Komplexe Aufgaben, 2. Blatt

Aufgabe 4

1. Eindeutig bestimmt ist die Ebene, wenn der Punkt P nicht auf g liegt. Das zeigt man mit der Punktprobe:
   (5 6 -2) = (7 -5 -26) +t*(-3 4 12) hat keine Lösung für t.
2. Hier ist ein Druckfehler. Der Punkt muss (1 3 -2) sein. Der liegt auf g mit Lösung s=2.
   Zeige dazu, dass ua orthogonal auf dem Richtungsvektor (-3 4 12) steht für alle a (also dass das Skalarprodukt gleich 0 ist)
   Welches a ist der Wert. Wieder Punktprobe
   (5 6 -2) = (1 3 -2) + t*(8a-12  3a  a-3) und schaun, für elches a es eie Lösung gibt.
   
   I     4 = 8at - 12t
   II    3 = 3at
   III   0 = at - 3t
   
   aus II folgt, dass at=1. Dann folgt aus I, dass t=1/3 und a=3. Die gleiche Lösung passt auch in III. Der gesuchte Wert ist also a=3.
3. PAB ist ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis |AB|=26. Wenn man von P orthogonal auf g zugeht, trifft man den Fußpunkt F genau in der Mitte von A und B.
   Bestimme also zunächst den Fußpunkt F. Entweder über die Orthogonalitätsbedingung, oder indem man eine Hilfsebene H mit Stützpunkt P und Normalenvektor (-3 4 12), dem Richtungsvektor von g aufstellt.
   Schneide dann H mit g. Du erhältst F.
   Berechne den Einheitsvektor zu (-3 4 12), das ist (-3/13  4/13  12/13). Gehe dann
   F aus 13-mal den Einheitsvektor in beide Richtungen, also mit (-3 4 12) und (3 -4 -12).

Aufgabe 5

1. Eckpunkte eines Dreiecks: Sie liegen nicht auf einer Linie. Das heißt z.B., dass die Vektoren AB und AC nicht linear abhängig sind.
   Konkret: AB = (6  -8  10)  und AC = (6 -8 -10), sind nicht parallel.
   Sie sind gleich lang  |AB|=|AC|  -->  gleichschenklig
   Sie sind orthogonal   AB*AC = 36 + 64 -100 = 0    ---> rechtwinklig
   (gleichschenklig und rechtwinklig: so eine Form hat ein Geodreieck)
   Man kann 2 Geodreiecke zu einem Quadrat zusammenlegen. Das gibt dann für den Punkt P die Koordinaten
   OP = OB + AC = ( 1 4 23) + (6 -8 -10)   = (7 -4  13), also   P(7|-4|13)
2. Alle Geraden haben den selben Richtungsvektor u = (1  -2  2). Man kann ihn als einen Spannvektor der Ebenen nehmen.
   Den anderen Spannvektor erhält man, indem man zwei Stützpunkte mit verschiedenen a nimmt und den Vektor zwischen ihnen berechnet. Für a=1 und a=0 ist das z.B.
   v = (-12 1 2) - (-12 0 2) = (0 1 0)
   Also ist eine Parametergleichunng der Ebene ist also
   x = (-12 0 2) + r*(1 -2 2) + s*(0 1 0)
3. g hat als Richtungsvektor AB = (6 -8 10), das ist nicht parallel zu (1 -2  2).
   Schnittunkt Q. Am besten die Ebene in Koordinatengleichung schreiben.
   Normalenvektor
   n1  - 2 n2 + 2 n3  = 0       I
              n2              = 0      II
   II in I einsetzen, und dann als Lösung z.B. n3= 1 gibt     n=(-2   0  1)
   Ebenengleichung -2 x1   +  x3  = 26
   Schneiden mit g:   x=(-5  12   13) + t*(6  -8  10)
   -2(-5 + 6t)    +  (13+10t)  = 26
   10  - 12t   +  13  + 10t    = 26
   -2t  = 3
   t = -1,5
   Schnittpunkt  OQ = (-5  12  13) - 1,5*(6  -8  10 )  =  (-14  24  -2)
   
   Schnittwinkel aus Normalenvektor und Richtungsvektor
   sin(alpha) = |(6 -8 10)*(-2 0 1)|/(|(6 -8 10)|*|(-2 0 1)|)  =
      |-2| /(Wurze(200)*Wurzel(5)) = 0,06325      --> alpha = 3,63°
4. Dazu muss man die Spitze S an der Grundfläche spiegeln

Blatt mit dem Stuttgarter Flughafen

Aufgabe 5

1. Länge der Äste. Beträge berechnen der Vektoren
   MA=(3 0 2), MB=(-1,5 2,598 2), MC=(-1,5 -2,598 2)
   Kommt überall Wurzel(13)=3,606 raus.
2. MA*MB/(|MA|*|MB|) = (-4,5 + 4)/13 = -1/26   damit ist der Winkel 92,2°
3. Das Dach ist waagrecht in der Ebene x3 = 12, hat also als Normalenvektor (0 0 1).
   Schnitt einer Geraden mit Richtung MB und der Dachebene.
   sin(alpha) = 2 / Wurzel(13) = 0,555       alpha=33,7°
4. Normalenvektore zu MAB
   3 n1 +         2 n3 = 0
   1,5 n1 + 2,598 n2 + 2 n3 = 0
   Lösung z.B. n = (2   1,155    -3)
   
   Normalenvektor zu MBC
   -1,5 m1 + 2,598 m2 + 2 m3  = 0
   -1,5 m1 - 2,598 m2 + 2 m3 = 0
   Lösung z.B.   m = (4  0   3)
   
   Winkel dazwischen   cos(alpha) = |m*n|/(|m|*|n|)  = |8 - 9|/(3,786*5) = 0,0528
   alpha = 87,0°

Aufgabe 4

1. Rechnung für die Kante AS
   Sie liegt auf der Geraden x = (0 0 9) + t* (3 3 9)
   Schnitt:   3*3t + 4*(9 + 9t) = 21
                   45 t = -15
                   t = -1/3
                   Schnittpunkt   Sa (-1  -1  6)
   Entsprechend berechnet man Sb = (1  -1   6)
   und für die Kante DS hat man die Gerade  = (0 0 9) + t*(3  -3 9)
   Schnitt:    3*(-3t) + 4*(9+9t) = 21
                    27 t = -15
                    t = -5/9
                    Schnittpunkt Sd(-5/3  5/3  4)
   Entsprechend berechnet man Sc(5/3  5/3  4)
2. Die Schnittfläche ist ein Trapez mit Oberseite |Sa Sb| = 2, Unterseite |Sc Sd| = 10/3
   Die Höhe ist der Abstand zwischen dem Mittelpunkt von SaSb und dem Mittelpunkt von ScSd. Das sind die Punkte (0 -1 6) und (0 5/3 4). Der Abstand ist damit  Wurzel((8/3)²+2²)=10/3.
   Fläche des Trapezes  (2 + 10/3)/2 * 10/3 = 80/9 = 8,89
3. Hesse der Ebene, Spitze einsetzen
   d = |3*0+4*9 - 21|/5 = 15/5 = 3

Aufgabe 3

1. Spiegelung an x3-Achse   A'(-3|0|0), B'(0|-1|0), C'(0|0|2)=C
2. Eine Raute. Diagonalen haben die Längen AA'=6 und BB'=2. Flächeninhalt ist 6*2/2=6
3. x3-Achse hat Richtungsvektor (0 0 1).
   Die Ebene hat den Normalenvektor (2 6 3)   (prüft es nach).
   Schnittwinkel: sin(alpha) = |0*2+0*6+1*3|/(1*7)=3/7 und alpha=25,4°

U-Boot und Dachaufbau

Aufgabe 4 - U-Boot

1. Gerade mit der Bahn des U-Boot  x = (25  -12  -4) + t*(-2  3   1)
   Ebene mit der Wasseroberfläche    x3 = 0
   Beide schneiden, gibt die Gleichung     -4  + t *1= 0, also t=4 und damit
   den Schnittpunkt  (17  0   0) 
2. Meeresboden ist die Ebene   x3 = -8
   Schnitt gibt die Gleichung    -4   + t*1  = -8, also t=-4 und damit
   den Schnittpunkt (33  -24   -8)
   

Aufgabe 5 - Dach

1. Hatten wir recht intensiv im Unterricht, drum hier nur kurz
   H(2,5|5|9) und die Gerade HF hat die Gleichung x=(2,5  5  9) + t*(0 1 0)
   Schneiden mit der Dachebene gibt den Schnittpunkt  F(2,5  1,25   9).
   Firstlänge 3,75.
2. Dachebene in Koordinatengleichung    4 x2  + 5 x3  = 50
   Hesse-Form    |4  x2 +  5 x3  -50| /Wurzel(41)
   den Punkt H eingesetzt gibt |4*5 + 5*9 -50|/Wurzel(41) = 15/Wurzel(41) = 2,34
3. Das Dreieck CDF ist gleichschenklig.
   Grundseite |CD|=5
   Höhe ist die Länge von F zur Mitte zw. C und D, Wurzel(3²+3,75²)=4,80
   Grundfläche ist 1/2*4,80*5 = 12,01   (Zwischenergebnis nicht gerundet sondern ANS)
   Dann in die Volumenformel eingesetzt gibt es 9,375.
   
   Mann kann auch die Pyramide mit Grundfläche HCD betrachten und Höhe HF. Dann braucht man gar keine Wurzeln und kommt auch auf 9,375.

Probelauf einer Klausur

Aufgabe 1
1:
Standardweg: Bestimme einen Normalenvektor für E und zeige, dass der Richtungsvektor der Gerade orthogonal dazu ist (Skalarprodukt=0).
Abkürzung: Der Richtungsvektor ist -1,5 mal der eine Spannvektor., also parallel dazu.

2: LGS aufstellen.
        2 n2 + n3 = 0
3 n1 - 2 n2 - 2 n3 = 0
mögliche Lösung    n3 = 2,  n2 = -1,  n1 = 2/3   oder  n1 = 2,  n2=-3,  n3 = 6
Koordinatengleichung ist damit     2 x1 - 3 x2 + 6 x3 = 39

3;  Hesseform. Stützpunkt von g einsetzen.
  (2*(-1) -3*(-2) + 6*3 - 39)/7 = -17/7


Aufgabe 2
1: Skalarprodukt (2 -2 1)*(1 2 2) = 2-4+2 = 0. orthogonal.
2: Hänge den Vektor AB and D dran. Man erhält C(3|0|3). Es ist ein Quadrat, weil die Seiten AB und AD gleich lang sind, nämlich Wurzel(1+4+4)=3

3:
Mittelpunkt der Grundfläche ist der Punkt in der Mitte zwischen A und C (oder B und D), Das ist M(1,5|0|1,5).
Normalenvektor der Ebene, in der die Grundfläche liegt:
I     2 n1 - 2 n2 + n3 = 0
II    n1 + 2 n2 + 2 n3 = 0
---------------------------------
I      2 n1 - 2 n2 + n3 = 0
I+II 3 n1           + 3 n3  = 0     Lösung n3= t,  n1 = -t,  n2 = -t/2, also z.B.  n=(2  1  -2)
Das heißt, die Spitze liegt auf der Geraden
x = (1,5  0   1,5)  + t*(2   1   -2)
Welche Punkte dabei haben den Abstand 4 zur Grundfläche bzw. zum Punkt M?
Die bei denen |t*(2  1 -2)| = 4,
aber der Betrag des Normalenvektors  |(2 1 -2)| =  3, also t=4/3  und t=-4/3
Damit sind die beiden Punkte
S1 = (3/2  0  3/2)  + 4/3*(2  1 -2)  =  (25/6   4/3  -7/6)   und
S2 = (3/2  0  3/2)  -  4/3*(2  1 -2)  =  (-7/6  -4/3  25/6) 

4:
Hier geht es um den Abstand des Punktes A von der Grundfläche, in der BSD liegt.
Standardweg:
Stelle die Koordinatengleichung für die Ebene mit BSD auf. Mache ein Hesse draus und setze A ein.
Abkürzung:
Man kann sich aber auch überlegen, dass die eine Seitenfläche BDA der Pyramide die Hälfte des Quadrates ABCD ist, und damit die Höhe der neuen Pyramide die Verbindungslinie AM ist (so hats JPvG gemacht). Also ist die Höhe gleich
|AM| = Wurzel(1,5²+1,5²) = Wurzel(4,5) = 3/Wurzel(2) = 2,12

Aufgabe 3
1: Zeichnen? Mach ich vielleicht noch und scanns ein. Ist aber einfach.
    Ebene ist parallel zur x1-Achse, weil der Koeffizient vor x1 gleich 0 ist.
    Für den Abstand muss man in eine Hesseform einen Punkt einsetzen, z.B. den Ursprung (0 0 0)
    d = | 3*0 + 1*0 - 8 | / Wurzel(10) = 8/Wurzel(10) = 2,53
2: Wieder Hesse, den Punkt S einsetzen und schaun, für welches a dabei 10 rauskommt.
   |(3*6 + 6 - a)| / Wurzel(10) = 10
     |(24 - a)| =  Wurzel(10) * 10
    Beim Betrag braucht man die Fallunterscheidung,
    Fall 1:   24-a = 10*Wurzel(10)    ->     a = 24 - 10*Wurzel(10) = -7,62
    Fall 2:    -24+a = 10*Wurzel(10)  ->    a = 10*Wurzel(10) + 24 = 55,62
3: Alle Ebenen haben den selben Normalenvektor (0 3 1). Sie sind also alle parallel zueinander.
   In der Zeichnung sieht man, dass die beiden äußersten Kanten, die die Ebene noch berührt, die Kante unten links OP und die Kante oben rechts von (6 6 0) nach (6 6 6) ist. Einmal ist also der Punkt O(0 0 0) in der Ebene, einmal der Punkt (6 6 0). Wenn man Koordinatengleichungen mit diesen beiden Stützpunkten aufstellt, erhält man für (0 0 0) die Gleichung  3 x2 + x3 = 0
und für (6 6 0) die Gleichung 3 x2 + x3 = 18.
Also haben die Ebenen für 0 <= a <= 18 gemeinsame Punkte mit dem Würfel.



  

Aufgabenblatt auf vorletzte Woche (das mit dem Prisma)

1.
a) alle wie A, B, C und D, nur dass die x3-Koordinaten den Wert 5 haben.
    Drachenviereck: Die Diagonalen AC und BD schneiden sich im rechten Winkel.
    Überprüfe mit dem Skalarprodukt. Es muss gleich 0 sein.
    Winkel mit unserer Kosinusformel. Es kommt 0 raus, also ist der Winkel 90°.
b) Ebene aus drei Punkten, Gerade aus zwei Punkten.
    Die Punktprobe zeigt, dass Q auf E und auf g liegt.
c) Die abgetrennte Pyramide hat die selbe Höhe wie das Prisma und eine halb so große Grundfläche.
    Für Pyramiden gilt V_Pyra = 1/3 G_Pyra h und G_Pyra = 1/2 * G_Prisma, also ist
    V_Pyra = 1/6 V_Prisma. Das was dann noch übrig bleibt, ist daher 5/6 V_Prisma
d) mach ich, wenn mir jemand zeigt, was er/sie versucht hat.

2.
a) Alle Geraden haben den gleichen Richtungsvektor (2  -3  1), daher parallel.
    Sie sind zueinander in x1-Richtung verschoben, liegen also nicht aufeinander.
    In der x1x2-Koordinatenebene ist x3=0. Das ist der Fall für r=3.
    Damit der Punkt gleich M ist, muss a + 3*2 = 3, also a = -3.
b) Ein regelmäßiges Sechseck kann man in 6 gleichseitige Dreiecke zerlegen.
    Daher müssen die Abstände MA, AB und MB gleich sein.
    Das ist für den Punkt B(3+Wurzel(3)|0|0)) der Fall.
    Beim regelmäßigen Sechseck ist AC = BM (parallel und gleich lang).
    Hänge also den Vektor BM an A. Damit erhältst du C.
c) mach ich, wenn ich einen Versuch dazu sehe.

3.
a) Punktprobe von C auf beiden Geraden. Liegt jeweils drauf.
    Schnittwinkel mit unserer Kosinusformel. Beide Richtungsvektoren verwenden. 90°.
b) Beim Quadrat ist CD = BA. Also an C den Vektor BA hängen. Man kommt auf D(2|2|0)
    Dreieck und Quadrat haben die selbe Höhe, nämlich BC. Damit die Fläche 1/8 des Quadrats ist,
    muss die Grundseite also gleich 1/4 der Quadratseite sein.
    F_dreieck = 1/2 g_dreieck * h und  F_quadrat = g_quadrat * h
    Damit F_dreieck = 1/8 F_quadrat, muss g_dreieck = 1/4 g_quadrat.
    Damit ist der Ortsvektor von D*:     OD* = OC + 1/4*CD = (5  -1  0)

Klausur 1

Hier sind die Musterlösungen der Klausur als PDF, Ich habe immer beide Gruppen zusammen geschrieben.

Mehr dazu am Montag.

Übungsblätter

"Übungsaufgaben" noch vom September

Ohne Hilfsmittel

1. Parallel: Der Normalenvektor von E1, also vec(n) = (2 -2 1) ist orthogonal zu beiden Spannvoktoren von E2. Überprüfe mit dem Skalarprodukt.
   
   Für die Ebene E gibt es eine einfachere Methode, die wir nächste Woche kennenlernen. Man kann es sich aber trotzdem überlegen mit einer .... tatam .... Hilfsfigur.
   Nimm eine Hilfsgerade g  durch den Stützpunkt von E2 mit Richtungsvektor (2 -2 1). Sie schneidet beide Ebenen orthogonal.
   g:   vec(x) = (7 7 5) + t*(2 -2 1)
   Berechne den Schnittpunkt S von g mit E1. Die Ebene im gleichen Abstand zu beiden muss g genau im Mittelpunkt zwischen S und (7 7 5) schneiden. Damit hat man einen neuen Stützpunkt und einen Normalenvektor, oder wahlweise auch 2 Spannvektoren und kann die Ebenengleichung aufstellen.
   
2. g aufstellen, Stützpunkt (1 -1 3) und Richtung von A nach B, d.h. (1 -2 -3).
   E ist orthogonal zu g, d.h. der Richtungsvektor ist Normalenvektor von E. Mit Stützpunkt C die Normalen und Koordinatengleichung aufstellen.
   Schnittpunkt berechnen (also für x1, x2 und x3 die Ausdrücke von g einsetzen)
   Jetzt kann man an den Koordinaten sehen, ob es zwischen oder außerhalb von A udn B liegt.
   Oder: Wenn die Lösung t zwischen 0 und 1 liegt, ist es dazwischen, sonst außerhalb.

Mit Hilfsmitteln

1. Würfel Ist die Aufgabe B 2 von 2013. 

Übungsblätter

Überschrift "Übungsaufgaben (aus dem Abiturfundus)"

Ohne Hilfsmittel

1. E in Koordinatengleichung umwandeln und dann mit F in ein LGS stellen
   4 x1 - x2 + 2 x3  = 4
              x2 + 2 x3  = 8
   Lösung
   x3 = t
   x2 = 8 - 2t
   x1 = 3 - t
   als Gerade   vec(x) = (3   8   0)  + t  (-1  -2   1)
   
2. E ist parallel zur x2-Achse, weil der Vorfaktor b=0 vor x2.
   
   Gerade von A orthogonal durch E
   vec(x)  =  (1  1  3) + t * (1 0 -1)
   in E einsetzen und Schnittpunkt bestimmen
   1 + t - (3 - t) = 4
   2 t = 6
   t = 3
   Das heißt der Bildpunkt wird erreicht für t = 2*3 = 6
   (1 1 3) + 6*(1 0 -1) = (7 1 -3)

Mit Hilfsmitteln

1. Pyramide. Hatten wir im Unterricht. War der Teil B2 im Abi 2016
2. War eine Abiaufgabe, Teil B1 im Abi 2016.

Übungsblätter

Wo bei der überschrift "Klausur Nr. 1" steht

Ohne Hilfsmittel

1. Produkt- und Kettenregel.  f'(x) = 2 x sin(x²) + x² cos(x²) 2x = 2 x ( sin(x²) + x² cos(x²))
2. [ 1/2 sin(4 x) ] (mit Grenzen 0 bis a)  = 1/2 sin(4 a)
3. hatten wir im Unterricht

Mit Hilfsmitteln

1.  Hatten wir im Unterricht
2. Ist eine Abiaufgabe von 2006,
   http://www.mathe-aufgaben.com/fileadmin/default/files/Abitur_allg_Gymnasium/Jahrgang_2006/Abiturpruefung_Wahlteil_2006_Geometrie_II_2_mit_Loesungen_Baden-Wuerttemberg.pdf 

Aufgabenblatt vom 23.9.

Hilfestelllungen

Aufgabe 1
Parallel zueinander: Achte auf die Lage der Normalenvektoren und der Spannvektoren.
E3 finden: haben wir noch nicht geübt. Wer viel viel viel knobeln will, kanns versuchen.

Aufgabe 2
Finde eine Gleichung von g
Was kannst du über Stütz- und Normalenvektor von E sagen?
Schnittpunkt bestimmen, heute geübt.
S zwischen A und B? Vergleiche die Vektoren SA und SB.

Aufgabe 3
a) Drei Punkte -> Parametergleichung -> Normalengleichung -> Koordinatengleichung
c) Vergleiche die Seitenlängen
b) Hilfsgerade durch E, die senkrecht zum Segeltuch ist. Dann Schnittpunkt mit dem Dreieck und zuletzt den Abstand d er beiden Punkte finde.
d) Wenn die Stange von C in Richtung A verschoben wird, überlegt euch, auf welcher Geraden sich die Spitze der Stange bewegt. Wo trifft sie auf das Segeltuch?

Skalarprodukt

Geogebra-App zum Skalarprodukt
https://www.geogebra.org/m/CKxSPbyp

Ebenengleichungen

Geogebra-App. Zu drei Punkten im Raum wird eine Ebene gezeigt. Drei verschiedene Gleichungen der Ebene sind dazu sichtbar.
https://www.geogebra.org/m/ZtZP9NNY

Mittwoch 11.5. ohne Hilfsmittel

1.   f'(x) = 1/2 * ( cos(x)  )(-1/2) * (- sin(x))
2.   F(x) = 1/10*(2x+1)^5 + c
      Damit F(0)=2 muss also c=1,9 sein
      F(x) = 1/10*(2x+1)^5 + 1,9
3.  f'(x) = x^2 - 2x - 3
    Nullstellen finden mit abc-Formel
     (2 +-  (4 + 12)^0,5 ) / 2, also   3 und -1
4. Die Bedingungen sind
    f(0) = 0
    f'(0) = 0     Hochpunkt bei (0|0)
    f(1) = -1
    f'(1) = 0    Tiefpunkt bei (1|-1)
    übersetzt in ein LGS ist das für f(x) = ax³+bx²+cx+d
                                  d = 0
                         c          = 0
    a   +    b    + c   + d  = -1
   3 a  + 2 b   + c          = 0
   Weil c und d beide = 0 sind, muss man nur noch mit a und b rechnen.
     a +   b = -1
   3a + 2b =  0
   und wenn man jetzt 3I-II nimmt, erhält man b = -3
    und dann a = 2
   also ist die Funktion f(x) = 2 x²  - 3 x³
  
                        

Blatt vom Mittwoch 11.5.

Mit Hilfsmitteln, Lösungswege

1.a)

• Schranke S=400
• f(0) = S - c = 60, also c=340
• f(2) = 400 - 340* e^(-k*2) = 90
  umstellen nach k
  e(-k*2) = 310/340
  -2*k = ln(31/34)
  k = - ln(31/34)/2 = ln(34/31)/2 = 0,0462

b) Finde x, so dass   
         f(x) = 400 - 340*e^(-0,0462*x) = 400*0,9 = 360
         -340 *e^(-0,0462*x) = -40
         e^(-0,0462*x) =2/17
         -0,0462 * x  = ln(2/17)
         x = ln(17/2) / 0,0462 = 46,3
        also noch gut 46 Jahren ist es so weit.
     
An dieser Stelle einen Hinweis zun Logarithmus
ln( b/a )  = - ln( a / b), drum drehe ich die Brüche so rum, dass die Zähler größer sind als die Nenner, dann habe ich einen Positiven Logarithmus. Sieht schöner aus. Das
folgt aus den allgemeinen Rechenregeln.

c)  f'(x) = 0,0462*340*e^(-0,0462*x)  und das ist am größten für x=0.

2)  Ich nenne
     x1: Tore von FCB geschossen
     x2: Tore von BVB geschossen
     x3: von FCB kassierte Tore
     x4:  von BVB kassierte Tore
     Dann ist das LGS
                        2 x3 - x4 = 0     (BVB hat doppelt so viele Tore gefangen wie FCB)
       x1 - x2                     = -3    (FCB hat 3 weniger geschossen als BVB)
       x1             - x3         = 61   (FCB hat Tordifferenz 61)
              x2             - x4  = 48   (BVB hat Tordifferenz 48)
     und die Lösung findet ihr in der Zeitung oder im Netz.

Arbeitsblatt

Aufgabe 1 - Brücke
a) Punkte A(0; 2,3) B(6,4; 0,7)  C(12,8; 2,3)
b)                             c = 2,3
    40,96 a + 6,4 b + c = 0,7
   163,84 a + 12,8 b + c = 2,3  
c) a = 5/128; b = -1/2; c = 2,3
    f(x) = 5/128 x²  - 1/2 x + 2,3
d) f'(x) = 5/64 x - 1/2   --> f'(0) = - 1/2   --> Neigungswinkel tan(alpha) = - 1/2  --> alpha = -26,6°
   am linken Pfeiler Neigungswinkel 26,6° nach unten, am Rechten 26,6° nach oben.

Aufgabe 2 - im Adler in Buttenhausen
a)      2 x1  + x2              = 7,4
         4 x1              + x3  = 19
         2 x1  + 2 x2  + x3  = 18,8
b) Lösung  x1 = 2,5,  x2 = 2,4  und x3 = 9.   Halbe 2,50€, Schorle 2,40€, Riesenwurstsalat 9€.

Noch Übungen zu den linearen Gleichungssystemen, LGS

Sehr sinnvoll finde ich da die beiden Seiten 234 und 235 im Buch, Prüfungsvorbereitung. Da könnt ihr euch austoben. Auf den Seiten 437 und 438 habt ihr dazu die Lösungen.

Hier ein paar Anmerkungen zu Seite 234
1 - Standard
2 - hier gibt es in jedem Fall KEINE eindeutige Lösung, weil es nur 2 Gleichungen für 3 Unbekannte sind.
3 - Hier kann es sein, dass es KEINE Lösung gibt. 2 Würden schon ausreichen für eine Lösung, aber die dritte Gleichung passt dann nicht.
4 - Sowas hatten wir noch nicht, aber probiert es mal. Die Lösung ist dann nicht einfach ein Zahlendreier sondern drei Ausdrücke mit r.
5 - die Aussagen in Gleichungen übersetzen und dann lösen.
6-8 Standard, so wie wir es am Freitag besprochen haben.
9-11 sind Denkaufgaben.

Und zu Seite 235
1-3 Standard, bei 3 kann eventuell rauskommen, dass es keine Lösung gibt.
4 die Aussagen übersetzen in ein LGS
5 die Aussagen bedeuten f(3)=27 und f'(3)=0
6 wieder das Problem: Aussagen in ein LGS übersetzen
7 sowas hatten wir noch nicht, Wäre unser nächsten Kapitel.

Aufgaben

So, ich habe mir 3 Anwendungsaufgaben zum Thema LGS ausgedacht, alle im Teil mit Hilfsmitteln. Ich glaube, die 3. ist am leichtesten, also ohne viel Logik dazwischen.
Aufgabenblatt als PDF. Das können wir am Montag besprechen.
Direkte Aufgaben, ohne große Texterei drumrum habe ich noch nicht gemacht. Ich werde euch welche aus dem Buch empfehlen.

Blatt mit Integralfunktionen mit GTR

Aufgabe 3  Puls eines Sportlers

a) Direkt nach der Übbung, bei t=0
b) Intersect mit y=100
c) 60 Schläge/min
d) t= ln(2) = 0,69...
e) von 0 bis 5 integrieren
f) Die Integralfunktion mit dem GTR aufstellen und dann Intersect mit 200.
   Die Integralfunnktion ist P(t) = 60*t + 120*(1-e^(-t))
g) Belastung 200, Ruhe 70, Erholungszeit gleich. Wenn ich die e-Funktion z.B.   e^(-0,8*t) gewählt hätte, würde sie langsamer abfallen und die Erholungszeit wäre länger, in dem Fall 1/0,8=1,25-mal so lang.

Aufgabe 2 Fahrradrennen

a) Steilste Stellen bei x=-4,20 (rauf) und 4,20 (runter), jeweils mit knapp 109%  (naja, nicht ganz realistisch, ist wohl extrem-mountainbiking), das sind 47".  tan(47°)=1,09
b)  Erster Anstieg von 0,6 auf 1,98, also 1380 m, zweiter von 1,48 au 2,4 also 920 m
c) 10,26 km. Durch die Schrägen wird die Strecke also 260m länger als eine waagrechte Strecke.

Aufgaben, Mittwoch 16.3.16

Mittelwerte

3a) Integral ist gleich 64/3+32=160/3    Mittelwert damit 40/3 = 13,333333333.....
 b) Integral ist gleich 2+4/3-4=-2/3   und Mittelwert = -1/3

4) Ganz einfache Lösung:    f(x) = 1
    dazu kann man etwas addieren, was gleich viel positive wie negative Anteile hat, also
    g(x) = 1 + x   oder h(x) = 1 + x³ sind auch möglich. Ebenso ist k(x) = |x| nicht schlecht.

5a)  Integral =  (6-1)*m = 10
  b) Das ist immer 0
  c) A2 = 2,4, Flächen über und unter dem Mittelwert heben isch weg

Flächen ins Unendliche (unendlich lang und unendlich dünn)

6a) A = 1/2      b) kein Grenzwert     c) A = 1/10
7a)

A=1

b) 

A=-2/9=-0,22222222222

Knobelaufgaben:

20

Flächen der Kreise zusammen sind endlich groß.

Sie sind kleiner als Fläche unter der Kurve ab x=1 (das ist 1) + das Quadrat zwischen (0|0) und (1|1) + das, was vom großen Kreis noch oben rausschaut 

Ob es kleiner oder größer als 2 ist, ist etwas tricky.

19

Aufgabe vom Mittwoch

Ist aus den Musteraugaben fürs Abi 2017 und war schon mal im Abi, nämlich 2013.

Die Aufgaben mit Lösungen findet ihr unter
http://www.mathe-aufgaben.com/aufgaben/abitur/bw-allgemein-bildende-gymnasien.html
Geht runter bis Abi 2013. Es ist die Aufgabe A2.

Es ist eingentlich alles ganz gut erklärt. Vorhin hat mich noch jemand auf die letzte Aufgabe angesprochen. Ich versuche, es mit anderen Worten als in der Lösung zu beschreiben.

w(t) = r(t) - 400 bedeutet, dass man gleichmäßig Wasser entnimmt, mit einer Rate von 400 Litern pro Stunde.
Man beginnt bei t=3 mit der Entnahme. Bis t=12 hat man also 9 Stunden lang entnommen. Also sind 9*400 Liter Wasser aus dem Tank rausgenommen.
Bis wann nimmt das Wasser zu? Die Funktion w(t) beschreibt die Änderungsrate der Wassermenge W(t) im Tank, also W'(t)=w(t). Solange w(t)>0, nimmt das Wasser zu, sobald w(t)<0, nimmt das Wasser ab.
Es nimmt also zu bis zur Nullstelle t=6,35 zu.
Das von t=0 bis t=3 geflossene Wasser ist bereits in b) berechnet.
Das Wasser von t=3 bis t=6.35 rechnet man mit dem Integral der Funktion   w(t) aus. Laut Musterlösung kommt da 1806,3 Liter raus.

Übungen von vor den Ferien

Ohne Hilfsmittel
1a    Produktregel         2x e^-x  - x² e^-x
1b   Kettenregel            1/2*(x²+1)^-1/2  * 2 x  =   x/Wurzel(x^2+1)

2
a) Stammfunktion 4/3 x^3 - 1/5 x^5  ->  32/3 - 32/5 + 32/3 - 32/5 = 64*(1/3 - 1/5) = 64*2/15=128/15
b)  Stammfkt:   2 ln|x+1|    ->    2 ln(3) - 2 ln(1)  = 2 ln(3)
c)   Stammf:   -1/pi*cos(pi*x)   ->  1/pi + 1/pi  = 2/pi

3
a) z=x^3    z²-7z-8=0   z  hat Lsgn   8 und -1. Damit hat x die Lsgn  2 und -1
b) cos(x)=0   -> Lsgn  x=pi/2 und x=3/2*pi
    sin(x)=-1   - > Lsg   x=pi


4   Hier ist eine mögliche Stammfunktion in rot. Auf was habe ich geachtet?
     bei x=-1 hat f eine Nullstelle. Die Stammfunktion hat dort eine waagr. Tangente.
     Es ist ein Sattelpunkt, weil f dort NICHT das Vorzeichen wechselt.
     f ist auf beiden Seiten negativ, also muss die Stammfunktion auf beiden seiten fallen.

     bei x=1 hat f eine Nullstelle mit wechsel von - nach +.
     Also fällt die Stammfunktion davor und wächst danach. Sie hat ein Minimum.

    Das Minimum muss tiefer liegen als der Sattelpunkt. Weil f dazwischen negativ ist.
    Daher muss die Stammfunktion abnehmen zwischen dem Sattelpunkt und dem Minimum.

    Man kann noch auf Links- und Rechtskurven achten.
   Dort wo f fällt, macht die Stammfunktion eine Rechtskurve, wo f steigt, eine Linkskurve.

   Man kann die Stammfunktion beliebig nach oben oder unten verschieben. Ich habe zufällig einge genommen, deren Schaubild durch den Ursprung geht.

Mit Hilfsmitteln
a)   Ableitung nehmen und dann Max bzw. Min finden.
     Der Winkel mit der Horizontalen erfüllt     tan(alpha)=m=f'(x)
     bzw. im GTR     alpha=tan^-1(m)  wenn m die Steigung ist.
     Achtung: Hier ist ein Winkel in Grad gefragt, also den GTR auf degree stellen!
    Bei Prismen, Zylindern, bei allen Volumenberechnungen, die überall gleich dick sind, gilt V=G*h,
    Grundfläche mal Höhe. Der Stollen "liegt", also ist die Höhe seine Länge. Die Grundfläche
    berechnet man durch das Integral von -4 bis 4, wie beim Tor in der Klassenarbeit.
    Diese Quadratmeterzahl dann mal 50 nehmen und man erhält das Volumen.

b) Abstand zwischen zwei Punkten A(x|y) und B(v|w) immer mit Pythagoras.
    |AB| = Wurzel(  (x-v)²  + (y-w)² )
    Hier ist A ein Punkt   (x|f(x)) auf dem Schaubild und B(0|6). Der Abstand hängt ab von x:
    d(x)  = Wurzel(  (x-0)²  +  (f(x) - 6)² )
    Stelle diese Funktion im GTR dar  (x von -4 bis 4) und suche ihre Minima.
    Überprüfe, ob die größer oder kleiner als  1,4 sind.

Integral und Stammfunktion

http://tube.geogebra.org/material/show/id/2548877

Klausur Nr. 2 von vor Weihnachten

Lösung der ersten Aufgabe mit Hilfsmitteln (Boot fährt und bleibt stehen)

Zweite Aufgabe

Nachschreiben in Mathe

Die Themen sind die gleichen, die ich euch schon für die Arbeit vor den Weihnachtsferien gegeben habe.

Ohne Hilfsmittel
1. Aufgaben zum Ableiten mit Produktregel, Kettenregel und e-Funktion dabei.
2. Gleichung Lösen. Denkt dran es gibt als Methoden
    - umstellen
    - ausklammern und als Produkt schreiben, Faktoren einzeln gleich null setzen.
    - abc-Formel ("Mitternacht"), entweder ohne oder mit Substitution
3. Aufgaben vom NEW-Typ. Erkennen, dass f eine Wendestelle hat, wenn f' dort eine Extremstelle hat. Linkskurven, wenn f" > 0  ..... und solche Sachen.

Mit Hilfsmitteln Aufgaben in denen vorkommt:

anwendungsorientierte Aufgabe, einen Sachverhalt in eine Funktion und Rechnungen übersetzen
Extrema, Nullstellen, Wendestellen finden
Tangenten an Schaubilder finden, entweder
- von einem Punkt außerhalb des Schaubilds
  (gerades Brett an eine Böschung lehnen, gerade noch über einen Hügel sehen können, ...=
- an einem Punkt auf dem Schaubild.
Integral interpretieren, gefahrene Strecke zu Geschwindigkeit (denkt an unseren Lastwagen), insgesamt geflossenes Wasser, wenn man die Durchflussrate kennt, .... entspricht immer der Fläche zwischen Schaubild und x-Achse.
Integral berechnen mit dem GTR   (2nd calc und dann integrieren)