Aufgabe 3 Puls eines Sportlers
a) Direkt nach der Übbung, bei t=0
b) Intersect mit y=100
c) 60 Schläge/min
d) t= ln(2) = 0,69...
e) von 0 bis 5 integrieren
f) Die Integralfunktion mit dem GTR aufstellen und dann Intersect mit 200.
Die Integralfunnktion ist P(t) = 60*t + 120*(1-e^(-t))
g) Belastung 200, Ruhe 70, Erholungszeit gleich. Wenn ich die e-Funktion z.B. e^(-0,8*t) gewählt hätte, würde sie langsamer abfallen und die Erholungszeit wäre länger, in dem Fall 1/0,8=1,25-mal so lang.
Aufgabe 2 Fahrradrennen
a) Steilste Stellen bei x=-4,20 (rauf) und 4,20 (runter), jeweils mit knapp 109% (naja, nicht ganz realistisch, ist wohl extrem-mountainbiking), das sind 47". tan(47°)=1,09
b) Erster Anstieg von 0,6 auf 1,98, also 1380 m, zweiter von 1,48 au 2,4 also 920 m
c) 10,26 km. Durch die Schrägen wird die Strecke also 260m länger als eine waagrechte Strecke.
Mittwoch, 16. März 2016
Aufgaben, Mittwoch 16.3.16
Mittelwerte
3a) Integral ist gleich 64/3+32=160/3 Mittelwert damit 40/3 = 13,333333333.....
b) Integral ist gleich 2+4/3-4=-2/3 und Mittelwert = -1/3
4) Ganz einfache Lösung: f(x) = 1
dazu kann man etwas addieren, was gleich viel positive wie negative Anteile hat, also
g(x) = 1 + x oder h(x) = 1 + x³ sind auch möglich. Ebenso ist k(x) = |x| nicht schlecht.
5a) Integral = (6-1)*m = 10
b) Das ist immer 0
c) A2 = 2,4, Flächen über und unter dem Mittelwert heben isch weg
Flächen ins Unendliche (unendlich lang und unendlich dünn)
6a) A = 1/2 b) kein Grenzwert c) A = 1/10
7a)
A=1
A=-2/9=-0,22222222222
3a) Integral ist gleich 64/3+32=160/3 Mittelwert damit 40/3 = 13,333333333.....
b) Integral ist gleich 2+4/3-4=-2/3 und Mittelwert = -1/3
4) Ganz einfache Lösung: f(x) = 1
dazu kann man etwas addieren, was gleich viel positive wie negative Anteile hat, also
g(x) = 1 + x oder h(x) = 1 + x³ sind auch möglich. Ebenso ist k(x) = |x| nicht schlecht.
5a) Integral = (6-1)*m = 10
b) Das ist immer 0
c) A2 = 2,4, Flächen über und unter dem Mittelwert heben isch weg
Flächen ins Unendliche (unendlich lang und unendlich dünn)
6a) A = 1/2 b) kein Grenzwert c) A = 1/10
7a)
A=1
b)
A=-2/9=-0,22222222222
Knobelaufgaben:
20
Flächen der Kreise zusammen sind endlich groß.
Sie sind kleiner als Fläche unter der Kurve ab x=1 (das ist 1) + das Quadrat zwischen (0|0) und (1|1) + das, was vom großen Kreis noch oben rausschaut
Ob es kleiner oder größer als 2 ist, ist etwas tricky.
19
Donnerstag, 18. Februar 2016
Aufgabe vom Mittwoch
Ist aus den Musteraugaben fürs Abi 2017 und war schon mal im Abi, nämlich 2013.
Die Aufgaben mit Lösungen findet ihr unter
http://www.mathe-aufgaben.com/aufgaben/abitur/bw-allgemein-bildende-gymnasien.html
Geht runter bis Abi 2013. Es ist die Aufgabe A2.
Es ist eingentlich alles ganz gut erklärt. Vorhin hat mich noch jemand auf die letzte Aufgabe angesprochen. Ich versuche, es mit anderen Worten als in der Lösung zu beschreiben.
w(t) = r(t) - 400 bedeutet, dass man gleichmäßig Wasser entnimmt, mit einer Rate von 400 Litern pro Stunde.
Man beginnt bei t=3 mit der Entnahme. Bis t=12 hat man also 9 Stunden lang entnommen. Also sind 9*400 Liter Wasser aus dem Tank rausgenommen.
Bis wann nimmt das Wasser zu? Die Funktion w(t) beschreibt die Änderungsrate der Wassermenge W(t) im Tank, also W'(t)=w(t). Solange w(t)>0, nimmt das Wasser zu, sobald w(t)<0, nimmt das Wasser ab.
Es nimmt also zu bis zur Nullstelle t=6,35 zu.
Das von t=0 bis t=3 geflossene Wasser ist bereits in b) berechnet.
Das Wasser von t=3 bis t=6.35 rechnet man mit dem Integral der Funktion w(t) aus. Laut Musterlösung kommt da 1806,3 Liter raus.
Die Aufgaben mit Lösungen findet ihr unter
http://www.mathe-aufgaben.com/aufgaben/abitur/bw-allgemein-bildende-gymnasien.html
Geht runter bis Abi 2013. Es ist die Aufgabe A2.
Es ist eingentlich alles ganz gut erklärt. Vorhin hat mich noch jemand auf die letzte Aufgabe angesprochen. Ich versuche, es mit anderen Worten als in der Lösung zu beschreiben.
w(t) = r(t) - 400 bedeutet, dass man gleichmäßig Wasser entnimmt, mit einer Rate von 400 Litern pro Stunde.
Man beginnt bei t=3 mit der Entnahme. Bis t=12 hat man also 9 Stunden lang entnommen. Also sind 9*400 Liter Wasser aus dem Tank rausgenommen.
Bis wann nimmt das Wasser zu? Die Funktion w(t) beschreibt die Änderungsrate der Wassermenge W(t) im Tank, also W'(t)=w(t). Solange w(t)>0, nimmt das Wasser zu, sobald w(t)<0, nimmt das Wasser ab.
Es nimmt also zu bis zur Nullstelle t=6,35 zu.
Das von t=0 bis t=3 geflossene Wasser ist bereits in b) berechnet.
Das Wasser von t=3 bis t=6.35 rechnet man mit dem Integral der Funktion w(t) aus. Laut Musterlösung kommt da 1806,3 Liter raus.
Sonntag, 14. Februar 2016
Übungen von vor den Ferien
Ohne Hilfsmittel
1a Produktregel 2x e^-x - x² e^-x
1b Kettenregel 1/2*(x²+1)^-1/2 * 2 x = x/Wurzel(x^2+1)
2
a) Stammfunktion 4/3 x^3 - 1/5 x^5 -> 32/3 - 32/5 + 32/3 - 32/5 = 64*(1/3 - 1/5) = 64*2/15=128/15
b) Stammfkt: 2 ln|x+1| -> 2 ln(3) - 2 ln(1) = 2 ln(3)
c) Stammf: -1/pi*cos(pi*x) -> 1/pi + 1/pi = 2/pi
3
a) z=x^3 z²-7z-8=0 z hat Lsgn 8 und -1. Damit hat x die Lsgn 2 und -1
b) cos(x)=0 -> Lsgn x=pi/2 und x=3/2*pi
sin(x)=-1 - > Lsg x=pi
4 Hier ist eine mögliche Stammfunktion in rot. Auf was habe ich geachtet?
bei x=-1 hat f eine Nullstelle. Die Stammfunktion hat dort eine waagr. Tangente.
Es ist ein Sattelpunkt, weil f dort NICHT das Vorzeichen wechselt.
f ist auf beiden Seiten negativ, also muss die Stammfunktion auf beiden seiten fallen.
bei x=1 hat f eine Nullstelle mit wechsel von - nach +.
Also fällt die Stammfunktion davor und wächst danach. Sie hat ein Minimum.
Das Minimum muss tiefer liegen als der Sattelpunkt. Weil f dazwischen negativ ist.
Daher muss die Stammfunktion abnehmen zwischen dem Sattelpunkt und dem Minimum.
Man kann noch auf Links- und Rechtskurven achten.
Dort wo f fällt, macht die Stammfunktion eine Rechtskurve, wo f steigt, eine Linkskurve.
Man kann die Stammfunktion beliebig nach oben oder unten verschieben. Ich habe zufällig einge genommen, deren Schaubild durch den Ursprung geht.
Mit Hilfsmitteln
a) Ableitung nehmen und dann Max bzw. Min finden.
Der Winkel mit der Horizontalen erfüllt tan(alpha)=m=f'(x)
bzw. im GTR alpha=tan^-1(m) wenn m die Steigung ist.
Achtung: Hier ist ein Winkel in Grad gefragt, also den GTR auf degree stellen!
Bei Prismen, Zylindern, bei allen Volumenberechnungen, die überall gleich dick sind, gilt V=G*h,
Grundfläche mal Höhe. Der Stollen "liegt", also ist die Höhe seine Länge. Die Grundfläche
berechnet man durch das Integral von -4 bis 4, wie beim Tor in der Klassenarbeit.
Diese Quadratmeterzahl dann mal 50 nehmen und man erhält das Volumen.
b) Abstand zwischen zwei Punkten A(x|y) und B(v|w) immer mit Pythagoras.
|AB| = Wurzel( (x-v)² + (y-w)² )
Hier ist A ein Punkt (x|f(x)) auf dem Schaubild und B(0|6). Der Abstand hängt ab von x:
d(x) = Wurzel( (x-0)² + (f(x) - 6)² )
Stelle diese Funktion im GTR dar (x von -4 bis 4) und suche ihre Minima.
Überprüfe, ob die größer oder kleiner als 1,4 sind.
1a Produktregel 2x e^-x - x² e^-x
1b Kettenregel 1/2*(x²+1)^-1/2 * 2 x = x/Wurzel(x^2+1)
2
a) Stammfunktion 4/3 x^3 - 1/5 x^5 -> 32/3 - 32/5 + 32/3 - 32/5 = 64*(1/3 - 1/5) = 64*2/15=128/15
b) Stammfkt: 2 ln|x+1| -> 2 ln(3) - 2 ln(1) = 2 ln(3)
c) Stammf: -1/pi*cos(pi*x) -> 1/pi + 1/pi = 2/pi
3
a) z=x^3 z²-7z-8=0 z hat Lsgn 8 und -1. Damit hat x die Lsgn 2 und -1
b) cos(x)=0 -> Lsgn x=pi/2 und x=3/2*pi
sin(x)=-1 - > Lsg x=pi
4 Hier ist eine mögliche Stammfunktion in rot. Auf was habe ich geachtet?
bei x=-1 hat f eine Nullstelle. Die Stammfunktion hat dort eine waagr. Tangente.
Es ist ein Sattelpunkt, weil f dort NICHT das Vorzeichen wechselt.
f ist auf beiden Seiten negativ, also muss die Stammfunktion auf beiden seiten fallen.
bei x=1 hat f eine Nullstelle mit wechsel von - nach +.
Also fällt die Stammfunktion davor und wächst danach. Sie hat ein Minimum.
Das Minimum muss tiefer liegen als der Sattelpunkt. Weil f dazwischen negativ ist.
Daher muss die Stammfunktion abnehmen zwischen dem Sattelpunkt und dem Minimum.
Man kann noch auf Links- und Rechtskurven achten.
Dort wo f fällt, macht die Stammfunktion eine Rechtskurve, wo f steigt, eine Linkskurve.
Man kann die Stammfunktion beliebig nach oben oder unten verschieben. Ich habe zufällig einge genommen, deren Schaubild durch den Ursprung geht.
Mit Hilfsmitteln
a) Ableitung nehmen und dann Max bzw. Min finden.
Der Winkel mit der Horizontalen erfüllt tan(alpha)=m=f'(x)
bzw. im GTR alpha=tan^-1(m) wenn m die Steigung ist.
Achtung: Hier ist ein Winkel in Grad gefragt, also den GTR auf degree stellen!
Bei Prismen, Zylindern, bei allen Volumenberechnungen, die überall gleich dick sind, gilt V=G*h,
Grundfläche mal Höhe. Der Stollen "liegt", also ist die Höhe seine Länge. Die Grundfläche
berechnet man durch das Integral von -4 bis 4, wie beim Tor in der Klassenarbeit.
Diese Quadratmeterzahl dann mal 50 nehmen und man erhält das Volumen.
b) Abstand zwischen zwei Punkten A(x|y) und B(v|w) immer mit Pythagoras.
|AB| = Wurzel( (x-v)² + (y-w)² )
Hier ist A ein Punkt (x|f(x)) auf dem Schaubild und B(0|6). Der Abstand hängt ab von x:
d(x) = Wurzel( (x-0)² + (f(x) - 6)² )
Stelle diese Funktion im GTR dar (x von -4 bis 4) und suche ihre Minima.
Überprüfe, ob die größer oder kleiner als 1,4 sind.
Donnerstag, 28. Januar 2016
Sonntag, 24. Januar 2016
Klausur Nr. 2 von vor Weihnachten
Lösung der ersten Aufgabe mit Hilfsmitteln (Boot fährt und bleibt stehen)
Zweite Aufgabe
Donnerstag, 14. Januar 2016
Nachschreiben in Mathe
Die Themen sind die gleichen, die ich euch schon für die Arbeit vor den Weihnachtsferien gegeben habe.
Ohne Hilfsmittel
1. Aufgaben zum Ableiten mit Produktregel, Kettenregel und e-Funktion dabei.
2. Gleichung Lösen. Denkt dran es gibt als Methoden
- umstellen
- ausklammern und als Produkt schreiben, Faktoren einzeln gleich null setzen.
- abc-Formel ("Mitternacht"), entweder ohne oder mit Substitution
3. Aufgaben vom NEW-Typ. Erkennen, dass f eine Wendestelle hat, wenn f' dort eine Extremstelle hat. Linkskurven, wenn f" > 0 ..... und solche Sachen.
Mit Hilfsmitteln Aufgaben in denen vorkommt:
anwendungsorientierte Aufgabe, einen Sachverhalt in eine Funktion und Rechnungen übersetzen
Extrema, Nullstellen, Wendestellen finden
Tangenten an Schaubilder finden, entweder
- von einem Punkt außerhalb des Schaubilds
(gerades Brett an eine Böschung lehnen, gerade noch über einen Hügel sehen können, ...=
- an einem Punkt auf dem Schaubild.
Integral interpretieren, gefahrene Strecke zu Geschwindigkeit (denkt an unseren Lastwagen), insgesamt geflossenes Wasser, wenn man die Durchflussrate kennt, .... entspricht immer der Fläche zwischen Schaubild und x-Achse.
Integral berechnen mit dem GTR (2nd calc und dann integrieren)
Ohne Hilfsmittel
1. Aufgaben zum Ableiten mit Produktregel, Kettenregel und e-Funktion dabei.
2. Gleichung Lösen. Denkt dran es gibt als Methoden
- umstellen
- ausklammern und als Produkt schreiben, Faktoren einzeln gleich null setzen.
- abc-Formel ("Mitternacht"), entweder ohne oder mit Substitution
3. Aufgaben vom NEW-Typ. Erkennen, dass f eine Wendestelle hat, wenn f' dort eine Extremstelle hat. Linkskurven, wenn f" > 0 ..... und solche Sachen.
Mit Hilfsmitteln Aufgaben in denen vorkommt:
anwendungsorientierte Aufgabe, einen Sachverhalt in eine Funktion und Rechnungen übersetzen
Extrema, Nullstellen, Wendestellen finden
Tangenten an Schaubilder finden, entweder
- von einem Punkt außerhalb des Schaubilds
(gerades Brett an eine Böschung lehnen, gerade noch über einen Hügel sehen können, ...=
- an einem Punkt auf dem Schaubild.
Integral interpretieren, gefahrene Strecke zu Geschwindigkeit (denkt an unseren Lastwagen), insgesamt geflossenes Wasser, wenn man die Durchflussrate kennt, .... entspricht immer der Fläche zwischen Schaubild und x-Achse.
Integral berechnen mit dem GTR (2nd calc und dann integrieren)
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