Lade das Geogebra-Programm aus dem Unterricht hoch_und_tiefpunkte.ggb herunter.
Du kannst es öffnen mit dem Web-Applet auf geogebra.org. (Klicke auf Download, dann Webstart, oder auch Appletstart)
Freitag, 30. November 2012
Mittwoch, 28. November 2012
Lösungen 2
5) Punkte A(4 2 -1) B(4 7 -1) C(7 7 3)
a) Stützvektor (4 2 -1), Spannvektoren (0 5 0) und (3 7 4). Normalenvektor (4 0 -3).
Normalengleichung [x - (4 2 -1)]*(4 0 -3) = 0
Koordinatengleichung 4 x1 - 3 x3 = 20
BA=(0 -5 0) ist orthogonal zu BC=(3 0 4). Beide haben die Länge 5.
Ortsvektor OD=OC+BA=(7 2 3)
b) Gerade x=(17 7 8) + t (3 1 4)
Normalenvektor mal Richtungsvektor (4 0 -3)*(3 1 4)=12 + 0 -12 = 0
Abstand: Koordinaten in Hesse: 4/5 x1 - 3/5 x3 - 4 = 0
4/5 * 17 - 3/5 * 8 - 4 = 68/5 - 24/5 - 5 = 44/5 - 5 = 19/5 = 3,8
c) M(5,5 4,5 1).
a) Stützvektor (4 2 -1), Spannvektoren (0 5 0) und (3 7 4). Normalenvektor (4 0 -3).
Normalengleichung [x - (4 2 -1)]*(4 0 -3) = 0
Koordinatengleichung 4 x1 - 3 x3 = 20
BA=(0 -5 0) ist orthogonal zu BC=(3 0 4). Beide haben die Länge 5.
Ortsvektor OD=OC+BA=(7 2 3)
b) Gerade x=(17 7 8) + t (3 1 4)
Normalenvektor mal Richtungsvektor (4 0 -3)*(3 1 4)=12 + 0 -12 = 0
Abstand: Koordinaten in Hesse: 4/5 x1 - 3/5 x3 - 4 = 0
4/5 * 17 - 3/5 * 8 - 4 = 68/5 - 24/5 - 5 = 44/5 - 5 = 19/5 = 3,8
c) M(5,5 4,5 1).
Lösungen
4 Quadratische Pyramide mit Grundfläche A(6 0 0) B(0 6 0) C(-6 0 0) D(0 -6 0) und Spitze S(0 0 12).
a) Volumen: Grundfläche ist ein Quadrat mit Diagonallänge 12, d.h. Fläche ist die Hälfte von 12^2, also 72. Damit ist das Volumen 1/3*72*12=288
b) Punkt hat Koordinaten (0 0 a). Seitenfläche mit Punkten ABS. Stützvektor (0 0 12). Spannvektoren
(6 0 -12) und (0 6 -12). Normalenvektor ist dazu n=(2 2 1). Normalengleichung
[x - (0 0 12)]*(2 2 1)=0 hat Koordinatengleichung 2 x1 + 2 x2 + x3 = 12 und Hesse
2/3 x1 + 2/3 x2 + 1/3 x3 - 4 = 0.
Abstand von (0 0 a) zu dieser Ebene ist daher |a/3 -4| und zur Grundebene a. Lösungen für a
a/3 - 4 = a | -a/3
-4 = 2/3 a | *3/2
-6 = a
und
4 - a/3 = a | +a/3
4 = 4/3 a | *3/4
3 = a
c) Alle Punkte der Geraden liegen auf der Höhe 12. Alle diese verschobenen Punkte machen also eine Pyramide mit Höhe 12.
a) Volumen: Grundfläche ist ein Quadrat mit Diagonallänge 12, d.h. Fläche ist die Hälfte von 12^2, also 72. Damit ist das Volumen 1/3*72*12=288
b) Punkt hat Koordinaten (0 0 a). Seitenfläche mit Punkten ABS. Stützvektor (0 0 12). Spannvektoren
(6 0 -12) und (0 6 -12). Normalenvektor ist dazu n=(2 2 1). Normalengleichung
[x - (0 0 12)]*(2 2 1)=0 hat Koordinatengleichung 2 x1 + 2 x2 + x3 = 12 und Hesse
2/3 x1 + 2/3 x2 + 1/3 x3 - 4 = 0.
Abstand von (0 0 a) zu dieser Ebene ist daher |a/3 -4| und zur Grundebene a. Lösungen für a
a/3 - 4 = a | -a/3
-4 = 2/3 a | *3/2
-6 = a
und
4 - a/3 = a | +a/3
4 = 4/3 a | *3/4
3 = a
c) Alle Punkte der Geraden liegen auf der Höhe 12. Alle diese verschobenen Punkte machen also eine Pyramide mit Höhe 12.
Dienstag, 20. November 2012
Blatt von Ende Oktober
Ich wollte noch die "zweite Aufgabe 6" besprechen, habe aber nie die Zeit gefunden. Hier eine Anleitung.
Aufgabe 6
Gegeben sind die Ebenen E: x_1 + 2 x_2 = 6 und F: 2 x_1 + 2 x_2 +3 x_3 = 12. Stellen Sie die Ebenen in einem Gemeinsamen Koordinatensystem dar. Zeichnen Sie die Schnittgerade.
Ansatz:
Von F erhält man die Spurpunkte S1(6 0 0), S2(0 6 0) und S3(0 0 4). Die kann man einzeichnen und verbinden zu einem Dreieck, das in der Ebene F liegt und sie so veranschaulicht.
E hat keinen Spurpunkt S3, weil sie parallel zur x_3-Achse liegt. Die anderen beiden sind S1(6 0 0) und S2(0 3 0). Man kann zwei Spurgeraden zeichnen, nämlich die vertikalen Parallelen zu x_3 durch diese beiden Punkte.
Man sieht damit die gemeinsamen Punkte von E und F. Das ist einmal der gemeinsame S1(6 0 0 ). Dann schneiden sich die beiden Spurgeraden in der x_2/x_3-Ebene, die Vertikale durch (0 3 0) und die Verbindung von (0 6 0) und (0 0 4), nämlich im Punkt (0 3 2). Damit haben wir einen zweiten Punkt, der in beiden Ebenen liegt.
Verbinde nun (0 3 2) mit (6 0 0). Diese gerade liegt in beiden Ebenen. Sie ist ihre Schnittgerade.
Aufgabe 6
Gegeben sind die Ebenen E: x_1 + 2 x_2 = 6 und F: 2 x_1 + 2 x_2 +3 x_3 = 12. Stellen Sie die Ebenen in einem Gemeinsamen Koordinatensystem dar. Zeichnen Sie die Schnittgerade.
Ansatz:
Von F erhält man die Spurpunkte S1(6 0 0), S2(0 6 0) und S3(0 0 4). Die kann man einzeichnen und verbinden zu einem Dreieck, das in der Ebene F liegt und sie so veranschaulicht.
E hat keinen Spurpunkt S3, weil sie parallel zur x_3-Achse liegt. Die anderen beiden sind S1(6 0 0) und S2(0 3 0). Man kann zwei Spurgeraden zeichnen, nämlich die vertikalen Parallelen zu x_3 durch diese beiden Punkte.
Man sieht damit die gemeinsamen Punkte von E und F. Das ist einmal der gemeinsame S1(6 0 0 ). Dann schneiden sich die beiden Spurgeraden in der x_2/x_3-Ebene, die Vertikale durch (0 3 0) und die Verbindung von (0 6 0) und (0 0 4), nämlich im Punkt (0 3 2). Damit haben wir einen zweiten Punkt, der in beiden Ebenen liegt.
Verbinde nun (0 3 2) mit (6 0 0). Diese gerade liegt in beiden Ebenen. Sie ist ihre Schnittgerade.
Montag, 15. Oktober 2012
WADI-Beispiele
Blatt B33
1a) 5 b)-10 und 10
2a) sqrt(44) b)-1 und -3
3 A:wahr B:wahr
4a) 1/5 (-4;0;3) b) (-2; -3; 4)
5a) 4 b)-2
6a) 5 -3 2 b) sqrt(18) c) 6
7) sqrt(3)
Blatt B34
1) Ebenengleichungen sind A,B,C,E
2) A,B,E
3) A:x:_2 B:=0 C:keine Vektorzeichen D: x= statt =0
4) B
5) x1-x3=2
6) Koordinaten: 2 x1-3 x2-4 x3 = 2
Normalen: (x - (1;0;0)) . (2;-3;-4)=0
Hesse: beide Gleichungen durch sqrt(4+9+16)=sqrt(29) teilen
Blatt B35
1a) nein b) ja c) nein
2a) a=2 b) a=0
3a) 2, 4, 3 b)3, keinen, 2 c) 3, keinen, keinen
4a) x1/4 + x2/2 + x3/6 = 1 oder 3 x1 + 6 x2 + 2 x3 = 12
b) x1/2 + x2/3 = 1 oder 3 x1 + 2 x2 = 6
5a) x1 - 2x2 + 2x3 = 1 b) ja
Blatt B36
1 Wahr ist: B,C,E, F(für a ungleich 0), G (Koordinatenebenen haben nur den Ursprung als eindeutigen Spurpunkt) , H
2 B
3a) x1=0 b) 2x1 + 3x3 = 6 c) x3=4 und x3=-4
4A: par zu x3-Achse
B: par zu x2x3-Ebene und den beiden Achsen
C: par zu x1x2-Ebene und den beiden Achsen
1a) 5 b)-10 und 10
2a) sqrt(44) b)-1 und -3
3 A:wahr B:wahr
4a) 1/5 (-4;0;3) b) (-2; -3; 4)
5a) 4 b)-2
6a) 5 -3 2 b) sqrt(18) c) 6
7) sqrt(3)
Blatt B34
1) Ebenengleichungen sind A,B,C,E
2) A,B,E
3) A:x:_2 B:=0 C:keine Vektorzeichen D: x= statt =0
4) B
5) x1-x3=2
6) Koordinaten: 2 x1-3 x2-4 x3 = 2
Normalen: (x - (1;0;0)) . (2;-3;-4)=0
Hesse: beide Gleichungen durch sqrt(4+9+16)=sqrt(29) teilen
Blatt B35
1a) nein b) ja c) nein
2a) a=2 b) a=0
3a) 2, 4, 3 b)3, keinen, 2 c) 3, keinen, keinen
4a) x1/4 + x2/2 + x3/6 = 1 oder 3 x1 + 6 x2 + 2 x3 = 12
b) x1/2 + x2/3 = 1 oder 3 x1 + 2 x2 = 6
5a) x1 - 2x2 + 2x3 = 1 b) ja
Blatt B36
1 Wahr ist: B,C,E, F(für a ungleich 0), G (Koordinatenebenen haben nur den Ursprung als eindeutigen Spurpunkt) , H
2 B
3a) x1=0 b) 2x1 + 3x3 = 6 c) x3=4 und x3=-4
4A: par zu x3-Achse
B: par zu x2x3-Ebene und den beiden Achsen
C: par zu x1x2-Ebene und den beiden Achsen
Dienstag, 3. Juli 2012
Hausi 30.6.12
Aufgabe 5, Seitenhalbierende eines Dreiecks.
Aufgabe 11, Flugzeug steigt entlang einer Geraden
Erläuterung zum Schwerpunkt eines Dreiecks, warum sich die Seitenhalbierenden schneiden und im Verhältnis 2:1 teilen.
 |
Abonnieren
Posts (Atom)