v(t) in lila. Achtet auf die Maßstäbe.
1. Volumen eines Kegels V = 1/3 G h = 1/3 pi r0² h0 = 100 pi
Bei 5 cm²/s dauert das t0 = 20*pi Sekunden, also etwas über 1 Minute lang.
2. Bei Füllhöhe h ist der Radius der Wasseroberfläche r = r0 * h/h0 = 5/12 * h
und damit das Volumen in Höhe h: V(h) = 1/3 pi r² h = 1/3 pi 25/144 h³
Das dauert also t(h) = V(h)/5 = 5/432 pi h³ Sekunden
3. Das umgestellt ergibt
h(t) = (432/(5 pi) * t)^(1/3)
4. Ableitung davon ist
h'(t) = 1/3 * (432/(5 pi) * t)^(-2/3) * 432/(5 pi)
= 1/3 * (432/(5 pi))^(1/3) * t^(-2/3)
Das Schaubild zeigt h(t) in rot und v(t) in lila. Achtet auf die Maßstäbe.
Freitag, 13. September 2019
Lösungen der Aufgaben
Donnerstag 12.9.
S 10/7
a) f(5) = 81,2:
am 1.1.2015 lebten in D 81,2 Millionen Menschen
(f(5,5)-f(5))/(5,5-5) = 0,7:
Im ersten Halbjahr 2015 betrug die mittlere Änderungsrate 0,7 Mio. Menschen pro Jahr,
d.h. in dem Halbjahr hat die Bevölkerung um 350 000 zugenommen.
b) Wenn man das extrapoliert auf das ganze Jahr 2015, erwartet man 81,2 + 0,7 = 81,9 Millionen Menschen zum Anfang 2016.
S12/1
a) --> 8x + 2 --> 8
b) --> 1/2 x² - 3/2 x --> x - 3/2
c) --> - 2 sin(x) --> -2 cos(x)
d) --> 1/Wurzel(x) - 2 ---> -1/(2 Wurzel(x³) )
e) --> 1/3 * x^(-2/3) --> -2/9 * x^(-5/3)
f) --> 2 x^(-3) + 3 --> -6 x^(-4)
g) --> -15*x^(-4) - 3/5 x² --> 60*x^(-5) - 6/5 x
h) --> 0 --> 0
j) --> 0 --> 0 weil beides konstante Zahlen sind, die nicht mit x variieren.
Freitag 13.9.
S12/2
a) x² - 3x --> 2x -3 --> 2
b) x² + 8x + 16 --> 2x + 8 --> 2
c) --> 4 v³ + 6 v^(-4) --> 12 v² - 24 v^(-5)
d) a² + 1 --> 2a --> 2 (hier gehört a=0 aber NICHT zur Definitionsmenge)
e) -2t² + 12t -16 --> -4t + 12 --> -4
f) 3x² - 1/2 x --> 6 x - 1/2 --> 6 (auch hier gehört x=0 NICHT dazu)
S13/9
a) falsch. Multipliziert aus. Leitet dann die Potenzfunktion ab, die ihr erhaltet. Eine Produktregel werden wir bald kennenlernen.
b) falsch. Gegenbeispiele sind z.B. f(x)= x² + 1 oder f(x)=5 oder ....
c) richtig. Potenzfunktionen sind die mit x^r, hier r=-1/3.
d) falsch. Das ist keine Potenzfunktion, sondern eine Exponentialfunktion, weil x im Exponenten steht. Deren Ableitungen werden wir noch kennenlernen.
e) falsch. Gegenbeispiel x² + 1 und x² + 2. Immer wenn sich zwei Funktionen nur durch eine additive Konstante unterscheiden, sind ihre Ableitungen gleich. Das wird noch seeeehr wichtig, wenn wir "aufleiten", also das Gegenteil von Ableiten machen, das sogenannte Integrieren.
S 10/7
a) f(5) = 81,2:
am 1.1.2015 lebten in D 81,2 Millionen Menschen
(f(5,5)-f(5))/(5,5-5) = 0,7:
Im ersten Halbjahr 2015 betrug die mittlere Änderungsrate 0,7 Mio. Menschen pro Jahr,
d.h. in dem Halbjahr hat die Bevölkerung um 350 000 zugenommen.
b) Wenn man das extrapoliert auf das ganze Jahr 2015, erwartet man 81,2 + 0,7 = 81,9 Millionen Menschen zum Anfang 2016.
S12/1
a) --> 8x + 2 --> 8
b) --> 1/2 x² - 3/2 x --> x - 3/2
c) --> - 2 sin(x) --> -2 cos(x)
d) --> 1/Wurzel(x) - 2 ---> -1/(2 Wurzel(x³) )
e) --> 1/3 * x^(-2/3) --> -2/9 * x^(-5/3)
f) --> 2 x^(-3) + 3 --> -6 x^(-4)
g) --> -15*x^(-4) - 3/5 x² --> 60*x^(-5) - 6/5 x
h) --> 0 --> 0
j) --> 0 --> 0 weil beides konstante Zahlen sind, die nicht mit x variieren.
Freitag 13.9.
S12/2
a) x² - 3x --> 2x -3 --> 2
b) x² + 8x + 16 --> 2x + 8 --> 2
c) --> 4 v³ + 6 v^(-4) --> 12 v² - 24 v^(-5)
d) a² + 1 --> 2a --> 2 (hier gehört a=0 aber NICHT zur Definitionsmenge)
e) -2t² + 12t -16 --> -4t + 12 --> -4
f) 3x² - 1/2 x --> 6 x - 1/2 --> 6 (auch hier gehört x=0 NICHT dazu)
S13/9
a) falsch. Multipliziert aus. Leitet dann die Potenzfunktion ab, die ihr erhaltet. Eine Produktregel werden wir bald kennenlernen.
b) falsch. Gegenbeispiele sind z.B. f(x)= x² + 1 oder f(x)=5 oder ....
c) richtig. Potenzfunktionen sind die mit x^r, hier r=-1/3.
d) falsch. Das ist keine Potenzfunktion, sondern eine Exponentialfunktion, weil x im Exponenten steht. Deren Ableitungen werden wir noch kennenlernen.
e) falsch. Gegenbeispiel x² + 1 und x² + 2. Immer wenn sich zwei Funktionen nur durch eine additive Konstante unterscheiden, sind ihre Ableitungen gleich. Das wird noch seeeehr wichtig, wenn wir "aufleiten", also das Gegenteil von Ableiten machen, das sogenannte Integrieren.
Donnerstag, 12. September 2019
Geogebra-Apps vom 12.9.19
- Die Ableitungsfunktion: Jedem x wird die Steigung der Tangenten zugeordnet.
https://www.geogebra.org/m/sYwr6TsS - Mittlere und Momentane Änderungsrate, Steigung einer Sekanten und einer Tangenten. Je näher ihr die beiden Punkte zusammenschiebt, umso genauer bekommt ihr die Tangente.
https://www.geogebra.org/m/cvnc4ddr
Mittwoch, 11. September 2019
Samstag, 13. April 2019
Nachtermin 2017 A 2
A 2.1
a)
maximale Konzentration
f'(t) = 750 * ( e^-t - 0.5 e^-0.5t) = 0 | :750 und *e^t
1 - 0.5 e^(0.5 t) = 0
e^(0.5 t) = 2
t = 2 ln(2)
f(2 ln(2) ) = 750 * ( 1/2 - 1/4) = 187,5
Wann ist f(t)=130
Kann man Lösen durch Substitution mit z=e^(-0.5 t) und erhält
z² - z + 13/75 = 0
die beiden Lösungen der abc-Formel muss man dann wieder umstellen zur Lösung in t.
Zweimal ableiten, null setzen, ähnlich wie oben.
Auch das Integral geht von Hand. 1/5 * Integral_0^5 f(t) dt.
b)
a=40 setzen, t=1 einsetzen und ausrechnen.
"Bei welcher Temperatur..." das geht nicht ohne GTR
A2.2
a) geht für euch.
b) Da müsst ihr die Integralfunktion mit unterer Grenze 0 und oberer Grenze u gleich 20 setzen.
1/8 u^4 + 1/2 u^3 + 5/2 u = 20
Das geht nicht ohne GTR.
c) Geht.
Verschieben 3 nach links, dann an x-Achse spiegeln, dann 4 nach oben verschieben.
d)
"Untersuche, ob ..." geht.
Finde x, wo g'(x) = 9/2 und prüfe, ob dort auch g(x) = 9/2 * x
"Anzahl der Lösungen" Müsste gehen. Ich denke nochmal drüber genauer nach.
a)
maximale Konzentration
f'(t) = 750 * ( e^-t - 0.5 e^-0.5t) = 0 | :750 und *e^t
1 - 0.5 e^(0.5 t) = 0
e^(0.5 t) = 2
t = 2 ln(2)
f(2 ln(2) ) = 750 * ( 1/2 - 1/4) = 187,5
Wann ist f(t)=130
Kann man Lösen durch Substitution mit z=e^(-0.5 t) und erhält
z² - z + 13/75 = 0
die beiden Lösungen der abc-Formel muss man dann wieder umstellen zur Lösung in t.
Zweimal ableiten, null setzen, ähnlich wie oben.
Auch das Integral geht von Hand. 1/5 * Integral_0^5 f(t) dt.
b)
a=40 setzen, t=1 einsetzen und ausrechnen.
"Bei welcher Temperatur..." das geht nicht ohne GTR
A2.2
a) geht für euch.
b) Da müsst ihr die Integralfunktion mit unterer Grenze 0 und oberer Grenze u gleich 20 setzen.
1/8 u^4 + 1/2 u^3 + 5/2 u = 20
Das geht nicht ohne GTR.
c) Geht.
Verschieben 3 nach links, dann an x-Achse spiegeln, dann 4 nach oben verschieben.
d)
"Untersuche, ob ..." geht.
Finde x, wo g'(x) = 9/2 und prüfe, ob dort auch g(x) = 9/2 * x
"Anzahl der Lösungen" Müsste gehen. Ich denke nochmal drüber genauer nach.
Mittwoch, 10. April 2019
Schaubilder verschieben und spiegeln
Hier ein Geogebra-Sheet, mit dem ihr Aufgaben wie die 5 vom 2016 Pflichtteil im Nachtermin nachspielen könnt.
https://www.geogebra.org/m/bu6cjdvw
https://www.geogebra.org/m/bu6cjdvw
Dienstag, 9. April 2019
Samstag, 30. März 2019
Nachtermin 2015 - Teil A 1.1
Habe ich den Leuten am Nachmittag gegeben. Die anderen können es von mir am Montag haben.
Wie immer bei den alten Abis: ohne GTR geht vieles auch, ist aber mühsamer - und insofern eine gute Übung, aber eben vom Niveau etwas anspruchsvoller.
Hier Lösungen von A 1.1
Teil a) Hochpunkt und steilste Stelle, d.h. Wendepunkt. Steigung oder Gefälle ist gerade gleich der Ableitung, nur eben in % ausgedrückt. Also z.B. 5% = 0,05, oder 2,7 = 270%
Für Teil b) könnt ihr die Gleichung aufstellen, aber ihr könnt es ohne den GTR nicht lösen. Dazu braucht man eine "Mitternachtsformel" für x³. Die gibt es, aber die wollt ihr nicht wissen. Ist etwa eine halbe Seite lang. :-P
c) Hier geht es um ein Integral. Hat etwas hässliche Zahlen, geht aber.
Teil d) ist auch ein Integral, das man aber von Hand nicht rechnen kann. Also nix für ohne GTR.
Die Aufgaben A1.2 kommen vielleicht am Sonntag oder am Montag.
Der Teil A2 ist ganz für GTR, den habe ich euch gar nicht erst gegeben.
Wie immer bei den alten Abis: ohne GTR geht vieles auch, ist aber mühsamer - und insofern eine gute Übung, aber eben vom Niveau etwas anspruchsvoller.
Hier Lösungen von A 1.1
Teil a) Hochpunkt und steilste Stelle, d.h. Wendepunkt. Steigung oder Gefälle ist gerade gleich der Ableitung, nur eben in % ausgedrückt. Also z.B. 5% = 0,05, oder 2,7 = 270%
Für Teil b) könnt ihr die Gleichung aufstellen, aber ihr könnt es ohne den GTR nicht lösen. Dazu braucht man eine "Mitternachtsformel" für x³. Die gibt es, aber die wollt ihr nicht wissen. Ist etwa eine halbe Seite lang. :-P
c) Hier geht es um ein Integral. Hat etwas hässliche Zahlen, geht aber.
Die Aufgaben A1.2 kommen vielleicht am Sonntag oder am Montag.
Der Teil A2 ist ganz für GTR, den habe ich euch gar nicht erst gegeben.
Mittwoch, 20. März 2019
Übungsaufgaben mit Polstellen, Definitionslücken, Asymptoten
Am besten untersucht ihr die Funktionen aus dem Buch
Seite 125
Aufgaben 3 und 5
Ihr könnt eure Lösung überprüfen mit www.geogebra.org/classic
Gebt einfach links in der Spalte die Funktionen ein f(x) =...., g(x) = ....
Dann erhaltet ihr das Schaubild und könnt vergleichen.
Ihr könnt auch kleine Änderungen einbauen und schauen, wie sich das auf das Schaubild auswirkt.
Seite 125
Aufgaben 3 und 5
Ihr könnt eure Lösung überprüfen mit www.geogebra.org/classic
Gebt einfach links in der Spalte die Funktionen ein f(x) =...., g(x) = ....
Dann erhaltet ihr das Schaubild und könnt vergleichen.
Ihr könnt auch kleine Änderungen einbauen und schauen, wie sich das auf das Schaubild auswirkt.
Nachtermin 2014
Analysis A 2.1
Ist auch für den GTR gemacht. Damit ist es einfacher, ohne geht es aber auch - probiert es, es ist dann aber etwas schwieriger als Abiniveau. Gute Übung auf jeden Fall.
a) Hier geht es um den Hochpunkt
g'(t) = 3 * ( -e^(-t) + 2 e^(-2t)) =0
e^t = 2
t = ln(2)
Einsetzen in g:
g( ln(2) ) = 3 *( e^(-ln(2)) - e^(-2 ln(2) ) )
= 3*( 1/2 - 1/4 ) = 3/4 < 0,8
Selbst beim Maximum wird es auch nicht überschritten.
1/6 * Integral_0^6 (3 * (e^(-t) - e^(-2t) ) dt
= 1/6 * 3 * [ -e^(-t) + 1/2 * e^(-2t) ]_0^6
= 1/2 * ( -e^(-6) + 1/2*e^(-12) + 1 - 1/2 )
= 1/4 - 1/(2 e^6) + 1/(4 e^12 ) = 0,2488
b) Ab t=3 beschreibt die Funktion
g(t) + g(t-3) = 3 * ( (e^3 + 1)*e^(-t) - (e^6 + 1)* e^(-2t) )
Ableitung davon ist
3 * (- (e^3 + 1)*e^(-t) + 2*(e^6 + 1)* e^(-2t) ) = 0
mit Lösung
e^t = 2*(e^6+1)/(e^3+1)
t = ln(2*(e^6+1)/(e^3+1)) = 3,647
Einsetzen in die Funktion
gibt 0,8245, was den Grenzwert von 0,8 um etwa 3% übersteigt.
c) Die Funktion g_k muss bei t=1 ihr Maximum einnehmen.
g_k'(t) = 3 * ( -e^(-kt) + 2 e^(-2kt)) =0
Welches k ist so, dass das für t=1 erfüllt ist?
3 * ( -e^(-k) + 2 e^(-2k)) =0
e^k = 2
k = ln(2)
Einsetzen in die Funktion
3/ln(2) * ( 1/2 - 1/4 ) = 3/(4 ln(2) ) = 1,082
A 2.2
a) Schnitt der Geraden mit dem Parabelstück
x = x² - 2x
3x = x²
x=0 (links unten) und x=3 (rechts oben)
Die untere Hälfte der Figur hat die Fläche
Integral_0^3 ( x - (x²-2x) ) =
Integral_0^3 ( 3x - x² ) =
[ 3/2 x² - 1/3 x³ ]_0^3 = 27/2 - 9 = 9/2
und die ganze Figur ist das Doppelte davon: 9.
b) Berührpunkt B, dort wo h(x) die Steigung 1 hat, also
h'(x) = 1
2x - 2 = 1
x = 3/2
y = h(3/2) = (3/2)² - 2*3/2 = 9/4 - 3 = -0,75
B(1,5 | -0,75)
Spiegle dazu den Punkt B an der Spiegelachse
B'(-0,75 | 1,5 )
Die Seitenlänge ist der Abstand von B zu B'
Wurzel( 2,25² + 2,25² ) = 3,18
Ist auch für den GTR gemacht. Damit ist es einfacher, ohne geht es aber auch - probiert es, es ist dann aber etwas schwieriger als Abiniveau. Gute Übung auf jeden Fall.
a) Hier geht es um den Hochpunkt
g'(t) = 3 * ( -e^(-t) + 2 e^(-2t)) =0
e^t = 2
t = ln(2)
Einsetzen in g:
g( ln(2) ) = 3 *( e^(-ln(2)) - e^(-2 ln(2) ) )
= 3*( 1/2 - 1/4 ) = 3/4 < 0,8
Selbst beim Maximum wird es auch nicht überschritten.
1/6 * Integral_0^6 (3 * (e^(-t) - e^(-2t) ) dt
= 1/6 * 3 * [ -e^(-t) + 1/2 * e^(-2t) ]_0^6
= 1/2 * ( -e^(-6) + 1/2*e^(-12) + 1 - 1/2 )
= 1/4 - 1/(2 e^6) + 1/(4 e^12 ) = 0,2488
b) Ab t=3 beschreibt die Funktion
g(t) + g(t-3) = 3 * ( (e^3 + 1)*e^(-t) - (e^6 + 1)* e^(-2t) )
Ableitung davon ist
3 * (- (e^3 + 1)*e^(-t) + 2*(e^6 + 1)* e^(-2t) ) = 0
mit Lösung
e^t = 2*(e^6+1)/(e^3+1)
t = ln(2*(e^6+1)/(e^3+1)) = 3,647
Einsetzen in die Funktion
gibt 0,8245, was den Grenzwert von 0,8 um etwa 3% übersteigt.
c) Die Funktion g_k muss bei t=1 ihr Maximum einnehmen.
g_k'(t) = 3 * ( -e^(-kt) + 2 e^(-2kt)) =0
Welches k ist so, dass das für t=1 erfüllt ist?
3 * ( -e^(-k) + 2 e^(-2k)) =0
e^k = 2
k = ln(2)
Einsetzen in die Funktion
3/ln(2) * ( 1/2 - 1/4 ) = 3/(4 ln(2) ) = 1,082
A 2.2
a) Schnitt der Geraden mit dem Parabelstück
x = x² - 2x
3x = x²
x=0 (links unten) und x=3 (rechts oben)
Die untere Hälfte der Figur hat die Fläche
Integral_0^3 ( x - (x²-2x) ) =
Integral_0^3 ( 3x - x² ) =
[ 3/2 x² - 1/3 x³ ]_0^3 = 27/2 - 9 = 9/2
und die ganze Figur ist das Doppelte davon: 9.
b) Berührpunkt B, dort wo h(x) die Steigung 1 hat, also
h'(x) = 1
2x - 2 = 1
x = 3/2
y = h(3/2) = (3/2)² - 2*3/2 = 9/4 - 3 = -0,75
B(1,5 | -0,75)
Spiegle dazu den Punkt B an der Spiegelachse
B'(-0,75 | 1,5 )
Die Seitenlänge ist der Abstand von B zu B'
Wurzel( 2,25² + 2,25² ) = 3,18
Dienstag, 19. März 2019
Nachtermin 2013
Nach der Stunde am Dienstag hat mich noch jemand von euch zu dem Termin gefragt. Hier sind Anmerkungen dazu:
2013 A1.1
Die Aufgabe ist auf den GTR zugeschnitten. Den Teil a) könnt ihr machen aber die Zahlen sind zu hässlich. Ich gebe hier den Lösungsweg an.
Ansatz für die Funktion: f(x) = a x³ + b x² + c x + d und damit die Ableitungen
f'(x) = 3a x² + 2b x + c und f"(x) = 6a x + 2b
Aus den Angaben durch Punkte und Wendepunkt erhaltet ihr ein LGS
f(0) = 3
f(2) = 2,8
f(4) = 3,4
f"(10/3) = 0
ergibt
d = 3
8 a + 4 b + 2 c + d = 2,8
64 a + 16 b + 4 c + d = 3,4
20 a + 2 b = 0
Man kann jetzt d=3 in II bis IV einsetzen und kriegt dann
8 a + 4 b + 2 c = -0,2
64 a + 16 b + 4 c = 0,4
20 a + 2 b = 0
Im GTR kann man das LGS direkt lösen. Von Hand mit Gauß ist es etwas mühsam und hässlich, aber machbar. Wenn ihr üben wollt, tut euch das an. Die Lösung ist in der Aufgabenstellung gegeben:
a = -0,025 (= -1/40)
b = 0,25 (= 1/4)
c = - 0,5 (= -1/2)
Tiefpunkt
War mit dem GTR ganz einfach, einfach Minimum suchen lassen. Für euch hässlich und mühsam, aber ein gute Übung.
Ableitung gleich null setzen
-0,075 x² + 0,5 x - 0,5 = 0
mit abc-Formel gibt es zwei Lösungen, wobei die mit x ungefähr 1,23 der Tiefpunkt ist, weil dort die zweite Ableitung positiv ist (Linkskurve, bzw. Krümmung nach oben macht Tiefpunkt). Die Andere führt zum Hochpunkt.
x=1,23 einsetzen in f(x) gibt die y-Koordinaten, also T(1,23|2,72)
Fläche
Muss man Integrieren von 0 bis 7. Konnte der GTR auch direkt mit Integral.
Für uns heißt das jetzt, Stammfunktion und dann F(7)-F(0). Sollte etwa 22,3 rauskommen.
Der Teil b) ist für euch nichts. Rotationskörper kommen nicht mehr dran. Die Frage mit "In welcher Höhe steigt ... am langsamsten" ist einfach: nämlich dort, wo f maximal ist, also beim Hochpunkt.
A 1.2
Umfang des Rechtecks U = 2*Breite + 2*Höhe, also hängt es von a ab:
U(a) = 2 (3 - a) + 2 e^(a/2)
U'(a) = -2 + e^a/2 = 0 (beim Maximum ist U'(a)=0)
e^(a/2) = 2
a = 2 ln(2)
A 2.1 a) geht wirklich nicht ohne GTR.
2.1 b) könnte man mit einer Wertetabelle machen.
Tiefpunkte von g_a(t):
g_a'(t) = (- a + 0,25 a t) * e^(-0,25 t) = 0
Die Klammer vor dem e-Term muss = 0 sein.
Alle Tiefpunkte bei t = 4.
Dort ist die Konzentration dann
g_a(4) = 9 - 4 a e^(-1) = 9 - 4 a/e
Das ist nur sinnvoll, wenn das Ergebnis nicht = 0 oder gar negativ wird. Es müssen ja immer noch Algen da sein. Naja, null ginge, dann sind die Algen dort ausgestorben, aber dann gibt die Funktion danach keinen Sinn mehr. Also:
9 - 4 a/e = 0
a = 9/4 * e = 2,25 * e.
Es darf also a nicht größer als 2,25 * e werden.
A 2.2
Tangente am Punkt P(u | 2/u) bestimmen
y = f'(u) * (x - u) + f(u) einsetzen
y = - 2/u² * (x - u) + 2/u vereinfachen
y = -2/u² *x + 4/u
Schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten (0 | 4/u) und (2u | 0)
Fläche des Dreiecks 1/2*Grundseite*Höhe
1/2 * 2u * 4/u = 4 - unabhängig vom Wert von u.
2013 A1.1
Die Aufgabe ist auf den GTR zugeschnitten. Den Teil a) könnt ihr machen aber die Zahlen sind zu hässlich. Ich gebe hier den Lösungsweg an.
Ansatz für die Funktion: f(x) = a x³ + b x² + c x + d und damit die Ableitungen
f'(x) = 3a x² + 2b x + c und f"(x) = 6a x + 2b
Aus den Angaben durch Punkte und Wendepunkt erhaltet ihr ein LGS
f(0) = 3
f(2) = 2,8
f(4) = 3,4
f"(10/3) = 0
ergibt
d = 3
8 a + 4 b + 2 c + d = 2,8
64 a + 16 b + 4 c + d = 3,4
20 a + 2 b = 0
Man kann jetzt d=3 in II bis IV einsetzen und kriegt dann
8 a + 4 b + 2 c = -0,2
64 a + 16 b + 4 c = 0,4
20 a + 2 b = 0
Im GTR kann man das LGS direkt lösen. Von Hand mit Gauß ist es etwas mühsam und hässlich, aber machbar. Wenn ihr üben wollt, tut euch das an. Die Lösung ist in der Aufgabenstellung gegeben:
a = -0,025 (= -1/40)
b = 0,25 (= 1/4)
c = - 0,5 (= -1/2)
Tiefpunkt
War mit dem GTR ganz einfach, einfach Minimum suchen lassen. Für euch hässlich und mühsam, aber ein gute Übung.
Ableitung gleich null setzen
-0,075 x² + 0,5 x - 0,5 = 0
mit abc-Formel gibt es zwei Lösungen, wobei die mit x ungefähr 1,23 der Tiefpunkt ist, weil dort die zweite Ableitung positiv ist (Linkskurve, bzw. Krümmung nach oben macht Tiefpunkt). Die Andere führt zum Hochpunkt.
x=1,23 einsetzen in f(x) gibt die y-Koordinaten, also T(1,23|2,72)
Fläche
Muss man Integrieren von 0 bis 7. Konnte der GTR auch direkt mit Integral.
Für uns heißt das jetzt, Stammfunktion und dann F(7)-F(0). Sollte etwa 22,3 rauskommen.
Der Teil b) ist für euch nichts. Rotationskörper kommen nicht mehr dran. Die Frage mit "In welcher Höhe steigt ... am langsamsten" ist einfach: nämlich dort, wo f maximal ist, also beim Hochpunkt.
A 1.2
Umfang des Rechtecks U = 2*Breite + 2*Höhe, also hängt es von a ab:
U(a) = 2 (3 - a) + 2 e^(a/2)
U'(a) = -2 + e^a/2 = 0 (beim Maximum ist U'(a)=0)
e^(a/2) = 2
a = 2 ln(2)
A 2.1 a) geht wirklich nicht ohne GTR.
2.1 b) könnte man mit einer Wertetabelle machen.
Tiefpunkte von g_a(t):
g_a'(t) = (- a + 0,25 a t) * e^(-0,25 t) = 0
Die Klammer vor dem e-Term muss = 0 sein.
Alle Tiefpunkte bei t = 4.
Dort ist die Konzentration dann
g_a(4) = 9 - 4 a e^(-1) = 9 - 4 a/e
Das ist nur sinnvoll, wenn das Ergebnis nicht = 0 oder gar negativ wird. Es müssen ja immer noch Algen da sein. Naja, null ginge, dann sind die Algen dort ausgestorben, aber dann gibt die Funktion danach keinen Sinn mehr. Also:
9 - 4 a/e = 0
a = 9/4 * e = 2,25 * e.
Es darf also a nicht größer als 2,25 * e werden.
A 2.2
Tangente am Punkt P(u | 2/u) bestimmen
y = f'(u) * (x - u) + f(u) einsetzen
y = - 2/u² * (x - u) + 2/u vereinfachen
y = -2/u² *x + 4/u
Schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten (0 | 4/u) und (2u | 0)
Fläche des Dreiecks 1/2*Grundseite*Höhe
1/2 * 2u * 4/u = 4 - unabhängig vom Wert von u.
Dienstag, 22. Januar 2019
Binomialverteilung mit Geogebra
Den Wahrscheinlichkeitsrechner von Geogebra gibt es auch online
https://www.geogebra.org/classic#probability
Wähle unten im Menu Binomial aus. (Beim Aufruf steht dort Normal für eine Gauß-Normalverteilung)
Dann kannst du die Zahl der Versuche n und die Trefferwahrscheinlichkeit p eingeben und siehst die Wahrscheinlichkeitsverteilung als Schaubild und als Wertetabelle.
https://www.geogebra.org/classic#probability
Wähle unten im Menu Binomial aus. (Beim Aufruf steht dort Normal für eine Gauß-Normalverteilung)
Dann kannst du die Zahl der Versuche n und die Trefferwahrscheinlichkeit p eingeben und siehst die Wahrscheinlichkeitsverteilung als Schaubild und als Wertetabelle.
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