hatten wir mal als Wiederholung. Gibt es auch im Netz
http://lehrerfortbildung-bw.de/faecher/mathematik/gym/fb2/modul3/wadi_kursstufe_20_07_12.pdf
Mittwoch, 12. Dezember 2012
Dienstag, 4. Dezember 2012
Freitag, 30. November 2012
Geogebra-Programm für Hoch-, Tief-, Sattelpunkte
Lade das Geogebra-Programm aus dem Unterricht hoch_und_tiefpunkte.ggb herunter.
Du kannst es öffnen mit dem Web-Applet auf geogebra.org. (Klicke auf Download, dann Webstart, oder auch Appletstart)
Du kannst es öffnen mit dem Web-Applet auf geogebra.org. (Klicke auf Download, dann Webstart, oder auch Appletstart)
Mittwoch, 28. November 2012
Lösungen 2
5) Punkte A(4 2 -1) B(4 7 -1) C(7 7 3)
a) Stützvektor (4 2 -1), Spannvektoren (0 5 0) und (3 7 4). Normalenvektor (4 0 -3).
Normalengleichung [x - (4 2 -1)]*(4 0 -3) = 0
Koordinatengleichung 4 x1 - 3 x3 = 20
BA=(0 -5 0) ist orthogonal zu BC=(3 0 4). Beide haben die Länge 5.
Ortsvektor OD=OC+BA=(7 2 3)
b) Gerade x=(17 7 8) + t (3 1 4)
Normalenvektor mal Richtungsvektor (4 0 -3)*(3 1 4)=12 + 0 -12 = 0
Abstand: Koordinaten in Hesse: 4/5 x1 - 3/5 x3 - 4 = 0
4/5 * 17 - 3/5 * 8 - 4 = 68/5 - 24/5 - 5 = 44/5 - 5 = 19/5 = 3,8
c) M(5,5 4,5 1).
a) Stützvektor (4 2 -1), Spannvektoren (0 5 0) und (3 7 4). Normalenvektor (4 0 -3).
Normalengleichung [x - (4 2 -1)]*(4 0 -3) = 0
Koordinatengleichung 4 x1 - 3 x3 = 20
BA=(0 -5 0) ist orthogonal zu BC=(3 0 4). Beide haben die Länge 5.
Ortsvektor OD=OC+BA=(7 2 3)
b) Gerade x=(17 7 8) + t (3 1 4)
Normalenvektor mal Richtungsvektor (4 0 -3)*(3 1 4)=12 + 0 -12 = 0
Abstand: Koordinaten in Hesse: 4/5 x1 - 3/5 x3 - 4 = 0
4/5 * 17 - 3/5 * 8 - 4 = 68/5 - 24/5 - 5 = 44/5 - 5 = 19/5 = 3,8
c) M(5,5 4,5 1).
Lösungen
4 Quadratische Pyramide mit Grundfläche A(6 0 0) B(0 6 0) C(-6 0 0) D(0 -6 0) und Spitze S(0 0 12).
a) Volumen: Grundfläche ist ein Quadrat mit Diagonallänge 12, d.h. Fläche ist die Hälfte von 12^2, also 72. Damit ist das Volumen 1/3*72*12=288
b) Punkt hat Koordinaten (0 0 a). Seitenfläche mit Punkten ABS. Stützvektor (0 0 12). Spannvektoren
(6 0 -12) und (0 6 -12). Normalenvektor ist dazu n=(2 2 1). Normalengleichung
[x - (0 0 12)]*(2 2 1)=0 hat Koordinatengleichung 2 x1 + 2 x2 + x3 = 12 und Hesse
2/3 x1 + 2/3 x2 + 1/3 x3 - 4 = 0.
Abstand von (0 0 a) zu dieser Ebene ist daher |a/3 -4| und zur Grundebene a. Lösungen für a
a/3 - 4 = a | -a/3
-4 = 2/3 a | *3/2
-6 = a
und
4 - a/3 = a | +a/3
4 = 4/3 a | *3/4
3 = a
c) Alle Punkte der Geraden liegen auf der Höhe 12. Alle diese verschobenen Punkte machen also eine Pyramide mit Höhe 12.
a) Volumen: Grundfläche ist ein Quadrat mit Diagonallänge 12, d.h. Fläche ist die Hälfte von 12^2, also 72. Damit ist das Volumen 1/3*72*12=288
b) Punkt hat Koordinaten (0 0 a). Seitenfläche mit Punkten ABS. Stützvektor (0 0 12). Spannvektoren
(6 0 -12) und (0 6 -12). Normalenvektor ist dazu n=(2 2 1). Normalengleichung
[x - (0 0 12)]*(2 2 1)=0 hat Koordinatengleichung 2 x1 + 2 x2 + x3 = 12 und Hesse
2/3 x1 + 2/3 x2 + 1/3 x3 - 4 = 0.
Abstand von (0 0 a) zu dieser Ebene ist daher |a/3 -4| und zur Grundebene a. Lösungen für a
a/3 - 4 = a | -a/3
-4 = 2/3 a | *3/2
-6 = a
und
4 - a/3 = a | +a/3
4 = 4/3 a | *3/4
3 = a
c) Alle Punkte der Geraden liegen auf der Höhe 12. Alle diese verschobenen Punkte machen also eine Pyramide mit Höhe 12.
Dienstag, 20. November 2012
Blatt von Ende Oktober
Ich wollte noch die "zweite Aufgabe 6" besprechen, habe aber nie die Zeit gefunden. Hier eine Anleitung.
Aufgabe 6
Gegeben sind die Ebenen E: x_1 + 2 x_2 = 6 und F: 2 x_1 + 2 x_2 +3 x_3 = 12. Stellen Sie die Ebenen in einem Gemeinsamen Koordinatensystem dar. Zeichnen Sie die Schnittgerade.
Ansatz:
Von F erhält man die Spurpunkte S1(6 0 0), S2(0 6 0) und S3(0 0 4). Die kann man einzeichnen und verbinden zu einem Dreieck, das in der Ebene F liegt und sie so veranschaulicht.
E hat keinen Spurpunkt S3, weil sie parallel zur x_3-Achse liegt. Die anderen beiden sind S1(6 0 0) und S2(0 3 0). Man kann zwei Spurgeraden zeichnen, nämlich die vertikalen Parallelen zu x_3 durch diese beiden Punkte.
Man sieht damit die gemeinsamen Punkte von E und F. Das ist einmal der gemeinsame S1(6 0 0 ). Dann schneiden sich die beiden Spurgeraden in der x_2/x_3-Ebene, die Vertikale durch (0 3 0) und die Verbindung von (0 6 0) und (0 0 4), nämlich im Punkt (0 3 2). Damit haben wir einen zweiten Punkt, der in beiden Ebenen liegt.
Verbinde nun (0 3 2) mit (6 0 0). Diese gerade liegt in beiden Ebenen. Sie ist ihre Schnittgerade.
Aufgabe 6
Gegeben sind die Ebenen E: x_1 + 2 x_2 = 6 und F: 2 x_1 + 2 x_2 +3 x_3 = 12. Stellen Sie die Ebenen in einem Gemeinsamen Koordinatensystem dar. Zeichnen Sie die Schnittgerade.
Ansatz:
Von F erhält man die Spurpunkte S1(6 0 0), S2(0 6 0) und S3(0 0 4). Die kann man einzeichnen und verbinden zu einem Dreieck, das in der Ebene F liegt und sie so veranschaulicht.
E hat keinen Spurpunkt S3, weil sie parallel zur x_3-Achse liegt. Die anderen beiden sind S1(6 0 0) und S2(0 3 0). Man kann zwei Spurgeraden zeichnen, nämlich die vertikalen Parallelen zu x_3 durch diese beiden Punkte.
Man sieht damit die gemeinsamen Punkte von E und F. Das ist einmal der gemeinsame S1(6 0 0 ). Dann schneiden sich die beiden Spurgeraden in der x_2/x_3-Ebene, die Vertikale durch (0 3 0) und die Verbindung von (0 6 0) und (0 0 4), nämlich im Punkt (0 3 2). Damit haben wir einen zweiten Punkt, der in beiden Ebenen liegt.
Verbinde nun (0 3 2) mit (6 0 0). Diese gerade liegt in beiden Ebenen. Sie ist ihre Schnittgerade.
Montag, 15. Oktober 2012
WADI-Beispiele
Blatt B33
1a) 5 b)-10 und 10
2a) sqrt(44) b)-1 und -3
3 A:wahr B:wahr
4a) 1/5 (-4;0;3) b) (-2; -3; 4)
5a) 4 b)-2
6a) 5 -3 2 b) sqrt(18) c) 6
7) sqrt(3)
Blatt B34
1) Ebenengleichungen sind A,B,C,E
2) A,B,E
3) A:x:_2 B:=0 C:keine Vektorzeichen D: x= statt =0
4) B
5) x1-x3=2
6) Koordinaten: 2 x1-3 x2-4 x3 = 2
Normalen: (x - (1;0;0)) . (2;-3;-4)=0
Hesse: beide Gleichungen durch sqrt(4+9+16)=sqrt(29) teilen
Blatt B35
1a) nein b) ja c) nein
2a) a=2 b) a=0
3a) 2, 4, 3 b)3, keinen, 2 c) 3, keinen, keinen
4a) x1/4 + x2/2 + x3/6 = 1 oder 3 x1 + 6 x2 + 2 x3 = 12
b) x1/2 + x2/3 = 1 oder 3 x1 + 2 x2 = 6
5a) x1 - 2x2 + 2x3 = 1 b) ja
Blatt B36
1 Wahr ist: B,C,E, F(für a ungleich 0), G (Koordinatenebenen haben nur den Ursprung als eindeutigen Spurpunkt) , H
2 B
3a) x1=0 b) 2x1 + 3x3 = 6 c) x3=4 und x3=-4
4A: par zu x3-Achse
B: par zu x2x3-Ebene und den beiden Achsen
C: par zu x1x2-Ebene und den beiden Achsen
1a) 5 b)-10 und 10
2a) sqrt(44) b)-1 und -3
3 A:wahr B:wahr
4a) 1/5 (-4;0;3) b) (-2; -3; 4)
5a) 4 b)-2
6a) 5 -3 2 b) sqrt(18) c) 6
7) sqrt(3)
Blatt B34
1) Ebenengleichungen sind A,B,C,E
2) A,B,E
3) A:x:_2 B:=0 C:keine Vektorzeichen D: x= statt =0
4) B
5) x1-x3=2
6) Koordinaten: 2 x1-3 x2-4 x3 = 2
Normalen: (x - (1;0;0)) . (2;-3;-4)=0
Hesse: beide Gleichungen durch sqrt(4+9+16)=sqrt(29) teilen
Blatt B35
1a) nein b) ja c) nein
2a) a=2 b) a=0
3a) 2, 4, 3 b)3, keinen, 2 c) 3, keinen, keinen
4a) x1/4 + x2/2 + x3/6 = 1 oder 3 x1 + 6 x2 + 2 x3 = 12
b) x1/2 + x2/3 = 1 oder 3 x1 + 2 x2 = 6
5a) x1 - 2x2 + 2x3 = 1 b) ja
Blatt B36
1 Wahr ist: B,C,E, F(für a ungleich 0), G (Koordinatenebenen haben nur den Ursprung als eindeutigen Spurpunkt) , H
2 B
3a) x1=0 b) 2x1 + 3x3 = 6 c) x3=4 und x3=-4
4A: par zu x3-Achse
B: par zu x2x3-Ebene und den beiden Achsen
C: par zu x1x2-Ebene und den beiden Achsen
Dienstag, 3. Juli 2012
Hausi 30.6.12
Aufgabe 5, Seitenhalbierende eines Dreiecks.
Aufgabe 11, Flugzeug steigt entlang einer Geraden
Erläuterung zum Schwerpunkt eines Dreiecks, warum sich die Seitenhalbierenden schneiden und im Verhältnis 2:1 teilen.
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neue Mathe-Hilfeseite
Ich hatte ja schon mal auf den Integrator von Wolfram hingewiesen.
Heute habe ich von einer schönen Seite gelesen, http://www.serlo.org/, die als Nachhilfeseite von Studenten für die Schule gemacht worden ist. Ich hoffe, die wird noch weiter ausgebaut.
Heute habe ich von einer schönen Seite gelesen, http://www.serlo.org/, die als Nachhilfeseite von Studenten für die Schule gemacht worden ist. Ich hoffe, die wird noch weiter ausgebaut.
Dienstag, 12. Juni 2012
Eine Frage ...
Von einem Kursmitglied möchte ich Euch nicht vorenthalten.
> ich hätte da noch eine Frage zur Klausur. Kommen Differenzialgleichungen
> also nicht dran?
Doch, ein wenig, aber nur für das exponentielle Wachstum mit f'(x)=k f(x) oder den exponentiellen Zerfall mit f'(x)=-k f(x). Siehe Blatt im Blog.
Beispiele für Wachstum wären Bakterien, oder Ausbreitung einer Krankheit, oder Inflation, oder ...
Beispiele für Zerfall wäre Radioaktivität, oder Temperaturabnahme (die Differenz zur Umgebungstemperatur), oder ..
M.
Montag, 11. Juni 2012
Übungsklausur
Hier wie heute besprochen ein Übungsblatt im Stil der Klausur am Mittwoch.
Die Mischungsaufgabe hier ist definitiv schwieriger als in der echten Klausur. Da wollte ich eher sowas wie die Preise von Weinkartons oder Garben guter, mittlerer und schlechter Ernte dranbringen.
Die Virenaufgabe habe ich mir selbst ausgedacht und kann nicht garantieren, dass die Lösung biologisch oder medizinisch sinnvoll ist.
Die LGS und die Kurve in 1 und 2 sind Standard. Ich habe sie allerdings nicht auf "nette" Zahlen überprüft. Kann also sein, dass blöde Brüche und krumme Zahlen rauskommen. Nehmt notfalls den GTR. Am Mittwoch kommt eine Aufgabe mit glatten Zahlen.
Morgen poste ich noch Lösungshinweise und fertige Lösungen getrennt voneinander.
Die Mischungsaufgabe hier ist definitiv schwieriger als in der echten Klausur. Da wollte ich eher sowas wie die Preise von Weinkartons oder Garben guter, mittlerer und schlechter Ernte dranbringen.
Die Virenaufgabe habe ich mir selbst ausgedacht und kann nicht garantieren, dass die Lösung biologisch oder medizinisch sinnvoll ist.
Die LGS und die Kurve in 1 und 2 sind Standard. Ich habe sie allerdings nicht auf "nette" Zahlen überprüft. Kann also sein, dass blöde Brüche und krumme Zahlen rauskommen. Nehmt notfalls den GTR. Am Mittwoch kommt eine Aufgabe mit glatten Zahlen.
Morgen poste ich noch Lösungshinweise und fertige Lösungen getrennt voneinander.
Samstag, 9. Juni 2012
Übungsblätter 3
Blatt zum Wachstum
1a) 10*e^(0,5x) b)3*e^x c) 3*e^(-0.3x)
2a) f'(x) = 0,4 f(x) b) f'(x) = -0,25 f(x) c) f'(x) = 0,1 f(x)
3a) f(x) = 20 - 15 e^(-0,3 x)
b) f(x) = 20 + 40 e^(-0,3 x)
c) f(x) = 20 - 20 e^(-0,3 x)
4a) f'(x)=-0,12 (200-f(x))
b) f'(x) = -0,5 (50 - f(x))
c) f'(x) = -0,25 (1000 - f(x))
5 a3 b1 c2
6a) f'(x)=k f(x) mit k=ln 0,9176
b) exponentielles negatives Wachstum bzw. exponentielle Abnahme
c) f(x) = 10*e^(k x) mit k wie oben
d) f'(0)=10*k
7a) f'(x)= 3 - 0,02*f(x) (genauer wäre ln 0,98 statt -0,02)
b) f'(x)=0,02*(150-f(x)) beschränktes Wachstum
c) f(x)=150 - 130*e^(-0,02 x)
d) 150
e) bei 20l f'(x)=0,02*(150-20) l/h = 2,6 l/h
bei 100l = 0,02*(150-100) l/h = 1 l/h
f) f(x)= 150 + 50*e^(-0,02 x)
bei 200l -1 l/h und bei 170l -0,4 l/h
8 Modellierung a ist exakt (siehe auch Aufgaben 6 und 7)
Die Kultur hat anfangs 5000 Bakterien und vermehrt sich in jeder Stunde um den Faktor e^0,5.
1a) 10*e^(0,5x) b)3*e^x c) 3*e^(-0.3x)
2a) f'(x) = 0,4 f(x) b) f'(x) = -0,25 f(x) c) f'(x) = 0,1 f(x)
3a) f(x) = 20 - 15 e^(-0,3 x)
b) f(x) = 20 + 40 e^(-0,3 x)
c) f(x) = 20 - 20 e^(-0,3 x)
4a) f'(x)=-0,12 (200-f(x))
b) f'(x) = -0,5 (50 - f(x))
c) f'(x) = -0,25 (1000 - f(x))
5 a3 b1 c2
6a) f'(x)=k f(x) mit k=ln 0,9176
b) exponentielles negatives Wachstum bzw. exponentielle Abnahme
c) f(x) = 10*e^(k x) mit k wie oben
d) f'(0)=10*k
7a) f'(x)= 3 - 0,02*f(x) (genauer wäre ln 0,98 statt -0,02)
b) f'(x)=0,02*(150-f(x)) beschränktes Wachstum
c) f(x)=150 - 130*e^(-0,02 x)
d) 150
e) bei 20l f'(x)=0,02*(150-20) l/h = 2,6 l/h
bei 100l = 0,02*(150-100) l/h = 1 l/h
f) f(x)= 150 + 50*e^(-0,02 x)
bei 200l -1 l/h und bei 170l -0,4 l/h
8 Modellierung a ist exakt (siehe auch Aufgaben 6 und 7)
Die Kultur hat anfangs 5000 Bakterien und vermehrt sich in jeder Stunde um den Faktor e^0,5.
Übungsblätter 2
Die S19 "Lösen von Anwendungsproblemen"
17: Preise von Weinflaschen
x1 = 6€; x2 = 8€; x3 = 11€
18:Kupferlegierungen
a) x1=1/6; x2=1/6; x3=2/3
b) es gibt keine sinnvolle Lösung. Aus dem LGS erhält man x1=5/6; x2=-1/6; x3=1/3. Man kann nicht -1/6 von Legierung 2 nehmen.
19: Merkmale vererben. Ist etwas anders als das, was wir bisher gemacht haben. Wers raushat: Bravo. Hier die Lösungen. Im Aufgabentext ist außerdem ein Druckfehler: Fliegen B haben mit Wahrscheinlichkeit 0,4=40% Nachkommen vom Typ A, NICHT mit 4%. Das LGS ist
0,7 a + 0,4 b + 0,4 c = a
0,1 a + 0,5 b + 0,2 c = b
0,2 a + 0,1 b + 0,4 c = c
bzw.
-0,3 a + 0,4 b + 0,4 c = 0
0,1 a - 0,5 b + 0,2 c = 0
0,2 a + 0,1 b - 0,6 c = 0
und die Lösung wird zunächst
c=t beliebig; b=10/11 t; a = 28/11 t
Jetzt muss man t so wählen, dass a+b+c=100%=1, also t=11/49, und man erhält
a=28/49=4/7; b=10/49; c=11/49
17: Preise von Weinflaschen
x1 = 6€; x2 = 8€; x3 = 11€
18:Kupferlegierungen
a) x1=1/6; x2=1/6; x3=2/3
b) es gibt keine sinnvolle Lösung. Aus dem LGS erhält man x1=5/6; x2=-1/6; x3=1/3. Man kann nicht -1/6 von Legierung 2 nehmen.
19: Merkmale vererben. Ist etwas anders als das, was wir bisher gemacht haben. Wers raushat: Bravo. Hier die Lösungen. Im Aufgabentext ist außerdem ein Druckfehler: Fliegen B haben mit Wahrscheinlichkeit 0,4=40% Nachkommen vom Typ A, NICHT mit 4%. Das LGS ist
0,7 a + 0,4 b + 0,4 c = a
0,1 a + 0,5 b + 0,2 c = b
0,2 a + 0,1 b + 0,4 c = c
bzw.
-0,3 a + 0,4 b + 0,4 c = 0
0,1 a - 0,5 b + 0,2 c = 0
0,2 a + 0,1 b - 0,6 c = 0
und die Lösung wird zunächst
c=t beliebig; b=10/11 t; a = 28/11 t
Jetzt muss man t so wählen, dass a+b+c=100%=1, also t=11/49, und man erhält
a=28/49=4/7; b=10/49; c=11/49
Donnerstag, 7. Juni 2012
Übungsblätter
Ich fange an mit den Funktionenbestimmungen aus LGSen,
die wir auch vor den Ferien begonnen haben. Hier die Ergebnisse:
S8/2
f(x)=1/2 x³ - 3/2 x² + 2
S9/3
f(x)=1/2 x³ - 3x² + 9/2 x
S9/4
a) f(x) = x³ - 6x² + 9x
b) f(x) = 1/4 x³ + x²
c) f(x) = 2/3 x³ + 2x²
Noch eine Bemerkung zu 4c) Aus der Tatsache, dass bei -2 ein HP ist, also f'(-2)=0, erhält man noch nicht das vollständige System. Denn diese Gleichung ist äquivalent zur Gleichung f(-3)=0, weil in diesem Fall a0=0 und a1=0. Man muss den y-Wert nehmen, also f(-2)=8/3.
S9/5 Diese Aufgaben enthalten einen Gedankengang (im Kasten erklärt),
den wir noch genauer behandeln werden. Ich bringe daher NICHTS
mit Symmetrieüberlegungen. Wer's trotzdem kann, bravo!
a) f(x) -1/11 x³ + 12/11 x
b) f(x) = 1/4 x^4 - 3/2 x²
c) f(x) = -1/2 x^4 + 5/4 x³ + x
d) ist nicht eindeutig bestimmbar f(x) = t x² + 1,5
S9/6
f(x) = 0,007 x² - 0,2 x
die wir auch vor den Ferien begonnen haben. Hier die Ergebnisse:
S8/2
f(x)=1/2 x³ - 3/2 x² + 2
S9/3
f(x)=1/2 x³ - 3x² + 9/2 x
S9/4
a) f(x) = x³ - 6x² + 9x
b) f(x) = 1/4 x³ + x²
c) f(x) = 2/3 x³ + 2x²
Noch eine Bemerkung zu 4c) Aus der Tatsache, dass bei -2 ein HP ist, also f'(-2)=0, erhält man noch nicht das vollständige System. Denn diese Gleichung ist äquivalent zur Gleichung f(-3)=0, weil in diesem Fall a0=0 und a1=0. Man muss den y-Wert nehmen, also f(-2)=8/3.
S9/5 Diese Aufgaben enthalten einen Gedankengang (im Kasten erklärt),
den wir noch genauer behandeln werden. Ich bringe daher NICHTS
mit Symmetrieüberlegungen. Wer's trotzdem kann, bravo!
a) f(x) -1/11 x³ + 12/11 x
b) f(x) = 1/4 x^4 - 3/2 x²
c) f(x) = -1/2 x^4 + 5/4 x³ + x
d) ist nicht eindeutig bestimmbar f(x) = t x² + 1,5
S9/6
f(x) = 0,007 x² - 0,2 x
Mittwoch, 7. März 2012
Übungsblatt
Aufgabe 6
mit binomischer Formel f(x)=1-1/x² und dann F(x)=x+1/x
Bruch auftrennen in zwei Brüche g(x)=5/x²-4/x³ und dann G(x)=-5/x+2/x²
umschreiben zu h(x)=e^(-ln(10) x) und dann H(x)=-1/ln(10) 10^(-x)
Aufgabe 5
Gesamte Kosten: Integral von 0 bis 400 über K(x)dx: 13022. Mittelwert:13022/400.
Integralfunktion aufstellen: von 0 bis x über K(z)dz. Dann durch x teilen. Im GTR:
Y1 =(X-600)²/15000+21
Y2=fnInt(Y1,X,0,X)/X
Schnittpunkt von Y2 mit
Y3=37 suchen. Ergebnis: X=229
Aufgabe 3
Es reicht, eins der 4 Blätter zu berechnen. Dann mal 4 nehmen.
f(x)=x², g(x)=sqrt(x), deren Differenz von 0 bis 1 integrieren.
G(x)-F(x)=2/3 x^(3/2)-1/3 x³ gibt 2/3-1/3=1/3. Gesamtfläche 4/3.
Aufgabe 4
Erst f(x) von -1 bis 1, dann g(x) von 1 bis sqrt(2). Ergebnis dann noch verdoppeln, wegen Symmetrie.
F(x)=-1/6 x³+x/2 von -1 bis 1 gibt das 1/3-(-1/3)=2/3
G(x)=1/6 x³-x/2 von 1 bis sqrt(2) gibt das 0,0976
Zusammen und dann verdoppelt sind das 1,529
Aufgabe 2
Halbkreis f(x)=sqrt(100-x²)
integriere pi*f(x)^2 von 8 bis 10.
Stammfunktion pi*(100x-x³/3) von 8 bis 10 gibt 117,3.
mit binomischer Formel f(x)=1-1/x² und dann F(x)=x+1/x
Bruch auftrennen in zwei Brüche g(x)=5/x²-4/x³ und dann G(x)=-5/x+2/x²
umschreiben zu h(x)=e^(-ln(10) x) und dann H(x)=-1/ln(10) 10^(-x)
Aufgabe 5
Gesamte Kosten: Integral von 0 bis 400 über K(x)dx: 13022. Mittelwert:13022/400.
Integralfunktion aufstellen: von 0 bis x über K(z)dz. Dann durch x teilen. Im GTR:
Y1 =(X-600)²/15000+21
Y2=fnInt(Y1,X,0,X)/X
Schnittpunkt von Y2 mit
Y3=37 suchen. Ergebnis: X=229
Aufgabe 3
Es reicht, eins der 4 Blätter zu berechnen. Dann mal 4 nehmen.
f(x)=x², g(x)=sqrt(x), deren Differenz von 0 bis 1 integrieren.
G(x)-F(x)=2/3 x^(3/2)-1/3 x³ gibt 2/3-1/3=1/3. Gesamtfläche 4/3.
Aufgabe 4
Erst f(x) von -1 bis 1, dann g(x) von 1 bis sqrt(2). Ergebnis dann noch verdoppeln, wegen Symmetrie.
F(x)=-1/6 x³+x/2 von -1 bis 1 gibt das 1/3-(-1/3)=2/3
G(x)=1/6 x³-x/2 von 1 bis sqrt(2) gibt das 0,0976
Zusammen und dann verdoppelt sind das 1,529
Aufgabe 2
Halbkreis f(x)=sqrt(100-x²)
integriere pi*f(x)^2 von 8 bis 10.
Stammfunktion pi*(100x-x³/3) von 8 bis 10 gibt 117,3.
Montag, 6. Februar 2012
Integration und Stammfunktionen
Sehr schöne und vor allem umfassende Matheseiten hat Arndt Brünner aus Gelnhausen.
Hier ist ausführlich erklärt, wie man auf Stammfunktionen von Ausdrücken wie sin(3x+5) kommt, und vor allem den Faktor 1/3.
Hier ist ausführlich erklärt, wie man auf Stammfunktionen von Ausdrücken wie sin(3x+5) kommt, und vor allem den Faktor 1/3.
Mittwoch, 1. Februar 2012
Donnerstag, 26. Januar 2012
Hauptsatz
Ein Geogebra-Applet zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. (auf Download klicken, die Seite öffnet sich im Browser)
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